Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
y ) 2 k∇uk L 2 (Ω) , u ∈ аналогичной оценке (2.8.14) для функций одной переменной, получаем, u) ≥ δ||u|| 2 L 2 (Ω) = δ(u, где δ = 4/ min(l 2 x , l 2 y ). Таким образом, оператор A является симметрическими положительно определенным на D A . Следовательно, на множестве можно ввести скалярное произведение, v) A = Z Ω (u x v x + u y v y ) dxdy, u, v ∈ и норму, u) A , u ∈ Тогда решение u ∈ задачи (8.1) удовлетворяет равенству, v) A = (f, v), ∀ v ∈ Неполное в норме (8.4) множество можно замкнуть в этой норме, присоединив к нему пределы всех фундаментальных последовательностей функций из D A . В результате такого замыкания получается гильбертово пространство H A — энергетическое пространство оператора с энергетической нормой (8.4), которое совпадает с пространством Соболева ◦ W 1 2 (Ω) Как ив одномерном случае (см. § 2.8), обобщенным решением задачи) назовем функцию u ∈ H A , удовлетворяющую равенству, v) A = (f, v), ∀ v ∈ Для одномерной задачи обобщенное решение существует, единственно и оценивается через правую часть f см. теоремы 2.8.1 и 2.8.2). Для многомерных задач эти вопросы исследуются, например, в работах [4; Далее будем предполагать, что для любой функции f ∈ L 2 (Ω) обобщенное решение u ∈ существует и единственно 8.2. Обобщенное решение u задачи (8.1) принадлежит пространству 2 (Ω), которое является бесконечномерными сепарабельным [14], следовательно, в нем существует счетный базис ϕ j ∈ H A (j = 1, 2, . . Пусть U N — конечномерное пространство с базисом ϕ j ∈ H A (j = 1, . . . , N ). Это пространство является замкнутым подпространством пространства и для любой функции v ∈ имеет место разложение) = N X j=1 v j ϕ j (x), x ∈ с вещественными коэффициентами Определение. Приближенным обобщенным решением задачи (называется функция u h ∈ U N , такая что, v) A = (f, v), ∀v ∈ Далее будем предполагать, что для любой функции f ∈ L 2 (Ω) приближенное обобщенное решение u h ∈ существует и единственно. Для того чтобы функция была приближенным обобщенным решением задачи (8.1), необходимо и достаточно выполнения равенств (см. задачу 8.2) (u h , ϕ k ) A = (f, ϕ k ), k = 1, . . . , Поскольку приближенное решение принадлежит подпространству, то подставляя его представление (8.6) u h (x) = N X j=1 u j ϕ j (x), x ∈ в равенства (8.8), приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов u j : N X j=1 (ϕ j , ϕ k ) A u j = (f, ϕ k ), k = 1, . . . , Квадратная матрица этой системы с элементами (ϕ j , симметрична. Кроме того, она невырождена, поскольку является относительно энергетического скалярного произведения матрицей Грама для базиса. Следовательно, система (8.10) однозначно разрешима. В общем случае матрица этой системы является полнозаполненной, те. все ее элементы отличны от нуля. В методе конечных элементов в качестве базисных функций берутся финитные функции, в результате эта матрица становится разреженной и может иметь ленточную структуру. Для применения метода конечных элементов необходимо вначале выполнить дискретизацию области — ее разбиение наконечные элементы. В одномерной области элементами являются отрезки — ячейки сетки, неравномерной в общем случае. Для двумерных задач элементами разбиения могут быть треугольники, четырехугольники или другие многоугольники. Всюду далее будем предполагать, что элементами разбиения области Ω являются треугольники, при этом выполняются следующие условия все треугольники не вырождены в том смысле, что величины внутренних углов любых треугольников всех рассматриваемых разбиений ограничены снизу некоторым положительным числом α ≥ α 0 > 0; — объединение всех треугольников совпадает с ¯ Ω; — треугольники могут пересекаться только по своим границам для каждого треугольника любая его вершина либо лежит на границе, либо является вершиной некоторого другого треугольника для каждого треугольника любая его сторона либо лежит на либо является стороной некоторого другого треугольника 1 2 0.0 0.5 Рис. 3. Триангуляция прямоугольника Разбиение области решения на треугольники, удовлетворяющее указанным требованиям, называется триангуляцией области (рис. Пусть все различные вершины треугольников (общая вершина нескольких треугольников считается за одну вершину) данной триангуляции упорядочены и число таких вершин равно N 0 . Через обозначим множество всех натуральных чисел от 1 до N 0 . Вершина x j (j ∈ может принадлежать границе γ или находиться внутри области Ω. Через обозначим подмножество множества J 0 , состоящее из номеров тех вершин x j (j ∈ J), которые лежат внутри Ω. Общее число таких вершин обозначим через N , N < N 0 . Для треугольника с вершинами x j k (j k ∈ J 0 , k = 1, 2, 3) будем использовать обозначение В качестве примера на риса показан случай когда вершина x j (j ∈ J) является общей для шести треугольников e jj k j k+1 , k = 1, . . . , где j k — номера вершин в общей нумерации вершин (j k ∈ J 0 ) и принято j 1 . Площадь треугольника вычисляется по формуле 2 h (x j k − x j ) (y j k+1 − y j ) − (x j k+1 − x j ) (y j k − y j ) i . j j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 а б Рис. 4. а — элементы с общей вершиной x j ; б — базисная функция ϕ j (x) После того как триангуляция области выполнена, необходимо выбрать базисные функции. В методе конечных элементов в качестве базисных функций берутся кусочно-полиномиальные функции с конечным носителем. При этом задается набор узловых точек и каждая базисная функция ϕ связывается с одной из узловых точек x так, что в этой точке она равна единице, в других узловых точках — нулю и носитель функции ϕ расположен в некоторой окрестности узловой точки. Так, например, в одномерном случаев качестве узловых точек выбирались узлы сетки и определялись кусочно-линейные финитные базисные функции (2.8.59), связанные с этими узловыми точками. Если множество узловых точек состояло из узлов сетки и середин ее ячеек, то строились кусочно-квадратичные базисные функции (см. подп. Для двумерных задач имеется еще больший произвол в способах задания узловых точек. Ими могут быть, например, центры треугольников (кусочно-постоянные базисные функции, вершины треугольников (кусочно-линейные функции, вершины треугольников и середины их сторон (кусочно-квадратичные функции от двух переменных x, y) и т. д. Вообще говоря, повышение степени полиномов, представляющих базисные функции, ведет к повышению точности приближенного решения. Далее мы будем рассматривать лишь случай кусочно-линейных базисных функций для узловых точек, совпадающих с вершинами треугольников построенной триангуляции. Пусть, например, вершина является внутренней (j ∈ J) и общей для шести треугольников см. риса. Тогда базисная функция ϕ j (x) должна принимать в этой вершине значение, равное 1, во всех других вершинах — нулевое значение, быть линейной на каждом из треугольников и равной нулю вне объединения этих треугольников. Этим условиям удовлетворяет функция) = x j k y j k+1 − x j k+1 y j k + (y j k − y j k+1 )x − (x j k − если x если x ∈ ¯ Ω являющаяся аналогом кусочно-линейной функции (2.8.59) для одномерной задачи. График функции ϕ j (x) на ее носителе изображен на рис. 4, б. По такой же формуле определяются базисные функции связанные с вершинами x j (j ∈ J), являющимися общими для другого числа треугольников, а также с вершинами x j ∈ Отметим, что ϕ j ∈ и система функций ϕ j (j ∈ J) линейно независима (задача 8.4) [4]. Тогда в качестве конечномерного подпространства можно взять линейную оболочку N функций ϕ j (j ∈ и приближенное обобщенное решение искать в виде разложения (коэффициенты которого определяются путем решения системы (8.10). 122 Однако теперь, в силу локальности носителей базисных функций, число неизвестных в каждом из уравнений (8.10) будет намного меньше общего числа N неизвестных. Например, для случая, изображенного на риса, уравнение (8.10) принимает следующий вид, ϕ j ) A u j + 6 X k=1 (ϕ j , ϕ j k ) A u j k = (f, ϕ j ), j ∈ и содержит только семь неизвестных (точнее, не более семи, поскольку некоторые из вершин могут оказаться на границе γ, где u j k = В силу равенств y j k+1 S jj k j k+1 , ∂ϕ j ∂y ¯ ¯ ¯ ¯ x∈e jjkjk+1 = − x j k − коэффициенты уравнения (8.12) вычисляются последующим формулам где принято, что j 0 = Итак, при использовании финитных базисных функций матрица системы уравнений (8.10) становится разреженной и для решения этой системы можно использовать стандартные итерационные методы для систем с разреженными матрицами [5]. Отметим, что в некоторых случаях система уравнений (8.10), полученная методом конечных элементов, может совпадать с системой разностных уравнений для решения задачи (8.1) на прямоугольной равномерной сетке (см. задачу 8.6) или с системой разностных уравнений (7.17) для приближенного решения той же задачи на криволинейной сетке. В работах [4; 6] доказано, что при некоторых условиях на триангуляцию области приближенное обобщенное решение сходится к обобщенному решению u задачи (8.1). 123 ЗАДАЧИ. Используя схему доказательства леммы 2.8.1, установить справедливость оценки (8.3) и вывести ее уточненный вариант, l y ) √ 6 k∇uk L 2 (Ω) , u ∈ D A . 8.2. Используя схему доказательства леммы 2.8.4, установить следующий факт для того чтобы функция была приближенным обобщенным решением задачи (8.1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства (8.8). 8.3. Покажите, что функция (8.11) равна единице в узле и нулю в вершинах x j k (k = 1, . . . , 6). 8.4. Доказать, что система функций ϕ j (j ∈ J) линейно независима. Вывести формулы (8.13), (8.14) для коэффициентов уравнения. Доказать, что если вершины треугольников совпадают с узлами прямоугольной равномерной сетки и каждая внутренняя по отношению к Ω вершина является общей для шести прямоугольных треугольников рис. 5), то уравнения (8.12) после деления на совпадают со стандартной аппроксимацией (5.36) уравнения Пуассона на пятиточечном шаблоне 2u j + u j 6 h 2 x + u j 5 − 2u j + u j 2 h 2 y + f j = 0, j ∈ где f j = (f, Рис. Конечные элементы на равномерной прямоугольной сетке с шагами и h y . Вершина является общей для шести прямоугольных треугольников e jj k j k+1 , k = 1, . . . , 6, j 7 = j 1 124 § 9. Контрольная работа по теме «Конечно-разностные схемы для уравнения теплопроводности» ВАРИАНТ 1 9.v1.1. Используя принцип максимума, найти достаточное условие устойчивости в равномерной норме схемы u n j τ = 1 3 νΛu n+1 j + 2 3 νΛu n j + ϕ n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = µ 0 (t n ), u n N = µ l (t n ), n = 0, . . . , M, u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , аппроксимирующей на равномерной сетке x j = jh (j = 0, . . . , N , h = l/N ) первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν > 0. Здесь Λ — оператор второй разностной производной. С помощью спектрального метода Неймана получить необходимое условие устойчивости схемы (9.1) по начальным данным при законе предельного перехода ντ /h 2 = const. 9.v1.3. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи, если ϕ ≡ 0, µ 0 ≡ 0, µ l ≡ 0, u 0 (x j ) = 2 sin µ 2πx j l ¶ sin µ π(l − Вычислить норму решения на слое. ВАРИАНТ 2 9.v2.1. Используя принцип максимума, найти достаточное условие устойчивости в равномерной норме схемы u n j τ = 1 12 νΛu n+1 j + 11 12 νΛu n j + ϕ n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = µ 0 (t n ), u n N = µ l (t n ), n = 0, . . . , M, u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , N, (9.2) 125 аппроксимирующей на равномерной сетке x j = jh (j = 0, . . . , N , h = l/N ) первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν > 0. Здесь Λ — оператор второй разностной производной. С помощью спектрального метода Неймана получить необходимое условие устойчивости схемы (9.2) по начальным данным при законе предельного перехода ντ /h 2 = const. 9.v2.3. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи, если ϕ ≡ 0, µ 0 ≡ 0, µ l ≡ 0, u 0 (x j ) = 2 sin µ 2πx j l ¶ cos ³ Вычислить норму решения на слое 10. Контрольная работа по теме «Исследование разностных схем для уравнения теплопроводности» ВАРИАНТ 1 10.v1.1. С помощью метода операторных неравенств найти необходимое и достаточное условие устойчивости по начальным данным схемы 3 νΛu n+1 j + 2 3 νΛu n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 0, u n N = 0, n = 0, . . . , M, u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , аппроксимирующей на равномерной сетке x j = jh (j = 0, . . . , N , h = l/N ) первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν > 0. Здесь u n j τ , Λu n j = u n j+1 − 2u n j + u n j−1 h 2 . 10.v1.2. Пусть ν = ν(x) > 0, ν j+1/2 = 0, 5 (ν(x j ) + ν(x j+1 )), Λu n j = 1 h ¡ ν j+1/2 u n x,j − ν j−1/2 u n ¯ |