Основы теоретической надежности. Методы расчета показателей надежности сжат

• Название: Методы расчета показателей надежности сжат
• Анкор: Основы теоретической надежности
• Дата: 21.12.2022
• Размер: 0.91 Mb.
• Имя файла: OTN_polnostyu_gotovy_Chirkov_28_variant (3).docx
• Тип: Курсовая; #857127
• страница: 5 из 8

3.3 Расчет показателей надёжности восстанавливаемых систем методом Марковских процессов

Исходные данные:

Интенсивность отказов:

6

Интенсивность восстановления:

10/6

Работа некоторого устройства характеризуется графом, представленным на рисунке 1.

При этом S₀ – исправное состояние, S₁, S₂, S₃ – работоспособные состояния с различными неисправностями, S4 – неработоспособное состояние (состояние отказа). Вероятности переходов между состояниями характеризуются интенсивностями отказов и интенсивностями восстановления .



Рис.1. Граф состояний

Расчеты:

Составим систему уравнений Колмогорова для финальных вероятностей нахождения во всех состояниях:



Далее будем преобразовывать нашу систему уравнений для того, чтобы найти все значения P_i







Для решения данной системы уравнений представим ее в матричном виде и решим методом Гаусса и получим значения финальных вероятностей:

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	-0.0012	0	1.667	1.667	0	0	0
2	0.0006	-0.0012	0	0	0	0	0
3	0	0.0006	-1.6682	0	1.667	0	0
4	0.0006	0	0.0006	-1.667	0	0	0
5	0	0.0006	0.0006	0	-1.667	0	0
6	1	1	1	1	1	0	1

Нашли единицу в 1-ом столбце и поменяли местами 6-ую и 1-ую строки

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	1	1	1	1	0	1
2	0.0006	-0.0012	0	0	0	0	0
3	0	0.0006	-1.6682	0	1.667	0	0
4	0.0006	0	0.0006	-1.667	0	0	0
5	0	0.0006	0.0006	0	-1.667	0	0
6	-0.0012	0	1.667	1.667	0	0	0

Занулили 1-ый столбец

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	1	1	1	1	0	1
2	0	-0.0018	-0.0006	-0.0006	-0.0006	0	-0.0006
3	0	0.0006	-1.6682	0	1.667	0	0
4	0	-0.0006	0	-1.6676	-0.0006	0	-0.0006
5	0	0.0006	0.0006	0	-1.667	0	0
6	0	0.0012	1.6682	1.6682	0.0012	0	0.0012

Получили единицу в 2-ом столбце разделив 2-ую строку на -0.0018

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	1	1	1	1	0	1
2	0	1	0.33333333333333333333	0.33333333333333333333	0.33333333333333333333	0	0.33333333333333333333
3	0	0.0006	-1.6682	0	1.667	0	0
4	0	-0.0006	0	-1.6676	-0.0006	0	-0.0006
5	0	0.0006	0.0006	0	-1.667	0	0
6	0	0.0012	1.6682	1.6682	0.0012	0	0.0012

Занулили 2-ой столбец

и	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	0	0.666666666666666667	0.666666666666666667	0.666666666666666667	0	0.666666666666666667
2	0	1	0.333333333333333333	0.33333333333333333	0.33333333333333333	0	0.3333333333333333
3	0	0	-1.6684	-0.0002	1.6668	0	-0.0002
4	0	0	0.0002	-1.6674	-0.0004	0	-0.0004
5	0	0	0.0004	-0.0002	-1.6672	0	-0.0002
6	0	0	1.6678	1.6678	0.0008	0	0.0008

Получили единицу в 3-ем столбце разделив 3-ю строку на -1.6684

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	0	0.66666666666667	0.66666666666666666667	0.666666666666666667	0	0.66666666666666667
2	0	1	0.333333333333333	0.333333333333333333	0.333333333333333333	0	0.33333333333333333
3	0	0	1	0.0001198753296571565	-0.999040997362742747	0	0.000119875329657156
4	0	0	0.0002	-1.6674	-0.0004	0	-0.0004
5	0	0	0.0004	-0.0002	-1.6672	0	-0.0002
6	0	0	1.6678	1.6678	0.0008	0	0.0008

Занулили 3-ий столбец

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	0	0	0.66658674978022856229	1.3326939982418284983	0	0.66658674978022856229
2	0	1	0	0.33329337489011428114	0.66634699912091424917	0	0.33329337489011428114
3	0	0	1	0.00011987532965715655718	-0.99904099736274274754	0	0.00011987532965715655718
4	0	0	0	-1.6674000239750659314	-0.0002001918005274514505	0	-0.00040002397506593143131
5	0	0	0	-0.00020004795013186286262	-1.6668003836010549029	0	-0.00020004795013186286262
6	0	0	0	1.6676000719251977942	1.6670005754015823543	0	0.00060007192519779429394

Получили единицу в 4-ом столбце разделив 4-ую строку на -1.6674000239750659314

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	0	0	0.66658674978022856229	1.3326939982418284983	0	0.66658674978022856229
2	0	1	0	0.33329337489011428114	0.66634699912091424917	0	0.33329337489011428114
3	0	0	1	0.00011987532965715655718	-0.99904099736274274754	0	0.00011987532965715655718
4	0	0	0	1	0.00012006225119884314629	0	0.00023990882170690992764
5	0	0	0	-0.00020004795013186286262	-1.6668003836010549029	0	-0.00020004795013186286262
6	0	0	0	1.6676000719251977942	1.6670005754015823543	0	0.00060007192519779429394

Занулили 4-ый столбец

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	0	0	0	1.332613966336030564	0	0.66642682973852334885
2	0	1	0	0	0.66630698316801528206	0	0.33321341486926167442
3	0	0	1	0	-0.99904101175524468938	0	0.00011984657050806678135
4	0	0	0	1	0.00012006225119884314629	0	0.00023990882170690992764
5	0	0	0	0	-1.6668003595828476623	0	-0.00019999995686386184472
6	0	0	0	0	1.6668003595828476623	0	0.00019999995686386184477

Получили единицу в 5-ом столбце разделив 5-ую строку на -1.6668003595828476623

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	0	0	0	1.332613966336030564	0	0.66642682973852334885
2	0	1	0	0	0.66630698316801528206	0	0.33321341486926167442
3	0	0	1	0	-0.99904101175524468938	0	0.00011984657050806678135
4	0	0	0	1	0.00012006225119884314629	0	0.00023990882170690992764
5	0	0	0	0	1	0	0.00011999034900251407391
6	0	0	0	0	1.6668003595828476623	0	0.00019999995686386184477

Занулили 5-ый столбец

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	b
1	1	0	0	0	0	0	0.666266928923617064
2	0	1	0	0	0	0	0.33313346446180853199
3	0	0	1	0	0	0	0.00023972185017640335715
4	0	0	0	1	0	0	0.00023989441539548655093
5	0	0	0	0	1	0	0.00011999034900251407391
6	0	0	0	0	0	0	6e-23

=0.666266928923617064 = 0.66627

=0.33313346446180853199 = 0.33313

=0.00023972185017640335715 = 0.00024

=0.00023989441539548655093 = 0.00024

=0.00011999034900251407391 = 0.00012

Выполним проверку:

0.666266928923617064+0.33313346446180853199+0.00023972185017640335715+0.00023989441539548655093+0.00011999034900251407391=1

Вероятность отказа системы и вероятность безотказной работы :





Зная финальные вероятности, найдем время наработки на отказ :





Интенсивность отказов системы :

= = 0,0002 (1/ч)

Среднее время восстановления :



Коэффициент готовности:





Найдем среднее время безотказной работы:




Система состоит из четырех уравнений, 3 неизвестных, представим ее в матричном виде и решим методом Гаусса:

	X1	X2	X3	X4	b
1	-0.0012	0	1.667	1.667	-1
2	0.0006	-0.0012	0	0	0
3	0	0.0006	-1.6682	0	0
4	0.0006	0	0.0006	-1.667	0

Получили единицу в 1-ом столбце разделив 1-ую строку на -0.0012

	X1	X2	X3	X4	b
1	1	0	-1389.1666666666666666	-1389.1666666666666666	833.33333333333333333
2	0.0006	-0.0012	0	0	0
3	0	0.0006	-1.6682	0	0
4	0.0006	0	0.0006	-1.667	0

Занулили 1-ый столбец

	X1	X2	X3	X4	b
1	1	0	-1389.1666666666666666	-1389.1666666666666666	833.33333333333333333
2	0	-0.0012	0.8335	0.8335	-0.5
3	0	0.0006	-1.6682	0	0
4	0	0	0.8341	-0.8335	-0.5

Получили единицу в 2-ом столбце разделив 2-ую строку на -0.0012

	X1	X2	X3	X4	b
1	1	0	-1389.1666666666666666	-1389.1666666666666666	833.33333333333333333
2	0	1	-694.58333333333333333	-694.58333333333333333	416.66666666666666666
3	0	0.0006	-1.6682	0	0
4	0	0	0.8341	-0.8335	-0.5

Занулили 2-ой столбец

	X1	X2	X3	X4	b
1	1	0	-1389.1666666666666666	-1389.1666666666666666	833.33333333333333333
2	0	1	-694.58333333333333333	-694.58333333333333333	416.66666666666666666
3	0	0	-1.25145	0.41675	-0.25
4	0	0	0.8341	-0.8335	-0.5

Получили единицу в 3-ем столбце разделив 3-ю строку на -1.25145

	X1	X2	X3	X4	b
1	1	0	-1389.1666666666666666	-1389.1666666666666666	833.33333333333333333
2	0	1	-694.58333333333333333	-694.58333333333333333	416.66666666666666666
3	0	0	1	-0.33301370410324024132	0.19976826880818250829
4	0	0	0.8341	-0.8335	-0.5

Занулили 3-ий столбец

	X1	X2	X3	X4	b
1	1	0	0	-1851.7782039500845684	1110.8447534193668677
2	0	1	0	-925.88910197504228427	555.42237670968343387
3	0	0	1	-0.33301370410324024132	0.19976826880818250829
4	0	0	0	-0.55573326940748731472	-0.66662671301290503016

Получили единицу в 4-ом столбце разделив 4-ую строку на -0.55573326940748731472

	X1	X2	X3	X4	b
1	1	0	0	-1851.7782039500845684	1110.8447534193668677
2	0	1	0	-925.88910197504228427	555.42237670968343387
3	0	0	1	-0.33301370410324024132	0.19976826880818250829
4	0	0	0	1	1.1995443672531073842

Занулили 4-ый столбец

	X1	X2	X3	Х4	b
1	1	0	0	0	3332.1348673697666982
2	0	1	0	0	1666.0674336848833491
3	0	0	1	0	0.59923298178331735376
4	0	0	0	1	1.1995443672531073842

Следовательно:







Среднее время безотказной работы системы :



По исходному графу, представленному на рисунке 1, с заданными значениями интенсивностей отказов λ_ik и интенсивностей восстановления μ_ik, были найдены показатели надежности для восстанавливаемых систем, используя метод марковских процессов:

вероятность отказа системы ,

среднее время наработки на отказ ,

интенсивность отказов системы ,

среднее время восстановления ,

коэффициент готовности ,

среднее время безотказной работы ч.