Исслежовательская. РАБОТА СОФИИ. Методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней на заданном промежутке

Название	Методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней на заданном промежутке
Анкор	Исслежовательская
Дата	27.02.2023
Размер	436.15 Kb.
Формат файла
Имя файла	РАБОТА СОФИИ.docx
Тип	Решение #958175

Краснодарский край Калининский район ст. Новониколаевская

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа №12 имени А. Толстунова

«Методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней на заданном промежутке»

Зеленская София

10 класс МБОУ СОШ № 12

Руководитель:

Макаренко Юлия Ивановна

Учитель математики

МБОУ СОШ № 12 имени А. Толстунова

2022 год
Содержание:

Введение……………………………………………………….....................................................3

О тригонометрических уравнениях и основных методах их решения …………….............5

Общие правила решения тригонометрических уравнений…………………………………...7

Применение некоторых методов в практике по решению тригонометрических уравнений..7

Разложение одной из частей уравнения на множители…………………………………….....7

Решение однородных тригонометрических уравнений……………………………………….9

Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным…………………….11

Решение тригонометрических уравнений, смешанного типа……………………………….16

Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях…………………………………18

Заключение……………………………………………………………………………………...23

Список литературы……………………………………………………………………………..26

Введение

«Уравнения для меня важнее,

потому что политика — для настоящего,

а уравнения — для вечности»

Альберт Эйнштейн

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических – бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной особенностью тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

Долгое время тригонометрию рассматривали как раздел геометрии, и это порождало у школьников неверное представление о тригонометрических функциях, границы применимости которых, к тому же, сводились до минимума.

В настоящее время тригонометрию изучают в курсе алгебры и начал анализа, хотя основное понятие тригонометрической функции в учебной литературе по-прежнему задается геометрическим способом в виду отсутствия у старшеклассников знаний теории рядов. Таким образом, изучение тригонометрических функций, а в дальнейшем и тригонометрических уравнений, в школьном курсе имеет некоторые особенности.

Процесс нахождения решений тригонометрического уравнения состоит из двух основных этапов: преобразования уравнения до получения простейшего (их системы либо совокупности) и решения последнего (или последних).

В зависимости от вида исходного тригонометрического уравнения, существуют различные методы их решения, и в данной работе подробно рассматривается каждый из них, сопровождается примерами из вступительных экзаменов и пособий для абитуриентов.

Актуальность темы заключается в том, что тригонометрические уравнения включены во вторую часть Единого Государственного Экзамена. Задания такого плана содержат две части: непосредственное решение уравнения, в результате которого получается бесконечное множество корней, и последующий отбор корней на предмет принадлежности конкретному промежутку.

Новизна исследования состоит в том, что показана возможность эффективного решения отдельных тригонометрических уравнений.

Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений и уметь правильно отбирать нужные корни.

Поэтому, перед собой я поставила следующую цель:

Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений и способов отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.

Предмет исследования - решение тригонометрических уравнений и способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:

1. Рассмотреть различные типы заданий, содержащие тригонометрические уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ где необходимо выполнить отбор корней, классифицировать их;

2. Определить наиболее рациональный способ отбора корней для каждого типа заданий;

3. Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений из вариантов ЕГЭ;

При выполнении работы использовались материалы ЕГЭ по математике. Основные источники получения информации: официальные документы, научная и справочная литература.

О тригонометрических уравнениях и основных методах их решения.

Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а - данное число.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

Для решения тригонометрических уравнений используется несколько основных формул, около 20 дополнительных, и всего 8 методов решения. Все эти методы по-своему хороши и применимы для разных видов тригонометрических уравнений. Главная задача при решении тригонометрического уравнения состоит в том, чтобы правильно преобразовать его, свести к какому-нибудь более стандартному варианту подобрать наилучший способ решения для конкретного случая. То есть, в большинстве своём, главная проблема заключается в том, что уравнения надо непременно сначала привести к какому-то виду, прежде чем применить нужный метод решения.

Итак, основных методов решения тригонометрических уравнений 8:

1) Разложение одной из частей уравнения на множители.

В данном случае мы все слагаемые переносим в левую часть, раскладываем её на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.

Недостаток метода: может быть применён только к узкому кругу уравнений.

2) Замена переменной.

В данном случае уравнение приводят к такому виду, чтобы остался только один вид тригонометрической функции, а затем заменяют её на новую переменную. После решения уравнения относительно введённой переменной, остаётся только решить получившиеся простейшие тригонометрические уравнения согласно базовым формулам.

Преимущество метода: может быть применён к любому тригонометрическому уравнению (если только это целесообразно), так как все тригонометрические функции можно выразить друг через друга. Может также применяться совместно с другими методами.

Недостаток метода: Иногда, пытаясь свести всё уравнение к одному типу тригонометрической функции, мы получаем слишком сложное уравнение, так как не все функции связаны простыми зависимостями. К тому же метод нецелесообразен, когда в уравнении много разных тригонометрических функций.

3) Метод решения однородных тригонометрических уравнений.

В данном случае мы сначала приводим уравнения к однородному тригонометрическому уравнению. Затем делим обе части на cos x/cos²x/cos³x в зависимости от степени уравнения. Затем производим замену переменной и решаем методом замены переменной.

Преимущество метода: очень прост в применении. Одинаков для всех тригонометрических уравнений одной степени.

Недостаток метода: Далеко не все тригонометрические уравнения можно привести к виду однородных.

4) Решение уравнений вида a*cos x + b*sin x = c с помощью введения вспомогательного угла.

Недостаток метода: можно решить только уравнения определённого вида или сводимые к ним уравнения.

5) Метод подстановки.

В этом случае вместо часто повторяющейся разности или суммы двух функций подставляют переменную, решают уравнение относительно неё, а затем возвращаются к сумме или разности функций, которая была заменена.

Преимущество метода: даёт большие результаты в комплексном использовании вместе с другими методами.

Недостаток метода: редко применим к сложным уравнениям.

6) Решение тригонометрических уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

7) Метод универсальной подстановки.

При решении тригонометрических уравнений можно использовать и так называемую универсальную тригонометрическую подстановку на основе формул:

Если теперь ввести обозначение

то

С помощью универсальной подстановки мы можем любое уравнение вида

свести к алгебраическому уравнению. Важно при этом помнить, что, делая замену, мы можем потерять те корни исходного уравнения, для которых

не определён, то есть значения

их мы должны проверять отдельно.

Преимущество: применим для большинства уравнений. В сопряжении с другими методами едва ли не уникален.

Недостаток: после применения подстановки сужается область определения уравнения, поэтому все значения необходимо проверять.

8) Ограниченность функций (графический способ).

Каждая часть уравнения рассматривается как отдельная функция, причём первая из них – тригонометрическая, а вторая – алгебраическая, строятся графики этих функций, находятся их пересечения.

Преимущество метода: Наглядность, отсутствие сложных преобразований.

Недостатки: Невозможность построения некоторых графиков. Возможность неточностей в определении координат точек пересечения. Возможность ошибки в построении.

Общие правила решения тригонометрических уравнений:

Также существуют общие правила решения тригонометрических уравнений. Во время решения необходимо решать задачи:

1) отсева посторонних корней,

2) потери корней,

3) пересечения решений.

Решение тригонометрических уравнений сводится, как правило, к решению простейших уравнений:

a) sin x = a.

Все решения можно описать формулой:

x = (-1)^k arcsin a + πk, где k – число целое.

b) cos x = a.

Все решения можно описать формулой:

x =

arccos a + 2πk, где k – число целое.

c) tg x = a.

Все решения можно описать формулой:

x = arctg a + πk, где k – число целое.

d) ctg x = a.

Все решения можно описать формулой:

x = arcсtg a + πk, где k – число целое.

Если a = 0,-1,1 то для решения уравнений используются следующие частные формулы:

sin x = 0, x = πk, где k – число целое.

sin x = 1, x =

+2πk, где k – число целое.

sin x = -1, x = -

+ 2πk, где k – число целое.

cos x = 0, x =

+πk, где k – число целое.

cos x = 1, x = 2πk, где k – число целое.

cos x = -1, x = π +πk, где k – число целое.

tg x = 0, x = πk, где k – число целое.

ctg x = 0, x =

+πk, где k – число целое.

Применение некоторых методов в практике по решению тригонометрических уравнений

Разложение одной из частей уравнения на множители.

При данном методе решения всё переносится в левую часть уравнения так, чтобы в правой при этом оставался 0. Затем левая часть уравнения раскладывается на множители и далее уравнение решается согласно известному правилу: если произведение равно нулю, значит хотя бы один из множителей равен нулю. Так мы получаем из сложного уравнения совокупность простых уравнений вида cos t = a, sin t = a, tg t = a, ctg t = a, для решения которых используются указанные формулы.¹

Примеры применения данного метода:

4sin t

cos t – 2cos t + 2sin t - 1 = 0

(2sin t – 1)(2cos t + 1) = 0

2sin t – 1 = 0 или 2cos t + 1 = 0

sin t =

или cos t = -

Тогда:

t = (-1)^кarcsin

+ πk, k – число целое или

t =

arcos(-

) a + 2πk, где k – число целое.

Иначе:

t = (-1)^к

+ πk, k – число целое или

t =

+ 2πk, где k – число целое.

3tg² t – 2tg t = 0

tg t

(3tg t – 2) = 0

tg t = 0 или 3 tg t – 2 = 0

tg t = 0 или tg t =

Тогда:

t = arctg 0 + πk = πk, где k – число целое или

t = arctg

+ πk, где k – число целое.

ctg t = ctg³ t

ctg t – ctg³ t = 0

ctg t

(

– ctg² t) = 0

ctg t

(

– ctg t)

(

+ ctg t) = 0

ctg t = 0 или

– ctg t = 0 или

+ ctg t = 0

Тогда:

t =

+ πk, k – число целое.

t = arcctg

+ πk, где k– число целое

t = (π– arcctg

) + πk, где k – число целое.

1 – sin x

cos x = sin x – cos x

1 – sin x

cos x – sin x + cos x = 0

(sin x -1) + cos x

(sin x – 1) = 0

(cos x + 1)

(sin x – 1) = 0

cos x + 1 = 0 или sin x – 1 = 0

cos x = -1 или sin x = 1

x ₁ =π + πk, где k– число целое.

x ₂ =

+ 2πn, где n – число целое.
Решение однородных тригонометрических уравнений:

-однородное тригонометрическое 1 степени, делим обе части на косинус угла х. В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin² х +cos² х = 1. Значит, в этом выражении cos х ≠ 0.

Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cosх

Решение:

Ответ:

однородное тригонометрическое 2 степени, В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin² х +cos² х = 1. Значит, в этом выражении cos² х ≠ 0.

Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cosх

Решение:

Ответ:

Решение:

Используем формулы двойного аргумента:

Подставим их в исходное уравнение и домножим на тригонометрическую единицу 2, стоящую в правой части.

Ответ:

Решение:

В такой записи уравнение не является однородным.

Используем формулу синуса двойного аргумента.

Теперь уравнение однородное.

Решим его.

Ответ:

Решение:

Ответ:

Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным:

1.

1) Воспользуемся формулой приведения:

Получим уравнение:

2) Теперь нам удобно выразить через , поскольку в уравнении присутствует :

, где

Ответ:

, где

2.

Упростим выражение - разложим его на множители формуле разности квадратов:

Получим:

Введем замену переменной: ,

Получим квадратное уравнение:

По теореме Виета находим корни: , . Оба корня нас устраивают.

Теперь можем вернуться к исходной переменной, получим:

или

, или

, где

Ответ: ,

, где

3. 6cos² x + 5 sin x – 7 = 0.

Решение:

Решение:

Возведем обе части равенства в квадрат. Для соблюдения равносильности будем рассматривать только те значения переменной х, при которой

(*).

. Раскроем скобки в правой части уравнения и получим:

Так как

, то получаем:

или

.

Решая это уравнение, мы можем ввести новую переменную :

t(3t+4)=0

, .

С учетом (*) получаем:

.

Ответ:

Решение:

Пусть ,

,

тогда вспомогательное уравнение:

, или

, , .

Ответ:

.

Решение тригонометрических уравнений, смешанного типа:

Решите уравнение:

Преобразуем уравнение:

Ответ:

Решите уравнение:

Преобразуем исходное уравнение:

Ответ:

Решите уравнение

Решение:

Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, либо

откуда

либо

откуда

или

Ответ:

Решите уравнение:

Решение:

Заметим, что:

Далее имеем:

Ответ:

Решите уравнение:

Решение:

Последовательно получаем:

Ответ:

Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Обучение решению тригонометрических уравнений предполагает знакомство с приемами отбора корней из множеств значений неизвестного. Отбор корней в тригонометрическом уравнении может осуществляться способами: геометрическим, арифметическим и алгебраическим и функционально-графическим.

Геометрический способ основан на использовании двух моделей: тригонометрической окружности и числовой прямой. Тригонометрическая окружность удобна в случае, когда речь идет об отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2

, или если требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой.

Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке длина которого не превосходит

, или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.

Арифметический способ отбора корней состоит в вычислении неизвестного при переборе значений параметров из найденных серий решений с последующей их проверкой по дополнительным условиям.

Алгебраический способ предполагает составление соответствующих дополнительным условиям неравенств и их решение относительно параметра.

Алгебраический способ наиболее эффективен когда промежуток для отбора корней достаточно большой и применение арифметического способа приводит к сложным и объемным вычислениям, а геометрический- к громоздким построениям.

Функционально-графический способ, состоит в том, что при решении тригонометрических уравнений используют графики тригонометрических функций и отбор корней осуществляют с использованием этих графиков.

Данный способ отбора корней требует умение схематичного построения графика тригонометрической функции и применение формул корней соответствующих уравнений.

Каждый из этих способов по-своему хорош и удобен для применения в том или ином случае.

Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных подходов к отбору корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее популярен арифметический.

Отбор корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям

(корни уравнения принадлежат промежутку)

Пример 2.

Найдите все решения уравнения sin 2x = cos x, принадлежащие промежутку

Решение.

sin 2x = cos x,

2 sin x cos x – cos x = 0,

2 cos x (2 sin x – 1) = 0,

cos x = 0 или sin x =

.

1)cos x = 0, 2) sin x =

,

x =

; n

x =

или x =

, n

Отбор корней выполним арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности.

1.Если n=0, то x =

.

Если n=1, то x =

.

Если n=

1, то x =

.

Если n=

2, то x =

.

2.Если n=0, то x =

или x =

.

Если n=1, то для первой серии решений x =

.

Если n=

1, то x =

или x =

.

Ответ: ,

Ответ: ,

.
Отбор корней арифметическим способом приводит к громоздким вычислениям. С помощью тригонометрической окружности проще и нагляднее получить корни, принадлежащие данному промежутку.
Отбор корней выполним алгебраическим способом.

Решим двойное неравенство:

1

,

10

,

то k=2.

Тогда x =

.

Ответ: .

Отбор корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям

(корни уравнения удовлетворяют неравенству)

Пример 5.

Найдите все корни уравнения:

удовлетворяющие неравенству cos x 0 .

Решение.

Отбор корней. Изобразим полученные решения на тригонометрической окружности. Каждому уравнению соответствуют две точки на тригонометрической окружности. В ответ запишем только решения, расположенные на дуге окружности, соответствующей неравенству cos x 0 , т.е. лежащие в I и IV четвертях.

Ответ:

, n,k

Отбор корней. Функционально-графический способ.

На промежутке

, длина которого 2π, неравенству tgx>1 удовлетворяет одно число

. Следовательно, удовлетворяют данному уравнению все числа вида

+2πn, n

Ответ:

+2πn, n

Заключение.
В проделанной мною работе были изучены различные методы решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по отбору корней тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений следует умело анализировать зависимости между различными тригонометрическими функциями и уметь творчески подходить к работе.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами.

Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях:

Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
Геометрический способ:

- изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

- изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

Функционально-графический способ:отбор корней с использованием графика простейшей тригонометрической функции.

Рекомендации при отборе корней в тригонометрических уравнениях:

Арифметический способ самый простой, но он становится не эффективным в следующих случаях:

-заданные ограничения охватывают большой промежуток, и последовательный перебор значений приводит к громоздким вычислениям;

-серии решений содержат нетабличные значения обратных тригонометрических функций;

-требуется определить количество корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям.

Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2π, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.

Данная работа имеет большое практическое значение, т.к. тригонометрические уравнения часто содержатся в материалах ЕГЭ и экзаменов для поступления в вузы, а в школьном курсе математике недостаточно изучаются. Исследование может быть употреблено как материал для проведения предметных факультативов по алгебре или при подготовке к ЕГЭ.

Список использованной литературы

Гилемханов Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе//Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.
Глазков Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций/ Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. – М.: Издательство «Экзамен», 2016
ЕГЭ. Контрольно-измерительные материалы. М: Просвещение, 2002-2017г.
ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни /И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.В.Забелин и др.; под редакцией И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 640 с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, «Просвещение», 1994.
Крамор В.С. Тригонометрические функции. - М.: Просвещение, 1979.
Математика. ЕГЭ – 2017: экспресс – курс для подготовки к экзамену/ Дмитрий Гущин. – М, : Издательский дом «Учительская газета», 2017. – 256 с. (Библиотечка «Учительской газеты». Готовимся к ЕГЭ с лучшими учителями России)
Синакевич С.В. Тригонометрические уравнения - М.: Учпедгиз, 1959.
Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
Электронный ресурс «Математика»/ URL: http://www.webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php
Электронный ресурс «Решу ЕГЭ»/ URL: http://reshuege.ru/