Методы обработки ЭД. Методы обработки экспериментальных данных

• Название: Методы обработки экспериментальных данных
• Дата: 28.04.2022
• Размер: 5.37 Mb.
• Имя файла: Методы обработки ЭД.ppt
• Тип: Документы; #503438
• страница: 8 из 10

Полиграммы

Повысим степень гладкости оценки fn(x) по сравнению с простейшей оценкой функции плотности. Для этого надо повысить соответственно степень гладкости для оценки функции распределения Fn(x). Если Fn(x) будет состоять из отрезков прямых, то fn(x) будет состоять из прямоугольников. Такая кусочно-постоянная оценка называется полиграммой первого порядка.


Она строится на выборочных интервалах, ограниченных выборочными значениями упорядоченной выборки x1,…,xn. Площадь каждого прямоугольника равна 1/(n-1)

Полиграммы

Для улучшения сглаживающих свойств оценки плотности построены полиграммы более высоких порядков:

Метод "К ближайших соседей"

Считаем, что для одномерной случайной величины X имеется n независимых наблюдений x1,…,xn. Зафиксируем некоторое целое положительное число kn: 1 ≤ kn ≤ n. Для каждой выбранной точки x существует интервал длительностью 2p(kn,n,x) который охватывает kn ближайших к x точек выборки. Одна точка попадает на границу интервала, а kn-1 точка – внутрь интервала. Оценкой плотности распределения вероятности fn(x) служит частота (kn-1)/n попадания в интервал 2p, приведенная к единичной величине интервала:


Многомерный случай:


Плотность распределения вероятности связана с функцией распределения через оператор дифференцирования:


Степень гладкости оценки плотности зависит от степени гладкости ядра. Заменим в оценке fn(x) прямоугольное ядро I(z) на произвольное K(z) и получим:


Здесь h – коэффициент размытости ядра. Примеры треугольного, параболического и кубического ядер приведены ниже:


Многомерный случай:

Оценка условной плотности вероятности

Рассматриваем объект, имеющий случайный вход (либо несколько входов) X и выход Y. Связь между случайными величинами характеризуют условные характеристики, например, условная плотность распределения вероятности f(x|y).

Оценка регрессии

Регрессией называют первый начальный условный момент


Это некоторая усредненная количественная зависимость между выходом и входом объекта. Регрессия (4.7.1) удовлетворяет квадратичному критерию


Получим оценку регрессии:

Оценка регрессии

Подбор оптимального параметра коэффициента размытости для оценки регрессии. Перейдем от размерного параметра с к безразмерному β.


При β=0 ядро K(·) не зависит от x.


Оценка регрессии равна среднему арифметическому выборочных значений выхода объекта для любых x.

Оценка регрессии

Возьмем теперь другое крайнее состояние для β: β=1. Оценка регрессии проходит через экспериментальные точки и состоит из кусков линий, соединяющих точки выборки.


Оптимальный параметр β лежит в интервале [0; 1].

Оценка регрессии

Рекуррентный расчет оценки регрессии. Для каждого фиксированного x на основе использования рекуррентной схемы расчета получаем алгоритм адаптивного сглаживания:

Оценка регрессии

Инверсная модель. Для объекта с одним входом X и одним выходом Y основной инверсной характеристикой является регрессия


и получаем оценку инверсной регрессии:


В реальной ситуации исходные экспериментальные данные xi, yi могут содержать аномальные измерения, называемые выбросами. Даже наличие малого процента выбросов приводит к сильному искажению оценок. Поставим задачу построения оценки регрессии, которая была бы более устойчивая (малочувствительная, робастная (в переводе с английского "крепкая") к выбросам по отношению к ранее построенной оценке:


Кроме математического ожидания случайной величины Y есть другая характеристика среднего положения – медиана. Медиана – это среднее по вероятности значение. Состоятельная оценка медианы представляет собой среднее по номеру значение в упорядоченной выборке:


Запишем критериальную форму получения оценки:


Модульный критерий не является единственным для получения робастных оценок. Более общий критерий имеет вид :


Некоторые виды функций F(v):