Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
x,j ¢ , U n = u n 0 h 2 + N −1 X j=1 u n j h + u n N h 2 . 126 Показать, что разностная схема 3 Λu n+1 j + 2 3 Λu n j , j = 1, . . . , N − 1, ν 1/2 µ 1 3 u n+1 x,0 + 2 3 u n x,0 ¶ − h 2 u t,0 = 0, ν N −1/2 µ 1 3 u n+1 ¯ x,N + 2 3 u n ¯ x,N ¶ + h 2 u t,N = 0, u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , сохраняет количество тепла U n , те ВАРИАНТ 2 10.v2.1. С помощью метода операторных неравенств найти необходимое и достаточное условие устойчивости по начальным данным схемы 12 νΛu n+1 j + 11 12 νΛu n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 0, u n N = 0, n = 0, . . . , M, u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , аппроксимирующей на равномерной сетке x j = jh (j = 0, . . . , N , h = l/N ) первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν > 0. Здесь u n j τ , Λu n j = u n j+1 − 2u n j + u n j−1 h 2 . 10.v2.2. Пусть ν = ν(x) > 0, ν j+1/2 = 0, 5 (ν(x j ) + ν(x j+1 )), Λu n j = 1 h ¡ ν j+1/2 u n x,j − ν j−1/2 u n ¯ x,j ¢ , U n = u n 0 h 2 + N −1 X j=1 u n j h + Показать, что разностная схема 12 Λu n+1 j + 11 12 Λu n j , j = 1, . . . , N − 1, ν 1/2 µ 1 12 u n+1 x,0 + 11 12 u n x,0 ¶ − h 2 u t,0 = 0, ν N −1/2 µ 1 12 u n+1 ¯ x,N + 11 12 u n ¯ x,N ¶ + h 2 u t,N = 0, u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , сохраняет количество тепла U n , те. Задания для лабораторной работы В данном параграфе приведены задания к практическим занятиям на ЭВМ по теме Разностные схемы для уравнений параболического типа с одной пространственной переменной. Основная цель этих заданий состоит в экспериментальной проверке тех свойств численных методов, которые были установлены теоретически на лекциях и семинарских занятиях, выявлении новых, важных для практики особенностей используемых методов, экспериментальном сравнении разностных схем и экспериментальном определении условий их применимости. По каждому заданию готовится краткий отчет (о содержании отчета см. § На лекциях мы изучали только первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности (1.3). Задачи с краевыми условиями второго и третьего рода рассматривались на семинарских занятиях. При выполнении лабораторных работ необходимо будет решать задачи с краевыми условиями первого, второго или третьего рода, а также смешанные краевые задачи, когда на левом конце отрезка [0, l] задано условие одного рода, а на правом — другого (см, например, задачу из § Тестирование созданных программ проводить на точном решении задачи, в качестве которого брать достаточно гладкую произвольную функцию u(x, t) и для нее определять входные данные задачи подставив ее в исходное уравнение, определить правую часть f (x, t); положив = 0, найти начальные условия — функцию u 0 (x); положив x = и x = l, определить в соответствующих краевых условиях функции) и µ l (t). Для экспериментального определения порядка точности схем выполнить расчеты на последовательности измельчающихся сеток. Для экспериментального определения условий устойчивости схем провести расчеты при разных соотношениях шагов τ и h. 11.1. Впервой группе заданий рассматриваются конечно-разностные схемы для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом Задание 1. На тестовых задачах с различными краевыми условиями выполнить численное исследование явной схемы. Экспериментально определить порядок точности схемы, а также показать, что схема является условно устойчивой. Экспериментально подтвердить факт повышения точности численного решения при использовании явной схемы повышенного порядка аппроксимации Задание 2. На примере первой краевой задачи экспериментально доказать, что схема Кранка — Николсон имеет второй порядок точности и абсолютно устойчива. Задание 3. На тестовых задачах с различными краевыми условиями численно исследовать схему с весами (1.5). Экспериментально подтвердить условия устойчивости схемы с весами, приведенные в следствии 2 § 1. Путем проведения численных экспериментов показать, что схема повышенного порядка аппроксимации (вес σ вычисляется по формуле (1.74) ) абсолютно устойчива и имеет порядок точности, указанный в формуле (Задание 4. Экспериментально доказать, что неявная трехслойная схема (4.7) абсолютно устойчива и имеет порядок точности+ Задание 5. Экспериментально исследовать на устойчивость трехслойную схему (4.9). Исследовать влияние веса σ на точность численного решения. Задание 6. Экспериментально исследовать на устойчивость трехслойную схему с весами повремени. Исследовать влияние веса на точность численного решения. Задание 7. Экспериментально исследовать на устойчивость схему Дюфорта — Франкела (4.5). Выбирая τ = O(h) и τ = O(h 2 ), численно показать сущность условной аппроксимации для схемы (те. показать, что при τ = O(h) аппроксимируется другое дифференциальное уравнение и отклонения численного решения от точного будут существенными, а при τ = O(h 2 ) погрешность численного решения будет величиной порядка O(h 2 ). 11.2. В этом пункте приводится несколько заданий по экспериментальной проверке свойств конечно-разностных схем для уравнения теплопроводности) с переменным коэффициентом ν(x, t) > 0. Свойства схем проверять для двух случаев коэффициент ν(x, t) является гладкой функцией, например ν(x, t) = или ν(x, t) = 2x+e −t ; коэффициент, t) является разрывной функцией, например, кусочно-постоянной или кусочно-линейной. Задание 8. На тестовых задачах с краевыми условиями второго рода выполнить численное исследование явной схемы (3.12). Экспериментально определить порядок точности схемы, а также показать, что схема является условно устойчивой. Задание 9. На примере второй краевой задачи экспериментально доказать, что схема Кранка — Николсон (схема с весами (3.8) при = 0, 5) имеет второй порядок точности и абсолютно устойчива. Задание 10. На тестовых задачах с краевыми условиями второго рода выяснить порядок точности схемы с весами (3.8) при различных значениях весового параметра. Экспериментально подтвердить условия устойчивости схемы с весами, приведенные в теореме 3.1. 11.3. В этом пункте собраны задания по экспериментальной проверке свойств явной и полностью неявной конечно-разностных схем для нелинейного уравнения теплопроводности [ν(x, t, u)u x ] x + f (x, t, с коэффициентом ν > 0 и правой частью f , зависящими от независимых переменных x, t и искомого решения u(x, t). При использовании явной схемы (3.12) для решения нелинейного уравнения (11.1) сеточные функции и определяются формулами, t n , u n j ) + ν(x j+1 , t n , u n j+1 ) 2 , ϕ n j = f (x j , t n , поэтому явная схема для нелинейного уравнения является линейной и ее реализация такая же, как в линейном случае. Для полностью неявной схемы (схема с весами (3.8) при σ = 1) полагаем, откуда видно, что полностью неявная схема является нелинейной, поскольку ее коэффициенты и правая часть зависят от искомой функции u n+1 на (м слое повремени. Для нелинейных схем при переходе со слоя n на слой (n+1) вводятся итерации по нелинейности вычисление функции по известной функции осуществляется с использованием итерационного процесса, суть которого состоит в том, что на итерации с номером (m + 1) определяются значения функции по той же разностной схеме, нос коэффициентом и правой частью, вычисляемыми по функции с предыдущей итерации. Тем самым схема линеаризуется и принимает следующий вид u n+1,m+1 j − u n j τ = 1 h h ν n+1,m j+1/2 u n+1,m+1 j+1 − u n+1,m+1 j h − (11.2) − ν n+1,m j−1/2 u n+1,m+1 j − u n+1,m+1 j−1 h i + где, t n+1 , u n+1,m j ) + ν(x j+1 , t n+1 , u n+1,m j+1 ) 2 , ϕ n,m j = f (x j , t n+1 , В качестве начального приближения полагают u n+1,0 j = u n j . Итерационный процесс заканчивается либо по ограничению на число итераций, либо по условию достаточной близости решений на двух соседних ите- рациях. Отметим, что если правая часть f линейна потов уравнении (можно использовать ϕ n,m+1 j , если этого позволяют условия) корректности и устойчивости метода прогонки. Задание 11. На тестовых задачах для нелинейных уравнений параболического типа выполнить численное исследование явной схемы. Экспериментально определить порядок точности схемы и условия ее устойчивости. Задание 12. На тестовых задачах для нелинейных уравнений параболического типа выполнить численное исследование полностью неявной схемы. Экспериментально определить порядок точности схемы и условия ее устойчивости. Приведем несколько задач с известным аналитическим решением, на которых можно тестировать указанные схемы. Задача 1 (о бегущей температурной волне < x, t ≥ t 0 , u(x, t 0 ) = ½ [σcæ −1 (ct 0 − при ≤ при ≥ ct 0 , u(0, t) = где u 0 = (σc 2 /æ) 1/σ . Задача имеет точное решение, t) = ½ [σcæ −1 (ct − при ≤ при ≥ ct, 131 где σ, æ, c, t 0 — положительные параметры, c — скорость распространения температурной волны. При решении этой задачи ограничиться конечным интервалом интегрирования таким, чтобы ct 0 < 0, 5l. Число узлов на [0, вводить таким, чтобы на отрезке [0, ct 0 ] помещалось не менее пяти ячеек сетки. Конечное значение t = T выбирать таким, что T ≤ l/c. В этом случае можно полагать u(l, t) = 0. Обратите внимание, что начальные данные задачи заданы при t = t 0 > 0. В качестве параметров задачи можно взять, например, следующие σ = 1, æ = 1, c = 1, t 0 = 0, 1, l = 1 или такие же значения с заменой σ = 1 на σ = Задача 2: ∂u ∂t = ∂ ∂x µ (e x + t) ∂u ∂x ¶ + (e x − 2te 2x − tu), x ∈ (0; l); t ∈ (0; T ]; u(x, 0) = 0; u(0, t) = t; u(l, t) = Задача имеет точное решение u(x, t) = Задача 3: ∂u ∂t = ∂ ∂x µ u ∂u ∂x ¶ + x 2 − 6(t + 2)u, x ∈ (0; l); t ∈ (0; T ]; u(x, 0) = 2x 2 ; u(0, t) = 0; u(l, t) = (t + Задача имеет точное решение u(x, t) = (t + Задача 4: ∂u ∂t = ∂ ∂x µ (x + t) ∂u ∂x ¶ + t sin x + cos x + (x + t) · u, x ∈ (0; l); t ∈ (0; T ]; u(x, 0) = 0; u(0, t) = t; u(l, t) = t cos Задача имеет точное решение u(x, t) = t cos Задача 5: ∂u ∂t = ∂ ∂x µ 2u ∂u ∂x ¶ + 4(u − t) cos x, x ∈ (0; l); t ∈ (0; T ]; u(x, 0) = cos x; u(0, t) = 1 + 2t; u(l, t) = cos l + Задача имеет точное решение u(x, t) = cos x + При решении этой задачи правую границу l выбирать так, чтобы коэффициент ν = 2u был положительным, например, положить l < π/2. 132 § 12. Задания для лабораторной работы В данном параграфе приведены задания к практическим занятиям на ЭВМ по теме Итерационные методы численного решения задачи Дирихле для двумерного уравнения Пуассона. Основная цель этих заданий состоит в экспериментальной проверке тех свойств численных методов, которые были установлены теоретически на лекциях и семинарских занятиях, выявлении новых, важных для практики особенностей используемых методов, экспериментальном сравнении методов и экспериментальном определении условий применимости численных методов. По каждому заданию готовится краткий отчет (о содержании отчета см. § 1.13). 12.1. Для всех заданий рассматривается одна и та же задача Дирихле) для уравнения Пуассона в прямоугольнике Ω. Эта задача аппроксимируется схемой (5.36). Разностная задача (5.36) решается методом установления, при этом начальную функцию u 0 (x, y) нужно выбирать так, чтобы она удовлетворяла заданному краевому условию Дирихле (см. формулу (5.39) ). Общая схема всех итерационных методов выглядит так u n j,m τ = Λu n j,m + f (x j , y m ), (x j , y m ) ∈ ω h , u n j,m = µ(x j , y m ), (x j , y m ) ∈ γ h , n = 0, 1, . . . , (12.1) u 0 j,m = u 0 (x j , y m ), (x j , y m ) ∈ где n — номер итерационного шага, а τ — итерационный параметр. Приведем сводку итерационных методов, используемых в заданиях. Для метода простой итерации (5.37) оптимальное значение итерационного параметра τ находится по формуле (5.41). Для программной реализации метода требуется два двумерных массива. Представим оператор Λ в виде суммы трех операторов = −D + L + где В методе Зейделя производится следующая замена разностного уравнения (5.36): (−D + L)u n+1 j,m + Ru n j,m + f j,m = Преобразуем итерационную схему (12.2): (−D + L)(u n+1 j,m − u n j,m ) + (−D + L)u n j,m + Ru n j,m + f j,m = или − L)(u n+1 j,m − u n j,m ) = Λu n j,m + Сравнивая схему (12.3) с общей схемой итерационных методов (видим, что B = D − L 6= E, те. схема Зейделя неявная с итерационным параметром τ = Расчетные формулы получаем из разностного уравнения (12.2): u n+1 j−1,m − 2u n+1 j,m + u n j+1,m h 2 x + u n+1 |