Методы вычислений

• Название: Методы вычислений
• Дата: 24.11.2022
• Размер: 2.39 Mb.
• Имя файла: KhakiCherny3.pdf
• Тип: Учебное пособие; #810253
• страница: 9 из 18

O(τ
2
+ h
2
+ τ
2
/h
2
), те. она является лишь
условно аппроксимирующей.
Определение. Если погрешность аппроксимации схемы стремится к нулю лишь при определенном законе предельного перехода τ = τ то говорят, что схема условно аппроксимирует дифференциальную
задачу.
Если взять τ = αh, где α = const, то очевидно, что схема будет аппроксимировать не уравнение теплопроводности, а уравнение вида+ να
2
∂
2
u
∂t
2
= ν
∂
2
u
∂x
2
+ Поэтому необходимо, чтобы 0 при h → 0, τ → Например, взять τ = O(h
2
). Тогда погрешность аппроксимации будет иметь порядок Таким образом, использование рассмотренных явных схем для уравнения теплопроводности возможно только при дополнительных ограничениях на шаги сетки для явной двухслойной схемы (1.34) из-за условной устойчивости (1.52), для явной трехслойной схемы ромб (4.5) —
из-за условной аппроксимации (4.6).
4.3. Неявная трехслойная схема записывается так 4u
n
j
+ u
n−1
j
2τ
= ν
u
n+1
j−1
− 2u
n+1
j
+ u
n+1
j+1
h
2
+ Эта схема имеет пятиточечный шаблон и ее погрешность аппроксимации равна O(τ
2
+ h
2
). Множитель перехода λ удовлетворяет уравнению Для комплексно-сопряженных корней этого уравнения выполняется неравенство Если корни действительные, то для дискриминанта d = 1 − 8r выполняется неравенство 0 ≤ d ≤ 1 и, следовательно < λ
1,2
=
2 ∓
√
d
3 + 8r sin
2 ϕ
2
≤ Итак, неявная трехслойная схема удовлетворяет необходимому условию устойчивости при любых τ и h иона имеет второй порядок аппроксимации пои. Однако, чтобы начать счет по этой схеме, необходимо, как это следует из формулы (4.7), задать начальные данные на двух временных слоях нулевом и первом.
Положим
u
0
j
= u
0
(x
j
),
u
1
j
= u
∗
j
,
j = 1, . . . , N − где сеточная функция подлежит определению. Подберем ее так, чтобы общий порядок аппроксимации схемы был не ниже, чем порядок аппроксимации дифференциального уравнения O(τ
2
+ h
2
). Имеем (L
h
(u
h
) − f
h
)
1
j
= u(x
j
, τ ) − u
∗
j
= u(x
j
, 0) + τ u
t
(x
j
, 0) + O(τ
2
) − Предполагая, что решение u(x, t) начально-краевой задачи удовлетворяет уравнению теплопроводности (4.1) не только при t > 0, но и при = 0, получаем u
0
(x
j
) + τ
¡
νu
xx
(x
j
, 0) + f (x
j
, 0)
¢
+ O(τ
2
) − Следовательно, функцию можно выбрать в виде u
0
(x
j
) + τ
µ
ν
∂
2
u
0
∂x
2
(x
j
) + f (x
j
, Заметим, что вместо второй производной функции можно использовать вторую разностную производную, что также приводит к схеме с порядком аппроксимации O(τ
2
+ h
2
). В самом деле, если начальные данные на первом временном слое заданы по формуле u
0
(x
j
) + τ
µ
ν
u
0
(x
j−1
) − 2u
0
(x
j
) + u
0
(x
j+1
)
h
2
+ f (x
j
, 0)
¶
,
(4.8)
70

то для погрешности аппроксимации при t = τ получаем выражение u(x
j
, τ ) − u
0
(x
j
) − τ
µ
ν
u
0
(x
j−1
) − 2u
0
(x
j
) + u
0
(x
j+1
)
h
2
+ f (x
j
, 0)
¶
=
= u(x
j
, 0) + τ u
t
(x
j
, 0) + O(τ
2
)−
−u
0
(x
j
) − τ
µ
ν
∂
2
u
0
∂x
2
(x
j
) + O(h
2
) + f (x
j
, 0)
¶
= O(τ
2
+ τ С учетом порядка аппроксимации дифференциального уравнения отсюда следует, что рассматриваемая трехслойная схема аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком O(τ
2
+ ЗАДАЧИ. Определить, с каким порядком трехслойная разностная схема u
n−1
j
2τ
= νΛ
£
σu
n+1
j
+ (1 − 2σ)u
n
j
+ σu
n−1
j
¤
+ где Λ — оператор второй разностной производной 2u
n
j
+ аппроксимирует уравнение (4.1). С помощью спектрального метода
Неймана получить необходимое условие устойчивости этой схемы при = const ≥ 0 и законе предельного перехода (4.3).
4.2. Определить, с каким порядком трехслойная разностная схема + σ)
u
n+1
j
− u
n
j
τ
− σ
u
n
j
− u
n−1
j
τ
= νΛu
n+1
j
+ аппроксимирует уравнение (4.1). С помощью спектрального метода
Неймана получить необходимое условие устойчивости этой схемы при = const > −1 и законе предельного перехода (4.3).
71

§ 5. Схемы для уравнения теплопроводности с несколькими пространственными переменными
Обозначим через Ω прямоугольник {(x, y)
¯
¯ 0 < x < l
x
,
0 < y < в плоскости xOy, через γ — его границу, D = Ω×(0, T ], боковую поверхность параллелепипеда ¯
D обозначим через Γ = γ × [0, T ]. Тогда первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности c двумя пространственными переменными формулируется так требуется найти непрерывное в замкнутой области ¯
D решение задачи ν(u
xx
+ u
yy
) + f (x, y, t),
(x, y, t) ∈ D,
u(x, y, t) = µ(x, y, t),
(x, y, t) ∈ Γ,
u(x, y, 0) = u
0
(x, y),
(x, y) ∈ Рассматривая разностные схемы для задачи (5.1), мы иногда будем указывать их обобщения на трехмерный случайте. рассматривать схемы для решения начально-краевой задачи в трехмерной области ν(u
xx
+ u
yy
+ u
zz
) + f (x, y, z, t),
(x, y, z, t) ∈ D,
u(x, y, z, t) = µ(x, y, z, t),
(x, y, z, t) ∈ Γ,
u(x, y, z, 0) = u
0
(x, y, z),
(x, y, z) ∈ где Ω = {(x, y, z)
¯
¯ 0 < x < l
x
,
0 < y < l
y
,
0 < z < l
z
} — параллелепипед в Кроме того, мы будем выделять те разностные схемы, которые пригодны и для решения методом установления задачи Дирихле для уравнения Пуассона+ u
yy
+ f (x, y) = 0,
(x, y) ∈ Ω,
u(x, y) = µ(x, y),
(x, y) ∈ Эта задача Дирихле называется стационарной. В ней искомая функция, ее граничные значения и функция f не зависят от времени. Суть метода установления заключается в переходе от стационарной задачи) к поиску решения нестационарной задачи (5.1) и его предела при → Для построения разностной схемы введем сетки. Равномерную сетку в замкнутом прямоугольнике ¯
Ω обозначим через, y
m
)
¯
¯ x
j
= jh
x
, y
m
= mh
y
, j = 0, . . . , N
x
, m = 0, . . . , N
y
ª
,
72

где h
x
= l
x
/N
x
, h
y
= l
y
/N
y
. Совокупность внутренних узлов обозначим, y
m
)
¯
¯ j = 1, . . . , N
x
− 1, m = 1, . . . , N
y
− граничных — γ
h
. Для сетки на отрезке [0, T ] будем использовать обозначение, при этом τ = T /M . Сетку в расчетном цилиндре D будем обозначать ω
h
× ¯
ω
τ
=
©
(x
j
, y
m
, t
n
)
¯
¯ (x
j
, y
m
) ∈ ω
h
,
t
n
∈ Множество узлов, лежащих на Γ, обозначим через Γ
h
= γ
h
× ¯
ω
τ
5.1. Аппроксимация. Вначале рассмотрим явную схему для решения уравнения теплопроводности. С помощью операторов вторых разностных производных u
n
¯
xx,j,m
=
u
n
j−1,m
− 2u
n
j,m
+ u
n
j+1,m
h
2
x
,
Λ
yy
u
n
j,m
≡ u
n
¯
yy,j,m
=
u
n
j,m−1
− 2u
n
j,m
+ и разностного оператора Лапласа Λ = Λ
xx
+ явную схему можно записать так u
n
j,m
τ
= νΛu
n
j,m
+ ϕ
n
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
,
n < M,
u
n
j,m
= µ(x
j
, y
m
, t
n
),
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
(5.4)
u
0
j,m
= u
0
(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
) ∈ где ϕ
n
j,m
= f (x
j
, y
m
, Исследуем явную схему (5.4). Путь исследования сходимости схем,
сводящий этот вопрос к исследованию аппроксимации и устойчивости,
сформулирован нами ранее в столь общей форме, что рассматриваемую сейчас двумерную задачу можно считать частным случаем.
Поскольку начальные и граничные условия аппроксимируются точно, то достаточно исследовать аппроксимацию только дифференциального уравнения. Предполагая гладкость точного решения u(x, y, t), можем записать, y
m
, t
n+1
) = (u + τ u
t
) (x
j
, y
m
, t
n
) + O(τ
2
),
73

u(x
j±1
, y
m
, t
n
) =
µ
u ± h
x
u
x
+
h
2
x
2
u
xx
±
h
3
x
6
u
xxx
¶
(x
j
, y
m
, t
n
) + O(h
4
x
),
u(x
j
, y
m±1
, t
n
) =
Ã
u ± h
y
u
y
+
h
2
y
2
u
yy
±
h
3
y
6
u
yyy
!
(x
j
, y
m
, t
n
) + Подставляя эти выражения в формулу для погрешности аппроксимации, получаем (L
h
(u)
h
− f
h
)
n
j,m
= O(τ + h
2
x
+ те, как ив одномерном случае, явная схема имеет первый порядок аппроксимации повремени и второй по пространственным переменным.
Здесь мы использовали операторную запись схемы (5.4)
L
h
u
h
= где u
n
j,m
τ
− νΛu
n
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
,
n < M,
u
n
j,m
,
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
u
0
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ¯
ω
h
,
f
h
≡







f (x
j
, y
m
, t
n
) ,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
,
n < M,
µ (x
j
, y
m
, t
n
) ,
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
u
0
(x
j
, y
m
) ,
(x
j
, y
m
) ∈ Аналогично показывается, что полностью неявная схема u
n
j,m
τ
= νΛu
n+1
j,m
+ ϕ
n
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
,
n < M,
u
n
j,m
= µ(x
j
, y
m
, t
n
),
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
(5.6)
u
0
j,m
= u
0
(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
) ∈ где ϕ
n
j,m
=
f (x
j
, y
m
, t
n+1
), тоже имеет порядок аппроксимации + h
2
x
+ h
2
y
), а схема Кранка — Николсон
u
n+1
j,m
− u
n
j,m
τ
=
ν
2
Λ
¡
u
n+1
j,m
+ u
n
j,m
¢
+ ϕ
n
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
, n < M,
u
n
j,m
= µ(x
j
, y
m
, t
n
),
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
(5.7)
u
0
j,m
= u
0
(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
) ∈ ¯
ω
h
,
74

где ϕ
n
j,m
= f
n+1/2
j,m
≡ f (x
j
, y
m
, t
n
+ τ /2), имеет порядок аппроксимации+ h
2
x
+ Реализация явной схемы предельно проста. Зная сеточные функции нам слое, по рекуррентным формулам отыскивается сеточная функция нам слое. Однако оказывается, что, будучи чрезвычайно простой в реализации, явная схема устойчива лишь при жестком ограничении на шаг τ . Покажем это. Спектральный признак устойчивости. Подставим сеточную функцию λ
n
e
i(jϕ
1
+mϕ
2
)
,
ϕ
1
, ϕ
2
∈ в однородное разностное уравнение схемы (5.4). После сокращения на общие множители получим уравнение относительно λ:
λ − 1
τ
= ν
e
−iϕ
1
− 2 + e
iϕ
1
h
2
x
+ ν
e
−iϕ
2
− 2 + из которого следует, что = 1 − 4r
x
sin
2
ϕ
1 2
− 4r
y
sin
2
ϕ
2 где ν
τ
h
2
x
,
r
y
= Пусть шаги сетки стремятся к нулю последующему закону предельного перехода C
1
= const,
r
y
= C
2
= Тогда множитель перехода λ не зависит от τ и для устойчивости необходимо выполнение неравенства |λ| ≤ 1, те Правое неравенство выполняется всегда. Из левого следует, что 2
+ 2r
y
sin
2
ϕ
2 2
≤ Поскольку это неравенство должно выполняться при любых значениях
ϕ
1
и ϕ
2
, то необходимое условие устойчивости эквивалентно ограничению Для квадратной сетки h
x
= h
y
= h неравенство (5.10) принимает видав одномерном случае необходимое условие устойчивости выглядело так ≤
h
2 Следовательно, в двумерном случае условие устойчивости накладывает в 2 раза более жесткое ограничение на величину временного шага по сравнению с одномерным случаем и, следовательно, делает применение явного метода на практике еще менее целесообразным.
В трехмерном случае явная схема имеет вид u
n
j,m,k
τ
= νΛu
n
j,m,k
+ f
n
j,m,k
,
(x
j
, y
m
, z
k
) ∈ ω
h
, n < M,
u
n
j,m,k
= µ(x
j
, y
m
, z
k
, t
n
),
(x
j
, y
m
, z
k
, t
n
) ∈ Γ
h
,
(5.11)
u
0
j,m,k
= u
0
(x
j
, y
m
, z
k
),
(x
j
, y
m
, z
k
) ∈ где оператор Λ = Λ
xx
+ Λ
yy
+ есть сумма операторов вторых разностных производных по направлениями. Например u
n
¯
zz,j,m,k
=
u
n
j,m,k+1
− 2u
n
j,m,k
+ Легко проверить, что для явной схемы (5.11) необходимое условие устойчивости Неймана эквивалентно неравенству ≤
1 2ν
µ
1
h
2
x
+
1
h
2
y
+
1
h
2
z
¶ что для кубической сетки h
x
= h
y
= h
z
= h приводит к необходимости выполнения неравенства ≤
h
2 тек еще более жесткому ограничению на шаг повремени, чем в двумерном случае

5.3. Принцип максимума может использоваться для исследования устойчивости схем ив многомерном случае. Пусть U
h
— пространство сеточных функций
u
h
,
которому принадлежит решение схемы (5.5), F
h
— пространство сеточных функций, которому принадлежит правая часть схемы f
h
. Введем равномерную норму на слое и равномерную норму в пространствах и F
h
:
ku
h
k
U
h
= max
n
ku
n
k
C
;
(5.13)
kf
h
k
F
h
= max
·
max
Γ
h
|µ (x
j
, y
m
, t
n
)|, k(u
0
)
h
k
C
, Определение. Говорят, что разностная схема (5.5) удовлетворяет принципу максимума, если при всех n = 0, . . . , M −1 для ее решения
u
h
выполняется неравенство max
½
max
Γ
h
¯
¯µ
¡
x
j
, y
m
, t
l
¢¯
¯, ku
n
k
C
+ τ Теорема 5.1. Пусть линейная разностная схема (5.5) удовлетворяет принципу максимума. Тогда она устойчива в равномерной норме.
Д ока за тел ь ст во почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.1, поэтому укажем лишь основные его этапы. Решение исходной задачи (5.5) представим в виде суммы u
h
= v
h
+ w
h
решений
v
h
и следующих задач η
h
≡



0,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
, n = 0, . . . , M − 1,
µ (x
j
, y
m
, t
n
) ,
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
u
0
(x
j
, y
m
) ,
(x
j
, y
m
) ∈ и θ
h
≡



ϕ
n
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
, n = 0, . . . , M − 1,
0,
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
0,
(x
j
, y
m
) ∈ По условию для каждой из этих задач выполняется принцип максимума, поэтому max
½
max
Γ
h
¯
¯µ
¡
x
j
, y
m
, t
l
¢¯
¯, k(u
0
)
h
k
C
¾
≤ kf
h
k
F
h
,
77

°
°w
n+1
°
°
C
≤ (n + 1)τ max
l
°
°ϕ
l
°
°
C
≤ T max
l
°
°ϕ
l
°
°
C
≤ T Следовательно (1 + T ) Это неравенство выполняется при всех n, поэтому C где C = 1 + T , те. схема устойчива в равномерной сеточной норме.
Следствие 1. При выполнении условия (5.10) явная схема (5.4) устойчива в равномерной норме.
Д ока за тел ь ст во. Покажем, что явная схема удовлетворяет принципу максимума. Для этого перепишем ее в виде (1 − 2r
x
− 2r
y
) u
n
j,m
+
(5.16)
+r
x
¡
u
n
j−1,m
+ u
n
j+1,m
¢
+ r
y
¡
u
n
j,m−1
+ u
n
j,m+1
¢
+ τ Очевидно, что при выполнении условия (5.10) справедливо неравенство, поэтому можем написать ≤ (1 − 2r
x
− 2r
y
)
¯
¯u
n
j,m
¯
¯ +
+r
x
¡¯
¯u
n
j−1,m
¯
¯ +
¯
¯u
n
j+1,m
¯
¯
¢
+ r
y
¡¯
¯u
n
j,m−1
¯
¯ +
¯
¯u
n
j,m+1
¯
¯
¢
+ τ
¯
¯f
n
j,m
¯
¯ ≤
≤ (1 − 2r
x
− 2r
y
) ku
n
k
C
+ 2r
x
ku
n
k
C
+ 2r
y
ku
n
k
C
+ τ или max
(x
j
,y
m
)∈ω
h
¯
¯u
n+1
j,m
¯
¯ ≤ ku
n
k
C
+ τ Учитывая, что µ
¡
x
j
, y
m
, t
n+1
¢
,
¡
x
j
, y
m
, t
n+1
¢
∈ получаем принцип максимума (5.15). Тогда из теоремы 5.1 следует, что условие (5.10) является достаточным для устойчивости явной схемы) в равномерной норме по начальным данным, краевым условиями по правой части. Устойчивость в среднеквадратичной норме. Чтобы исследовать устойчивость схем в среднеквадратичной норме, вначале изучим свойства разностного оператора Лапласа Λ.
78

Аналогично одномерному случаю через обозначим пространство сеточных функций, заданных на сетке и обращающихся в нуль на ее границе γ
h
. В пространстве введем скалярное произведение, v) =
N
x
−1
X
j=1
N
y
−1
X
m=1
u
j,m
v
j,m
h
x
h
y
,
u, v ∈ и норму =
p
(u, u),
u ∈ Пространство является линейным (N
x
− 1)(N
y
− мерным пространством. Рассмотрим в нем следующие операторы = −Λ
xx
v,
v ∈ H
h
,
(5.19)
A
y
v = −Λ
yy
v,
v ∈ H
h
,
(5.20)
A = A
x
+ A
y
= − (Λ
xx
+ Λ
yy
) = Возьмем собственные функции u
(k)
(k = 1, . . . , N
x
− 1) и v
(l)
(l = 1, . . . , N
y
− 1) операторов и A
y
, соответственно = 0, . . . , N
x
,
v
(l)
j,m
=
s
2
l
y
sin
µ
lπy
m
l
y
¶
,
m = 0, . . . , и образуем систему функций u
(k)
j
· v
(l)
m
=
2
p
l
x
l
y
sin
µ
kπx
j
l
x
¶
· Здесь в записи сеточных функций и мы использовали лишь один индекс (j или m), поскольку от второго индекса значения этих функций не зависят.
Для функций выполняются равенства A
x
³
u
(k)
j
· v
(l)
m
´
= v
(l)
m
A
x
u
(k)
j
= λ
(x)
k
u
(k)
j
· v
(l)
m
= где λ
(x)
k
— собственные значения оператора A
x
,
λ
(x)
k
=
4
h
2
x
sin
2
µ
kπh
x
2l
x
¶
,
k = 1, . . . , N
x
− 1.
79

Аналогично A
y
³
u
(k)
j
· v
(l)
m
´
= где λ
(y)
l
— собственные значения оператора A
y
,
λ
(y)
l
=
4
h
2
y
sin
2
µ
lπh
y
2l
y
¶
,
l = 1, . . . , N
y
− Отсюда следует, что+ λ
(y)
l
´
ψ
(k,l)
= те. функции являются собственными функциями оператора а числа λ
(x)
k
+ λ
(y)
l
=
4
h
2
x
sin
2
µ
kπh
x
2l
x
¶
+
4
h
2
y
sin
2
µ
lπh
y
2l
y
¶
(5.22)
— его собственными значениями.
Покажем, что собственные функции оператора A образуют ортонор- мальный базис в пространстве H
h
. В самом деле, ψ
(r,s)
´
=
N
x
−1
X
j=1
N
y
−1
X
m=1
ψ
(k,l)
j,m
ψ
(r,s)
j,m
h
x
h
y
=
=
N
x
−1
X
j=1
N
y
−1
X
m=1
u
(k)
j
v
(l)
m
u
(r)
j
v
(s)
m
h
x
h
y
=
=


N
x
−1
X
j=1
u
(k)
j
u
(r)
j
h
x

 ·


N
y
−1
X
m=1
v
(l)
m
v
(s)
m
h
y

 =
= если k = r и l = если k 6= r или l 6= Таким образом, система (N
x
−1)(N
y
−1) функций ψ
(k,l)
ортонормаль- на в линейном (мерном пространстве H
h
. Следовательно,
эту систему можно взять в качестве базиса. Разложение произвольной

функции v ∈ поэтому базису называется представлением функции
в виде конечного ряда Фурье коэффициенты которого, называются коэффициентами Фурье. При этом справедливо равенство
Парсеваля
kvk
2
= (v, v) Лемма 5.1. Разностный оператор A является самосопряженными положительно определенным в Доказательство. Для каждого фиксированного m имеет место вторая разностная формула Грина (по направлению Суммируя последнее равенство пои умножая на −h
y
, получаем, w) = (v, A
x
w) Для каждого фиксированного j также справедлива вторая разностная формула Грина (по направлению откуда следует, что, w) = (v, A
y
w) Поэтому, w) = ((A
x
+ A
y
)v, w) = (v, A
x
w) + (v, A
y
w) = (v, Aw) те. оператор A является самосопряженным в H
h
81

Докажем, что A — положительно определенный оператор. Возьмем произвольную функцию v ∈ и ее представление в виде конечного ряда Фурье (5.23). Тогда, v) =


N
x
−1
X
k=1
N
y
−1
X
l=1
c
k,l
λ
(k,l)
ψ
(k,l)
,
N
x
−1
X
r=1
N
y
−1
X
s=1
c
r,s
ψ
(r,s)

 Следовательно (Av, v) ≤ где min
k,l
λ
(k,l)
=
4
h
2
x
sin
2
µ
πh
x
2l
x
¶
+
4
h
2
y
sin
2
µ
πh
y
2l
y
¶
≥
8
l
2
x
+
8
l
2
y
,
λ
max
= max
k,l
λ
(k,l)
= λ
(N
x
−1,N
y
−1)
=
=
4
h
2
x
sin
2
µ
(N
x
− 1)πh
x
2l
x
¶
+
4
h
2
y
sin
2
µ
(N
y
− Таким образом (Av, v) те что и доказывает положительную определенность оператора Исследуем теперь устойчивость в среднеквадратичной норме явной схемы (5.4) с нулевыми граничными условиями u
n
j,m
τ
= νΛu
n
j,m
+ f
n
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
, n < M,
u
n
j,m
= 0,
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
u
0
j,m
= u
0
(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
) ∈ при этом считаем, что начальная функция тоже принадлежит пространству Пусть f ≡ 0. Представим решение задачи (5.26) в виде конечного ряда Фурье (подставим его в разностное уравнение задачи (5.26). В результате получим рекуррентное соотношение для коэффициентов T
n
(k,l)
:
T
n+1
(k,l)
= где 1 − τ Следовательно q
(k,l)
T
n−1
(k,l)
= . . . Коэффициенты определим так, чтобы функция (5.27) удовлетворяла начальному условию
u
0
=
N
x
−1
X
k=1
N
y
−1
X
l=1
T
0
(k,l)
ψ
(k,l)
.
Следовательно, в качестве надо взять коэффициенты Фурье функции, те. Итак, решением задачи (5.26) при f ≡ является функция
u
n
=
N
x
−1
X
k=1
N
y
−1
X
l=1
¡
q
(k,l)
¢
n
T
0
(k,l)
ψ
(k,l)
.
(5.29)
Теорема 5.2. Выполнение условия ≤
1 достаточно для устойчивости явной схемы (5.26) по начальным данными правой части в среднеквадратичной норме Доказательство. Покажем, что при условии (5.30) справедливо неравенство max
k,l
¯
¯q
(k,l)
¯
¯ < 1.
(5.31)
83

В самом деле, поскольку λ
(k,l)
> 0, то неравенство q
(k,l)
< 1 выполняется всегда. Кроме того, используя оценку (5.24) и условие (получаем 1 − τ νλ
(k,l)
> 1 − τ ν
µ
4
h
2
x
+
4
h
2
y
¶
≥
≥ 1 −
1 2ν
µ
1
h
2
x
+
1
h
2
y
¶ · ν
µ
4
h
2
x
+
4
h
2
y
¶
= те. неравенство (5.31) действительно имеет место.
Оценим теперь решение (5.27) задачи с однородным разностным уравнением, используя равенство Парсеваля и неравенство (5.31):
°
°u
n+1
°
°
2
=
N
x
−1
X
k=1
N
y
−1
X
l=1
³
T
n+1
(k,l)
´
2
=
N
x
−1
X
k=1
N
y
−1
X
l=1
³
q
(k,l)
T
n
(k,l)
´
2
≤ Таким образом, рассматриваемая схема равномерно устойчива по начальным данным с постоянной M
1
= 1:
ku
n
k ≤ для всех 0 ≤ k < n ≤ M . По теореме 2.5 из равномерной устойчивости по начальным данным следует устойчивость двухслойной схемы (и по правой части в среднеквадратичной норме (5.18).
5.5. Метод операторных неравенств можно применять и для исследования устойчивости многомерных разностных схем. Рассмотрим двухслойную схему с весами u
n
τ
= −A
£
σu
n+1
+ (1 − σ)u
n
¤
+ где A = −νΛ. Постоянный оператор A является положительными самосопряженным. Поэтому, согласно следствию 1 из теоремы 2.7, схема с весами (5.32) абсолютно устойчива при σ ≥ 0, 5, а при σ < 0, 5 необходимое и достаточное условие устойчивости в энергетическом пространстве дается неравенством (2.50):
σ ≥
1 2
−
1
τ kAk
,
(5.33)
84

при этом kAk = νλ
max
. Таким образом, при σ < 0, 5 необходимыми достаточным условием устойчивости в схемы с весами (5.32) является неравенство ≥ ˆ
σ
0
=
1 2
−
1 4τ ν
·
1
h
2
x
cos
2
µ
πh
x
2l
x
¶
+
1
h
2
y
cos
2
µ
πh
y
2l
y
¶¸ Хорошим приближением к полученному необходимому и достаточному условию является следующее достаточное условие устойчивости ≥ σ
0
=
1 2
−
1 4τ ν
µ
1
h
2
x
+
1
h
2
y
¶ .
(5.35)
5.6. Сходимость явного метода простой итерации. Как сказано выше, метод установления позволяет искать решение стационарной задачи как предельное при t → ∞ решение соответствующей нестационарной задачи. Применим метод установления для решения стационарной задачи Дирихле (5.3). Аппроксимируем эту задачу разностной схемой+ f
j,m
= 0,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
,
u
j,m
= µ(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
) ∈ и рассмотрим соответствующую явную разностную схему для уравнения теплопроводности с коэффициентом теплопроводности ν = 1:
u
n+1
j,m
− u
n
j,m
τ
= Λu
n
j,m
+ f
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
, n = 0, 1, . . . ,
u
n
j,m
= µ(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
u
0
j,m
= u
0
(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
) ∈ при этом функции µ ив стационарной и нестационарной задачах одни и те же, а начальная функция в нестационарной задаче берется произвольной, но так, чтобы она удовлетворяла граничному условию, y
m
) = µ(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
) ∈ Такую функцию можно построить, например, методом трансфинитной интерполяции. Сначала с помощью линейной интерполяции по направлению оси Ox строим вспомогательную функцию, y) =
x
l
x
µ(l
x
, y) +
¡
1 −
x
l
x
¢
µ(0, y),
85

которая удовлетворяет граничным условиям на левой и правой сторонах прямоугольника ¯
Ω, ноне удовлетворяет граничным условиям на нижней и верхней сторонах. Затем, используя интерполяцию вверти- кальном направлении, получаем окончательный вид начальной функции, удовлетворяющей граничным условиям на всех четырех сторонах прямоугольника Отметим, что при решении стационарных задач методом установления нам важно предельное при t → ∞ решение нестационарной задачи, а решения на промежуточных слоях повремени нас не интересуют.
В этом заключается сходство метода установления с итерационными методами решения задач. Поэтому будем смотреть на схему (5.37) как на итерационный процесс, в котором n — номер итерационного шага,
а τ — итерационный параметр. Рассматриваемая итерационная схема называется явным методом простой итерации.
Укажем еще на одну особенность. При использовании схем для решения начально-краевых задач мы должны брать шаги повремени достаточно малыми, чтобы лучше описать нестационарный процесс, например нестационарный процесс теплопроводности. Если же мы используем эту схему как итерационный метод, то итерационный параметр выбирается из условия минимальности числа итераций, требуемых для получения решения стационарной задачи с интересующей нас точностью. Следовательно, в итерационном процессе параметр τ может принимать относительно большие значения и возникает проблема выбора оптимального значения длят. е. такого значения τ
опт
, при котором итерационный процесс сходится к решению стационарной задачи наиболее быстро.
Теорема 5.3. При выполнении условия ≤
1 явный метод простой итерации (5.37) сходится, при этом
τ
опт
=
2
λ
min
+ λ
max
=
1 2
µ
1
h
2
x
+
1
h
2
y
¶ .
(5.41)
86

Доказательство. Пусть z
n
j,m
— погрешность на й итерации в узле (x
j
, y
m
), те Тогда для получаем следующую задачу z
n
j,m
τ
= Λz
n
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
, n = 0, 1, . . . ,
z
n
j,m
= 0,
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
z
0
j,m
= u
0
(x
j
, y
m
) − u
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ В этой задаче разностное уравнение и краевые условия являются однородными, поэтому решение можно представить в виде конечного ряда
Фурье (5.29), т. е.
z
n
=
N
x
−1
X
k=1
N
y
−1
X
l=1
¡
q
(k,l)
¢
n
T
0
(k,l)
ψ
(k,l)
,
(5.44)
где в качестве надо взять коэффициенты Фурье функции Теперь, используя равенство Парсеваля, получаем т. е.
kz
n
k
kz
0
k
≤
µ
max
k,l
¯
¯q
(k,l)
¯
¯
¶
n
.
(5.45)
Покажем, что оценка (5.45) неулучшаема, те. в ней нельзя поставить знак строгого неравенства. В самом деле, пусть max
k,l
¯
¯q
(k,l)
¯
¯ и ψ
(k
0
,l
0
)
.
(5.46)
87

Тогда = 1, а для коэффициентов Фурье такой начальной функции получаем следующие выражения:
T
0
(k,l)
=
½
1,
если k = и l = если k 6= или l 6= l
0
,
поэтому
z
n
=
¡
q
(k
0
,l
0
)
¢
n
ψ
(k
0
,l
0
)
.
Следовательно, для функции z
0
, выбранной по формуле (5.46), неравенство) переходит в равенство kz
n
k Итак, о сходимости итераций можно судить по поведению приправой части неравенства (5.45). Поскольку при условии (справедливо неравенство (5.31), то из оценки (5.45) получаем, что lim
n→∞
kz
n
k
kz
0
k
= те. итерационный процесс действительно сходится.
Осталось найти τ
опт
. Для этого на отрезке [λ
min
, λ
max
] рассмотрим функцию, λ) = |1 − τ и выясним, при каком значении τ величина max
λ
min
≤λ≤λ
max
q(τ, λ) принимает минимальное значение.
Ясно, что при каждом фиксированном значении τ
max
λ
min
≤λ≤λ
max
q(τ, λ) = max (q(τ, λ
min
), q(τ, λ
max
)) =
= max (|1 − τ λ
min
|, |1 − τ λ
max
|) а минимальное значение правой части достигается только в том случае,
когда выполняется равенство − τ λ
min
= − (1 − τ λ
max
) из которого и следует формула (5.41) для τ
опт
88

Посмотрим, какое минимальное количество n шагов в итерационном методе (5.37) с оптимальным значением τ
опт нужно проделать, чтобы для произвольного начального приближения относительная погрешность стала бы меньше заданного числа ε > 0:
kz
n
k
kz
0
k
≤ Для этого необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства Для простоты рассмотрим лишь случай квадратной сетки с шагом = l/N , покрывающей квадрат ¯
Ω со стороной l. Тогда max
λ
min
≤λ≤λ
max
q(τ
опт
, λ) = 1 − τ
опт
λ
min
= 1 −
h
2 4
·
8
h
2
sin
2
πh
2l
= 1 − 2 Следовательно, неравенство (5.48) эквивалентно такому − 2 sin
2
πh
2l
¶
n
≤ или ≥
ln ε
ln
¡
1 − 2 sin
2 πh
2l
¢ Получим оценку для n
min при малых h:
n
min
≈
ln ε
−2 sin
2 πh
2l
≈
ln ε
−
π
2
h
2 Например, при N = 100, ε = 0.45 · 10
−4
≈ получим n
min
≈ 20 000.
89

ЗАДАЧИ. С помощью спектрального метода Неймана показать, что для полностью неявной двухслойной схемы (5.6) необходимый спектральный признак устойчивости по начальным данным выполняется при любом законе предельного перехода. С помощью спектрального метода Неймана показать, что для схемы Кранка — Николсон (5.7) необходимый спектральный признак устойчивости по начальным данным выполняется при любом законе предельного перехода. Используя принцип максимума, показать, что полностью неявная схема (5.6) абсолютно устойчива в равномерной норме (5.13), (5.14).
5.4. Используя принцип максимума, найти достаточное условие устойчивости схемы Кранка — Николсон (5.7) в равномерной норме. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи) с однородным уравнением (f ≡ 0) и однородными краевыми условиями. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи) с однородным уравнением и однородными краевыми условиями. Пусть для решения разностной задачи Дирихле (5.36) используется метод установления, основанный на полностью неявной схеме (5.6):
u
n+1
j,m
− u
n
j,m
τ
= Λu
n+1
j,m
+ f
j,m
,
(x
j
, y
m
) ∈ ω
h
, n = 0, 1, . . . ,
u
n
j,m
= µ(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
(5.51)
u
0
j,m
= u
0
(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
) ∈ Доказать, что при n → ∞ решение задачи (5.51) стремится в среднеквадратичной норме (5.18) к решению u задачи Дирихле (5.36).
5.8. Пусть для решения разностной задачи Дирихле (5.36) используется метод установления, основанный на схеме Кранка — Николсон
(5.7), те. итерационный метод u
n
j,m
τ
= Λ
u
n+1
j,m
+ u
n
j,m
2
+ f
j,m
, (x
j
, y
m
) ∈ ω
h
, n = 0, 1, . . . ,
u
n
j,m
= µ(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
, t
n
) ∈ Γ
h
,
(5.52)
u
0
j,m
= u
0
(x
j
, y
m
),
(x
j
, y
m
) ∈ Докажите, что при n → ∞ решение задачи (5.52) будет стремиться в среднеквадратичной норме к решению стационарной задачи (5.36).
90

§ 6. Экономичные разностные схемы
Исследуя явную схему (5.4), мы отметили, что ее реализация предельно проста зная сеточную функцию нам временном слое, по явным формулам (5.16) отыскиваем сеточную функцию наследующем повремени слое. При этом количество выполненных арифметических действий будет пропорционально числу неизвестных значений, те. числу N = (N
x
− 1)(N
y
− Определение. Разностные схемы, в которых число арифметических действий для перехода от к пропорционально числу
неизвестных значений, называются экономичными.
Итак, явная схема экономична ив этом смысле неулучшаема. Однако она устойчива лишь при жестком ограничении на шаг τ см. неравенства, что делает ее практически непригодной.
Рассмотрим теперь неявные схемы. При σ ≥ 0, 5 схема с весами (абсолютно устойчива, но она не является экономичной. Покажем это для схемы Кранка — Николсон (5.7):
u
n+1
− u
n
τ
=
1 2
Λu
n+1
+
1 2
Λu
n
+ имеющей второй порядок аппроксимации O(τ
2
+ h
2
x
+ h
2
y
). Здесь для краткости индексы j и m опущены и принято ν = Как по известным значениям найти неизвестные u
n+1
? Перепишем разностное уравнение + r
x
+ r
y
) u
n+1
j,m
−
r
x
2
¡
u
n+1
j+1,m
+ u
n+1
j−1,m
¢
−
r
y
2
¡
u
n+1
j,m+1
+ u
n+1
j,m−1
¢
=
(6.2)
= u
n
j,m
+
τ
2
Λu
n
j,m
+ τ и учтем, что в граничных узлах значения сеточной функции известны В результате получилась система из N = (N
x
− 1)(N
y
− 1) линейных уравнений для определения такого же количества неизвестных Как решить систему (6.2)? Метод исключения Гаусса при решении системы N уравнений требует выполнения примерно арифметических операций, поэтому этот метод для нас не подходит, поскольку для

экономичной схемы число операций должно быть пропорциональным числу N . Решение проблемы создания экономичного алгоритма для рассматриваемого типа задач лежит на другом пути. Схема приближенной факторизации (СПФ). Учитывая,
что
u
n+1
= u
n
+ τ
u
n+1
− перепишем схему Кранка — Николсон (6.1) в виде −
τ
2
Λ
´ u
n+1
− u
n
τ
= Λu
n
+ или в канонической форме u
n
τ
= Λu
n
+ где B = E −
τ
2
Λ = E −
τ
2
(Λ
xx
+ Λ
yy
) = E Обратив неявный оператор B, найдем сеточную функцию нам слое u
n
+ τ B
−1
³
Λu
n
+ Однако непосредственное обращение оператора B является чрезвычайно трудоемкой задачей. В тоже время если мы представим оператор в виде произведения нескольких более простых, легко обращаемых
(«экономичных») операторов (факторизуем оператор B)
B = B
1
B
2
· · · то и сам оператор B может быть легко (экономично) обращен. Покажем это.
Схема (6.5) с факторизованным оператором (6.7) (ее называют фак-
торизованной )
B
1
B
2
· · · B
p
u
n+1
− u
n
τ
= Λu
n
+ f
n+1/2 92

эквивалентна схеме из p дробных шагов Λu
n
+ f
n+1/2
,
B
2
ξ
n+2/p
= ξ
n+1/p
,
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
B
p−1
ξ
n+(p−1)/p
= ξ
n+(p−2)/p
,
(6.8)
B
p
ξ
n+1
= ξ
n+(p−1)/p
,
u
n+1
− u
n
τ
= На каждом м дробном шаге промежуточное значение находится простым обращением оператора B
k
(k = 1, . . . , p). Таким образом, факторизация сложного оператора позволила свести его обращение к последовательному обращению нескольких более простых.
К сожалению, точно факторизовать неявный оператор удается редко. Поэтому, как правило, производится приближенная факторизация ≈ B
1
B
2
· · · Определение. Если замена неявного оператора на факторизован-
ный проводится приближенно, то получающаяся схема называется
схемой приближенной факторизации.
Определение. Погрешность, вносимая в исходную схему при приближенной факторизации, называется погрешностью факторизации.
Рассмотрим произвольную схему u
n
τ
+ Au
n
= с постоянными операторами A и B и предположим, что оператор удается представить в виде = E + τ (R
1
+ . . . + R
p
) Тогда оператор B можно приближенно факторизовать, например, так ≈ (E + τ R
1
) · · · (E + τ R
p
) ≡ В результате получается факторизованная схема + τ R
1
) · · · (E + τ R
p
)
u
n+1
− u
n
τ
+ Au
n
= ϕ
n
.
(6.13)
93

Поскольку факторизованная схема не совпадает с исходной, то для нее надо заново проводить исследование аппроксимации и устойчивости.
В частности, операторы следует выбирать так, чтобы не понизился порядок аппроксимации.
Возникает вопрос если исходная схема устойчива, то будет ли СПФ