Методы обработки ЭД. Методы обработки экспериментальных данных

• Название: Методы обработки экспериментальных данных
• Дата: 28.04.2022
• Размер: 5.37 Mb.
• Имя файла: Методы обработки ЭД.ppt
• Тип: Документы; #503438
• страница: 6 из 10

Насыщенные планы. Планы Плаккета – Бермана

Плаккет и Берман в 1946 г. предложили способ построения насыщенных планов (с единичными координатами) при m=11, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, ... .


Задаются базовые строки. Каждая следующая строка матрицы планирования образуется из исходной циклическим сдвигом вправо. Получается матрица размером m x m. Последняя (m+1) -я строка матрицы планирования состоит из минус единиц.


Пример базисных строк:

m	n	Строка
11	12	+ + – + + + – – – + –
19	20	+ + – – + + + – + – + – – – – + + –
23	24	+ + + + + – + – + + – – + + – – + – + – – – –
31	32	– – – – + – + – + + + – + + – – – + + + + + – – + + – + – – +
35	36	– + – + + + – – – + + + + + – + + + – – + – – – – + – + – + + – – + –

При проведении эксперимента выход объекта дрейфует. Если этот дрейф кусочно-постоянный, то его можно нейтрализовать, изменяя порядок проведения эксперимента во времени. Для этого разбивают матрицу планирования на блоки и последовательно реализуют (во времени) эту матрицу: вначале один блок, затем другой и т. д.


В качестве примера рассмотрим ортогональный план 23 . Считаем, что выход объекта имеет аддитивный дрейф на величину Δ1 (когда проводятся эксперименты с номерами 1, 2, 3, 4) и на величину Δ2 (когда проводятся эксперименты № 5, 6, 7, 8). Этот дрейф приводит к смещению на величину (4Δ1-4 Δ2)/8 параметра β3.


Пример эксперимента в котором выход объекта дрейфует.

n	x1	x2	x3	xдр=x1x2x3	yi	Номер блока
1	+	+	+	+	y1=y1ист+Δ1	1
2	–	+	+	–	y2=y2ист+Δ1	2
3	+	–	+	–	y3=y3ист+Δ1	2
4	–	–	+	+	y4=y4ист+Δ1	1
5	+	+	–	–	y5=y5ист+Δ2	2
6	–	+	–	+	y6=y6ист+Δ2	1
7	+	–	–	+	y7=y7ист+Δ2	1
8	–	–	–	–	y8=y8ист+Δ2	2

Для устранения этого недостатка изменим порядок проведения эксперимента, разбив план на 2 блока.

n	x1	x2	x3	xдр	yi	Номер блока
1	+	+	+	+	y1=y1ист+Δ1
2	–	–	+	+	y2=y2ист+Δ1	Блок 1
3	–	+	–	+	y3=y3ист+Δ1
4	+	–	–	+	y4=y4ист+Δ1
5	–	+	+	–	y5=y5ист+Δ2
6	+	–	+	–	y6=y6ист+Δ2	Блок 2
7	+	+	–	–	y7=y7ист+Δ2
8	–	–	–	–	y8=y8ист+Δ2

1. Проверка однородности дисперсий. Если при реализации ортогонального плана остается неизвестным, на самом ли деле дисперсии выходов (ошибок измерения) одинаковы в каждой точке плана, то необходимо в каждой точке плана осуществить несколько дополнительных измерений выхода, найти оценку дисперсии (в каждой точке) и проверить гипотезу о равенстве дисперсий.


Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистик. Простейшей из них является статистика Фишера, представляющая собой отношение наибольшей из оценок к наименьшей:


Так же можно выполнить проверку с использованием статистики Кочрена:


2. Проверка адекватности модели. Вычисляем остаточную сумму квадратов , делим ее на число степеней свободы n-m-1 и получаем остаточную дисперсию (дисперсию адекватности):


На основе дополнительного эксперимента объема n0 в одной из точек плана (например в центре плана) строим оценку для дисперсии выхода объекта. Число степеней свободы для оценки n0 -1. По статистике Фишера проверяем гипотезу о равенстве дисперсий, которая совпадает с гипотезой об адекватности модели.


Если статистика не превосходит порогового значения, то принимается гипотеза об адекватности модели. В противоположном случае эта гипотеза отвергается. Надо заново строить модель, например, усложняя ее за счет введения дополнительных факторов, либо отказываться от линейной модели и переходить к квадратичной модели.


3. Проверка значимости коэффициентов заключается в проверке гипотезы H: bj = 0 для каждого j=1,…,m.
Вычисляется статистика Стьюдента:


Если |t|

4. Интерпретация модели. Производится качественное сопоставление поведения полученной модели с реальными процессами объекта. При этом привлекается информация от экспертов (например технологов), детально изучивших объект. Знак коэффициентов βj , линейной модели показывает характер влияния входа объекта на выход. Знак "+" свидетельствует о том, что с увеличением входа (фактора) растет величина выхода объекта и наоборот. Величина коэффициентов βj – количественная мера этого влияния.


Если характер связи между входами и выходом объекта на основе построенной модели не соответствует реальным связям (на базе информации от экспертов) в объекте, то такую модель надо поставить под сомнение либо полностью отказаться от нее.


Построение планов второго порядка – задача в математическом отношении значительно более сложная, чем в случае построения планов первого порядка. Модель второго порядка при m=3 имеет вид:


Для вычисления коэффициентов модели второго порядка необходимо варьировать переменные не менее чем на трех уровнях. Это вызывает необходимость постановки большого числа опытов. Полный факторный эксперимент содержит 3m точек.

m	1	2	3	4	5	6	7
3m	3	9	27	81	243	729	2187
Композиционный план n0=1	5	9	15	25	43	77	143

В 1951 году Бокс и Уилсон предложили составлять композиционные планы. Число точек плана равно величине n=n1+2m+n0 . Здесь n1– число точек полного факторного эксперимента или дробной реплики 2m – число парных точек, расположенных на осях координат; n0 – число опытов в центре плана.


Точки на осях координат называют звездными точками. Их количество равно удвоенному числу факторов. Расстояние от центра плана до звездной точки одинаково. Его обозначают буквой α и называют звездным плечом.


Композиционные планы имеют следующие положительные свойства: 1. Они могут быть получены в результате достройки планов первого порядка.
2. Дополнительные точки на осях координат и в центре плана не нарушают ортогональности для столбцов, соответствующих факторам xj и эффектам взаимодействия xixj .


Пример композиционного плана:

n	x0	x1	x2	x1x2	x12	x22	x1’	x2’
1	+	+	+	+	+	+	◊	◊
2	+	–	+	–	+	+	◊	◊
3	+	+	–	–	+	+	◊	◊
4	+	–	–	+	+	+	◊	◊
5	+	α	0	0	α2	0	Δ	□
6	+	-α	0	0	α2	0	Δ	□
7	+	0	α	0	0	α2	□	Δ
8	+	0	-α	0	0	α2	□	Δ
9	+	0	0	0	0	0	□	□

С учетом новых переменных xl’ получаем следующее уравнение модели (для случая m=2):