Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
также устойчивой? Лемма 6.1. Пусть A = A ∗ > 0 и оператор B имеет вид (где операторы R k — самосопряженные, неотрицательные и попарно перестановочные R k = R ∗ k ≥ 0, R k R m = R m R k , m, k = 1, 2, . . . , Тогда если схема (6.10) устойчива по начальным данным в H A , то СПФ (6.13) также устойчива в Доказательство. В самом деле, поскольку схема (устойчива в и B = B ∗ > 0, то ≥ 0, 5τ Для произведения операторов имеем, v) = (R β u, R α v) = (u, R β R α v) = (u, R α R β v), ∀u, v ∈ те. Это означает, что оператор является самосопряженным. Кроме того, этот оператор является неотрицательным, что следует из леммы 2.2 (R 1/2 α R β R 1/2 α u, u) ≥ 0, ∀u ∈ и равенства R 1/2 α R β R 1/2 α = R 1/2 α R 1/2 α R β = R α R β . Аналогично показывается, что любые произведения операторов являются самосопряженными неотрицательными операторами. Поэтому для оператора факто- ризованной схемы получим, что ˜ B = и = E + τ (R 1 + . . . + R p ) + τ 2 Q p = B + τ 2 Q p ≥ B ≥ 0, 5τ где оператор представлен суммой всевозможных произведений операторов. Следовательно, по теореме о необходимом и достаточном условии устойчивости получаем, что фактори- зованная схема также будет устойчивой по начальным данным в H A 94 Вернемся опять к схеме Кранка — Николсон (6.4) и рассмотрим для нее следующую схему приближенной факторизации − τ 2 Λ xx ´ ³ E − τ 2 Λ yy ´ u n+1 − u n τ = Λu n + Поскольку схема Кранка — Николсон абсолютно устойчива, а операторы и A y = являются самосопряженными, положительными и перестановочными (см. задачу 6.1), то по лемме 6.1 СПФ (6.15) также будет абсолютно устойчивой схемой. Выясним порядок аппроксимации СПФ (6.15). Перепишем эту схему в виде − τ 2 Λ ´ u t = Λu n + f n+1/2 − τ 2 Таким образом, СПФ (6.15) с точностью до члена порядка O(τ 2 ) совпадает со схемой Кранка — Николсон (6.4), поэтому она также имеет погрешность аппроксимации порядка O(τ 2 + h 2 x + Для определения будем использовать метод дробных шагов (6.8): ³ E − τ 2 Λ xx ´ ξ n+1/2 j,m = Λu n j,m + f n+1/2 j,m ; (6.16) ³ E − τ 2 Λ yy ´ ξ n+1 j,m = ξ n+1/2 j,m ; (6.17) u n+1 j,m = u n j,m + τ где и ξ n+1 — вспомогательные сеточные функции. Сначала на первом дробном шаге (6.16) находим сеточную функцию, а затем на втором шаге (6.17) — и, наконец, на третьем шаге по формуле (6.18) вычисляем окончательное решение u n+1 . На первом шаге схема неявная пои при каждом m функция находится скалярной прогонкой, при этом общее количество операций пропорционально произведению N x N y . Аналогично, на втором шаге схема является неявной пои при каждом j вспомогательную функцию находим также скалярной прогонкой. Общее количество операций для перехода со слоя n на слой n + 1 пропоционально N x N y . Таким образом, СПФ попадает под определение экономичной. Подчеркнем, что этого нам удалось добиться за счет использования приближенной факторизации оператора B и сведения перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач. Это и есть основная идея построения большинства (ноне всех) экономичных методов Замечание. При реализации первого дробного шага необходимо знать на границах x = 0 и x = значения ξ n+1/2 и ξ n+1/2 N x ,m (m = 1, . . . , N y − 1). Они находятся из уравнения второго шага (6.17) ξ n+1/2 = ³ E − τ 2 Λ yy ´ µ n+1 − При этом вторая производная вычисляется вдоль границ x = и x = Определение. Разностная схема для уравнения теплопроводности обладает свойством полной аппроксимации, если при установлении, те. при u t = 0, она переходит в разностную схему для уравнения Пуассона. Не все схемы обладают свойством полной аппроксимации (см. задачи и 6.8). Очевидно, что СПФ (6.15) обладает свойством полной аппроксимации. Следовательно, ее можно применять в методе установления для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. При использовании СПФ в качестве метода установления для решения задачи Дирихле (5.3), в которой граничная функция µ не зависит от времени для вспомогательных функций следует задавать согласно уравнениями) следующие граничные значения 0,m = 0, ξ n+1/2 N x ,m = 0, m = 1, . . . , N y − 1; (6.20) ξ n+1 j,0 = 0, ξ n+1 j,N y = 0, j = 1, . . . , N x − Для трехмерной задачи (5.2) СПФ, полученная из схемы Кранка — Николсон, имеет вид − τ 2 Λ xx ´ ³ E − τ 2 Λ yy ´ ³ E − τ 2 Λ zz ´ u n+1 − u n τ = Λu n + f n+1/2 , те. она совершенно аналогична СПФ для двумерной задачи. В дробных шагах ее можно реализовать в соответствии с приведенным выше методом дробных шагов (6.8): ³ E − τ 2 Λ xx ´ ξ n+1/3 j,m = Λu n j,m + f n+1/2 j,m ; (6.23) ³ E − τ 2 Λ yy ´ ξ n+2/3 j,m = ξ n+1/3 j,m ; (6.24) ³ E − τ 2 Λ zz ´ ξ n+1 j,m = ξ n+2/3 j,m ; (6.25) u n+1 j,m = u n j,m + τ ξ n+1 j,m . (6.26) 96 Из леммы 6.1 следует, что схема приближенной факторизации (для трехмерной задачи абсолютно устойчива. Также как в двумерном случае, легко проверяется, что она имеет погрешность аппроксимации порядка O(τ 2 + h 2 x + h 2 y + h 2 z ) и обладает свойством полной аппроксимации. СПН — схема переменных направлений (схема продольно– поперечной прогонки ). Рассмотрим другие реализации в дробных шагах одной и той же схемы приближенной факторизации (6.15). В СПФ в дробных шагах (6.16), (6.17) вместо введем промежуточное решение по формуле u n τ Тогда формулы метода дробных шагов (6.16)—(6.18) переходят в следующие или u n τ /2 = Λ xx u n+1/2 + Λ yy u n + f n+1/2 ; (6.28) u n+1 − u n τ − 1 2 Λ yy u n+1 + 1 2 Λ yy u n = u n+1/2 − u n τ Если теперь из первого уравнения (6.28) выразить и подставить во второе, то получим окончательный вид формул СПН: u n+1/2 j,m − u n j,m τ /2 = Λ xx u n+1/2 j,m + Λ yy u n j,m + f n+1/2 j,m ; (6.30) u n+1 j,m − u n+1/2 j,m τ /2 = Λ xx u n+1/2 j,m + Λ yy u n+1 j,m + Каждый из дробных шагов реализуется прогонками (см. задачу На первом шаге (6.30) для вычисления используется продольная прогонка (прогонка по x при каждом фиксированном m = 1, . . . , а на втором шаге (6.31) с помощью поперечной прогонки находим u n+1 97 Для реализации продольных прогонок необходимо иметь граничные значения промежуточного решения в узлах сетки на левой x = и правой x = сторонах прямоугольника Ω. Ввиду равенств (и (6.19) получаем, что u n + τ 2 ξ n+1/2 = µ n + τ 2 ³ E − τ 2 Λ yy ´ µ n+1 − µ n τ = (6.32) = µ n + µ n+1 − µ n 2 − τ 4 Λ yy ¡ µ n+1 − µ n ¢ = µ n+1 + µ n 2 − τ 4 Λ yy ¡ µ n+1 − Из этой формулы следует, что при использовании СПН для решения задачи Дирихле (5.3) следует задавать следующие граничные значения для промежуточного решения 0,m = µ(0, y m ), u n+1/2 N x ,m = µ(l x , y m ), m = 1, . . . , N y − Как обобщить СПН (6.30), (6.31) для трехмерной задачи (5.2)? Рассмотрим, например, следующее естественное обобщение (схема Писме- на — Рекфорда): u n+1/3 − u n τ /3 = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n + Λ zz u n + f n+1/2 ; (6.34) u n+2/3 − u n+1/3 τ /3 = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n+2/3 + Λ zz u n+1/3 + f n+1/2 ; (6.35) u n+1 − u n+2/3 τ /3 = Λ xx u n+2/3 + Λ yy u n+2/3 + Λ zz u n+1 + Схема (6.34)—(6.36) экономична, но имеет порядок аппроксимации + h 2 x + h 2 y + h 2 z ). Кроме этого недостатка она не обладает свойством полной аппроксимации (см. задачу 6.3). Еще один существенный недостаток схемы (6.34)—(6.36) состоит в том, что она условно устойчива: для устойчивости необходимо выполнение неравенств 2 , ν τ h 2 y ≤ 3 2 , ν τ h 2 z ≤ 3 Чтобы получить в трехмерном случае СПН с хорошими свойствами, будем строить ее на основе СПФ (6.22), но вместо дробных шагов) будем использовать другие дробные шаги, аналогичные СПН (6.30), (6.31). Для этого вместо вспомогательных функций и введем промежуточные решения и по формулам u n τ /2 , ξ n+2/3 = u n+2/3 − u n τ Тогда дробные шаги (6.23)—(6.26) запишутся так u n τ /2 = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n + Λ zz u n + f n+1/2 ; (6.39) u n+2/3 − u n τ /2 = Λ yy u n+2/3 − Λ yy u n + u n+1/3 − u n τ /2 ; (6.40) u n+1 − u n τ = 1 2 Λ zz u n+1 − 1 2 Λ zz u n + u n+2/3 − u n τ Второе уравнение с учетом первого можно переписать так u n τ /2 = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n+2/3 + Λ zz u n + Выразим отсюда и подставим в уравнение (6.41). В результате получим СПН со следующими дробными шагами u n τ /2 = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n + Λ zz u n + f n+1/2 ; (6.43) u n+2/3 − u n τ /2 = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n+2/3 + Λ zz u n + f n+1/2 ; (6.44) u n+1 − u n+2/3 τ /2 = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n+2/3 + Λ zz u n+1 + Видим, что такая реализация СПФ в трехмерном случае аналогична двумерной СПН (6.30), (6.31), поэтому схему (6.43)—(6.43) тоже будем называть схемой переменных направлений. Поскольку построенная СПН эквивалентна СПФ, то она абсолютно устойчива, имеет второй порядок аппроксимации по τ , h x , h y , h z , обладает свойством полной аппроксимации и является экономичной 6.3. ССП — схема стабилизирующей поправки (схема Дуг- ласа — Рекфорда). Рассмотрим еще одну реализацию СПФ (6.15) для двумерной задачи. В методе дробных шагов (6.16)—(6.18) вместо введем промежуточное решение по формуле Тогда дробные шаги СПФ запишутся так − τ 2 Λ xx ´ u n+1/2 − u n τ = Λu n + f n+1/2 ; ³ E − τ 2 Λ yy ´ u n+1 − u n τ = u n+1/2 − или u n τ = 1 2 Λ xx ³ u n+1/2 + u n ´ + Λ yy u n + f n+1/2 ; (6.47) u n+1 − u n+1/2 τ = 1 2 Λ yy ¡ u n+1 − Реализация СПФ в дробных шагах (6.47), (6.48) называется ССП. Она является экономичной, поскольку вычисление промежуточного решения и решения нам временном слое производится методом прогонки в продольном и поперечном направлениях, соответ- ственно. Чтобы осуществить продольную прогонку на первом дробном шаге, необходимо иметь граничные значения сеточной функции при x = 0 и x = l x . Из равенств (6.46) и (6.19) получаем, что u n + τ ξ n+1/2 = µ n + τ ³ E − τ 2 Λ yy ´ µ n+1 − µ n τ = (6.49) = µ n+1 − τ 2 Λ yy ¡ µ n+1 − При решении задачи Дирихле (5.3) функция µ не зависит от времени, поэтому граничные значения для промежуточного решения следует задавать по формулам (6.33). 100 Обобщим ССП (6.47), (6.48) на трехмерный случай. Для этого вместо вспомогательных функций и ξ n+2/3 , использующихся в методе дробных шагов (6.23)—(6.26) для СПФ, введем промежуточные решения и по формулам u n τ , ξ n+2/3 = u n+2/3 − Тогда вместо формул (6.23)—(6.26) получим следующие u n τ = Λ xx µ u n+1/3 + u n 2 ¶ + Λ yy u n + Λ zz u n + f n+1/2 ; (6.51) u n+2/3 − u n+1/3 τ = 1 2 Λ yy ³ u n+2/3 − u n ´ ; (6.52) u n+1 − u n+2/3 τ = 1 2 Λ zz ¡ u n+1 − Поскольку ив трехмерном случае ССП является лишь иной реализацией в дробных шагах СПФ, то ССП обладает теми же свойствами, что и СПФ: она экономична, абсолютно устойчива, имеет второй порядок аппроксимации пои является схемой полной аппроксимации. Сходимость итерационного метода переменных направлений. Для решения разностной задачи Дирихле (5.36) используем итерационный процесс, основанный на схеме приближенной факторизации − |