Исходные данные:
Интенсивность отказов:
6
Интенсивность восстановления:
10/6
Работа некоторого устройства характеризуется графом, представленным на рисунке 1.
При этом S0 – исправное состояние, S1, S2, S3 – работоспособные состояния с различными неисправностями, S4 – неработоспособное состояние (состояние отказа). Вероятности переходов между состояниями характеризуются интенсивностями отказов и интенсивностями восстановления .
Рис.1. Граф состояний
Расчеты:
Составим систему уравнений Колмогорова для финальных вероятностей нахождения во всех состояниях:
Далее будем преобразовывать нашу систему уравнений для того, чтобы найти все значения Pi
Для решения данной системы уравнений представим ее в матричном виде и решим методом Гаусса и получим значения финальных вероятностей:
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| -0.0012
| 0
| 1.667
| 1.667
| 0
| 0
| 0
| 2
| 0.0006
| -0.0012
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 3
| 0
| 0.0006
| -1.6682
| 0
| 1.667
| 0
| 0
| 4
| 0.0006
| 0
| 0.0006
| -1.667
| 0
| 0
| 0
| 5
| 0
| 0.0006
| 0.0006
| 0
| -1.667
| 0
| 0
| 6
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 0
| 1
| Нашли единицу в 1-ом столбце и поменяли местами 6-ую и 1-ую строки
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 0
| 1
| 2
| 0.0006
| -0.0012
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 3
| 0
| 0.0006
| -1.6682
| 0
| 1.667
| 0
| 0
| 4
| 0.0006
| 0
| 0.0006
| -1.667
| 0
| 0
| 0
| 5
| 0
| 0.0006
| 0.0006
| 0
| -1.667
| 0
| 0
| 6
| -0.0012
| 0
| 1.667
| 1.667
| 0
| 0
| 0
| Занулили 1-ый столбец
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 0
| 1
| 2
| 0
| -0.0018
| -0.0006
| -0.0006
| -0.0006
| 0
| -0.0006
| 3
| 0
| 0.0006
| -1.6682
| 0
| 1.667
| 0
| 0
| 4
| 0
| -0.0006
| 0
| -1.6676
| -0.0006
| 0
| -0.0006
| 5
| 0
| 0.0006
| 0.0006
| 0
| -1.667
| 0
| 0
| 6
| 0
| 0.0012
| 1.6682
| 1.6682
| 0.0012
| 0
| 0.0012
| Получили единицу в 2-ом столбце разделив 2-ую строку на -0.0018
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 0
| 1
| 2
| 0
| 1
| 0.33333333333333333333
| 0.33333333333333333333
| 0.33333333333333333333
| 0
| 0.33333333333333333333
| 3
| 0
| 0.0006
| -1.6682
| 0
| 1.667
| 0
| 0
| 4
| 0
| -0.0006
| 0
| -1.6676
| -0.0006
| 0
| -0.0006
| 5
| 0
| 0.0006
| 0.0006
| 0
| -1.667
| 0
| 0
| 6
| 0
| 0.0012
| 1.6682
| 1.6682
| 0.0012
| 0
| 0.0012
| Занулили 2-ой столбец и
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 0
| 0.666666666666666667
| 0.666666666666666667
| 0.666666666666666667
| 0
| 0.666666666666666667
| 2
| 0
| 1
| 0.333333333333333333
| 0.33333333333333333
| 0.33333333333333333
| 0
| 0.3333333333333333
| 3
| 0
| 0
| -1.6684
| -0.0002
| 1.6668
| 0
| -0.0002
| 4
| 0
| 0
| 0.0002
| -1.6674
| -0.0004
| 0
| -0.0004
| 5
| 0
| 0
| 0.0004
| -0.0002
| -1.6672
| 0
| -0.0002
| 6
| 0
| 0
| 1.6678
| 1.6678
| 0.0008
| 0
| 0.0008
| Получили единицу в 3-ем столбце разделив 3-ю строку на -1.6684
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 0
| 0.66666666666667
| 0.66666666666666666667
| 0.666666666666666667
| 0
| 0.66666666666666667
| 2
| 0
| 1
| 0.333333333333333
| 0.333333333333333333
| 0.333333333333333333
| 0
| 0.33333333333333333
| 3
| 0
| 0
| 1
| 0.0001198753296571565
| -0.999040997362742747
| 0
| 0.000119875329657156
| 4
| 0
| 0
| 0.0002
| -1.6674
| -0.0004
| 0
| -0.0004
| 5
| 0
| 0
| 0.0004
| -0.0002
| -1.6672
| 0
| -0.0002
| 6
| 0
| 0
| 1.6678
| 1.6678
| 0.0008
| 0
| 0.0008
| Занулили 3-ий столбец
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0.66658674978022856229
| 1.3326939982418284983
| 0
| 0.66658674978022856229
| 2
| 0
| 1
| 0
| 0.33329337489011428114
| 0.66634699912091424917
| 0
| 0.33329337489011428114
| 3
| 0
| 0
| 1
| 0.00011987532965715655718
| -0.99904099736274274754
| 0
| 0.00011987532965715655718
| 4
| 0
| 0
| 0
| -1.6674000239750659314
| -0.0002001918005274514505
| 0
| -0.00040002397506593143131
| 5
| 0
| 0
| 0
| -0.00020004795013186286262
| -1.6668003836010549029
| 0
| -0.00020004795013186286262
| 6
| 0
| 0
| 0
| 1.6676000719251977942
| 1.6670005754015823543
| 0
| 0.00060007192519779429394
| Получили единицу в 4-ом столбце разделив 4-ую строку на -1.6674000239750659314
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0.66658674978022856229
| 1.3326939982418284983
| 0
| 0.66658674978022856229
| 2
| 0
| 1
| 0
| 0.33329337489011428114
| 0.66634699912091424917
| 0
| 0.33329337489011428114
| 3
| 0
| 0
| 1
| 0.00011987532965715655718
| -0.99904099736274274754
| 0
| 0.00011987532965715655718
| 4
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0.00012006225119884314629
| 0
| 0.00023990882170690992764
| 5
| 0
| 0
| 0
| -0.00020004795013186286262
| -1.6668003836010549029
| 0
| -0.00020004795013186286262
| 6
| 0
| 0
| 0
| 1.6676000719251977942
| 1.6670005754015823543
| 0
| 0.00060007192519779429394
| Занулили 4-ый столбец
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0
| 1.332613966336030564
| 0
| 0.66642682973852334885
| 2
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0.66630698316801528206
| 0
| 0.33321341486926167442
| 3
| 0
| 0
| 1
| 0
| -0.99904101175524468938
| 0
| 0.00011984657050806678135
| 4
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0.00012006225119884314629
| 0
| 0.00023990882170690992764
| 5
| 0
| 0
| 0
| 0
| -1.6668003595828476623
| 0
| -0.00019999995686386184472
| 6
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1.6668003595828476623
| 0
| 0.00019999995686386184477
| Получили единицу в 5-ом столбце разделив 5-ую строку на -1.6668003595828476623
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0
| 1.332613966336030564
| 0
| 0.66642682973852334885
| 2
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0.66630698316801528206
| 0
| 0.33321341486926167442
| 3
| 0
| 0
| 1
| 0
| -0.99904101175524468938
| 0
| 0.00011984657050806678135
| 4
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0.00012006225119884314629
| 0
| 0.00023990882170690992764
| 5
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0.00011999034900251407391
| 6
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1.6668003595828476623
| 0
| 0.00019999995686386184477
| Занулили 5-ый столбец
| X1
| X2
| X3
| X4
| X5
| X6
| b
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0.666266928923617064
| 2
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0.33313346446180853199
| 3
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0.00023972185017640335715
| 4
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0.00023989441539548655093
| 5
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0.00011999034900251407391
| 6
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 6e-23
|
=0.666266928923617064 = 0.66627
=0.33313346446180853199 = 0.33313
=0.00023972185017640335715 = 0.00024
=0.00023989441539548655093 = 0.00024
=0.00011999034900251407391 = 0.00012
Выполним проверку:
0.666266928923617064+0.33313346446180853199+0.00023972185017640335715+0.00023989441539548655093+0.00011999034900251407391=1
Вероятность отказа системы и вероятность безотказной работы :
Зная финальные вероятности, найдем время наработки на отказ :
Интенсивность отказов системы :
= = 0,0002 (1/ч)
Среднее время восстановления :
Коэффициент готовности:
Найдем среднее время безотказной работы:
Система состоит из четырех уравнений, 3 неизвестных, представим ее в матричном виде и решим методом Гаусса:
| X1
| X2
| X3
| X4
| b
| 1
| -0.0012
| 0
| 1.667
| 1.667
| -1
| 2
| 0.0006
| -0.0012
| 0
| 0
| 0
| 3
| 0
| 0.0006
| -1.6682
| 0
| 0
| 4
| 0.0006
| 0
| 0.0006
| -1.667
| 0
| Получили единицу в 1-ом столбце разделив 1-ую строку на -0.0012
| X1
| X2
| X3
| X4
| b
| 1
| 1
| 0
| -1389.1666666666666666
| -1389.1666666666666666
| 833.33333333333333333
| 2
| 0.0006
| -0.0012
| 0
| 0
| 0
| 3
| 0
| 0.0006
| -1.6682
| 0
| 0
| 4
| 0.0006
| 0
| 0.0006
| -1.667
| 0
| Занулили 1-ый столбец
| X1
| X2
| X3
| X4
| b
| 1
| 1
| 0
| -1389.1666666666666666
| -1389.1666666666666666
| 833.33333333333333333
| 2
| 0
| -0.0012
| 0.8335
| 0.8335
| -0.5
| 3
| 0
| 0.0006
| -1.6682
| 0
| 0
| 4
| 0
| 0
| 0.8341
| -0.8335
| -0.5
| Получили единицу в 2-ом столбце разделив 2-ую строку на -0.0012
| X1
| X2
| X3
| X4
| b
| 1
| 1
| 0
| -1389.1666666666666666
| -1389.1666666666666666
| 833.33333333333333333
| 2
| 0
| 1
| -694.58333333333333333
| -694.58333333333333333
| 416.66666666666666666
| 3
| 0
| 0.0006
| -1.6682
| 0
| 0
| 4
| 0
| 0
| 0.8341
| -0.8335
| -0.5
| Занулили 2-ой столбец
| X1
| X2
| X3
| X4
| b
| 1
| 1
| 0
| -1389.1666666666666666
| -1389.1666666666666666
| 833.33333333333333333
| 2
| 0
| 1
| -694.58333333333333333
| -694.58333333333333333
| 416.66666666666666666
| 3
| 0
| 0
| -1.25145
| 0.41675
| -0.25
| 4
| 0
| 0
| 0.8341
| -0.8335
| -0.5
| Получили единицу в 3-ем столбце разделив 3-ю строку на -1.25145
| X1
| X2
| X3
| X4
| b
| 1
| 1
| 0
| -1389.1666666666666666
| -1389.1666666666666666
| 833.33333333333333333
| 2
| 0
| 1
| -694.58333333333333333
| -694.58333333333333333
| 416.66666666666666666
| 3
| 0
| 0
| 1
| -0.33301370410324024132
| 0.19976826880818250829
| 4
| 0
| 0
| 0.8341
| -0.8335
| -0.5
| Занулили 3-ий столбец
| X1
| X2
| X3
| X4
| b
| 1
| 1
| 0
| 0
| -1851.7782039500845684
| 1110.8447534193668677
| 2
| 0
| 1
| 0
| -925.88910197504228427
| 555.42237670968343387
| 3
| 0
| 0
| 1
| -0.33301370410324024132
| 0.19976826880818250829
| 4
| 0
| 0
| 0
| -0.55573326940748731472
| -0.66662671301290503016
| Получили единицу в 4-ом столбце разделив 4-ую строку на -0.55573326940748731472
| X1
| X2
| X3
| X4
| b
| 1
| 1
| 0
| 0
| -1851.7782039500845684
| 1110.8447534193668677
| 2
| 0
| 1
| 0
| -925.88910197504228427
| 555.42237670968343387
| 3
| 0
| 0
| 1
| -0.33301370410324024132
| 0.19976826880818250829
| 4
| 0
| 0
| 0
| 1
| 1.1995443672531073842
| Занулили 4-ый столбец
| X1
| X2
| X3
| Х4
| b
| 1
| 1
| 0
| 0
| 0
| 3332.1348673697666982
| 2
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1666.0674336848833491
| 3
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0.59923298178331735376
| 4
| 0
| 0
| 0
| 1
| 1.1995443672531073842
|
Следовательно:
Среднее время безотказной работы системы :
По исходному графу, представленному на рисунке 1, с заданными значениями интенсивностей отказов λik и интенсивностей восстановления μik, были найдены показатели надежности для восстанавливаемых систем, используя метод марковских процессов:
вероятность отказа системы ,
среднее время наработки на отказ ,
интенсивность отказов системы ,
среднее время восстановления ,
коэффициент готовности ,
среднее время безотказной работы ч.
|