Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
− h 2 Умножим полученные уравнения на hτ : u n+1 j h − u n j h = ³ W n j−1/2 − W n j+1/2 ´ τ − h 2 4 u n ¯ xx,j ν ¯ xx,j τ и просуммируем почленно по всем элементарным ячейкам составной области Ω. В результате вместо дискретного закона сохранения (3.11) l X j=k u p+m j h − l X j=k u p j h = p+m−1 X n=p W n k−1/2 τ получим следующее равенство − l X j=k u p j h = p+m−1 X n=p W n k−1/2 τ − p+m−1 X n=p W n l+1/2 τ − где = h 2 4 p+m−1 X n=p l X j=k u n ¯ xx,j ν ¯ xx,j hτ Таким образом, действительно, недивергентная схема не является консервативной схемой Теперь понятно, в каких случаях важно, чтобы схема была консервативной, а в каких можно пренебречь этим свойством. Консервативная схема после умножения на hτ и суммирования по элементарным ячейкам области Ω = [a, b] × [t p , t p+m ], где a = x k−1/2 , b = x l+1/2 , привела к дискретному аналогу интегрального закона сохранения тепла, t p+m )dx − b Z a u(x, t p )dx = t p+m Z t p W (a, t)dt − t p+m Z t p W (b, а для недивергентного уравнения мы получили дискретный аналог следующего интегрального уравнения, t p+m )dx − b Z a u(x, t p )dx = = t p+m Z t p W (a, t)dt − t p+m Z t p W (b, t)dt − h 2 которое отличается от уравнения баланса тепла последним членом дис- балансом. Если все функции гладкие, то отличие будет небольшим — в пределах погрешности аппроксимации. Если же функция ν разрывна, то будет разрывной и производная см. условие сопряжения (3.3)) и подынтегральное выражение в члене дисбаланса становится значительным. В результате решение поданной неконсервативной схеме может сходиться при τ → 0 и h → 0 к другому состоянию, сильно отличающемуся от истинного. Устойчивость консервативной схемы. Возьмем однородную консервативную схему с весами (3.8): u n+1 j − u n j τ = Λ £ σu n+1 j + (1 − где Λu j = (au ¯ x ) x,j , и рассмотрим для нее разностную задачу с однородными краевыми условиями u n j τ = Λ £ σu n+1 j + (1 − σ) u n j ¤ , u n 0 = u n N = 0, u 0 j = u 0 (x j ). (3.19) 62 Теорема 3.1. Пусть коэффициент теплопроводности ν не зависит от времени и 0 < c 1 ≤ ν(x) ≤ c 2 . Тогда при σ ≥ 0, 5 консервативная схема с весами (3.19) абсолютно устойчива. При σ < 0, 5 для устойчивости этой схемы необходимо и достаточно выполнения условия ≥ ˆ σ 0 ≡ 1 2 − 1 τ Доказательство. По теореме 2.4.2 оператор A второй разностной производной с переменными коэффициентами, введенный по формуле = −Λu = − является самосопряженными, поскольку его коэффициенты удовлетворяют условиям 0 < c 1 ≤ a j ≤ c 2 , (j = 1, . . . , N − 1), то A будет положительно определенным оператором, причем имеет место оценка (2.4.27) c 1 8 l 2 kuk 2 ≤ (Au, u) ≤ c 2 Тогда утверждение теоремы вытекает из следствия 1 теоремы Получим теперь достаточное условие устойчивости консервативной схемы. Из правого неравенства оценки (3.22) следует, что kAk ≤ Тогда 2 − 1 τ kAk ≤ σ 0 ≡ 1 2 − h 2 4τ поэтому условие σ ≥ будет достаточным условием устойчивости консервативной схемы при σ < 0, ЗАДАЧИ. Определить, с каким порядком разностная схема u n j τ = Λ n u n j + f n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = µ 0 (t n ), u n N = µ l (t n ), u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , N (3.23) 63 аппроксимирует первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности) , 0 ≤ t ≤ T, u (x, 0) = u 0 (x) , 0 ≤ x ≤ l, u 0 (0) = µ 0 (0), u 0 (l) = µ l (0). (3.24) 3.2. Используя принцип максимума, найти достаточное условие устойчивости в равномерной норме явной схемы (3.23) для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом ν(x, t) > 0. 3.3. Определить, с каким порядком разностная схема u n j τ = ν n j u n j+1 − 2u n j + u n j−1 h 2 + + ν n j+1 − ν n j−1 2h u n j+1 − u n j−1 2h + f n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = µ 0 (t n ), u n N = µ l (t n ), u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , аппроксимирует начально-краевую задачу (3.24). 3.4. Построить явную схему, которая с порядком O(τ + h 2 ) аппроксимирует начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности (ν(x, t)u x ) x + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t ≤ T, (νu x ) (0, t) = µ 0 (t), 0 ≤ t ≤ T, (νu x ) (l, t) = µ l (t), 0 ≤ t ≤ T, u (x, 0) = u 0 (x) , 0 ≤ x ≤ l, ν(0, 0)u 0,x (0) = µ 0 (0), ν(l, 0)u 0,x (l) = Для аппроксимации производных u x (0, t) и u x (l, t) использовать двухточечный шаблон. Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом ν(x, t) > 0 и однородными краевыми условиями второго рода (ν(x, t)u x ) x , 0 < x < l, 0 < t ≤ T, (νu x ) (0, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, (νu x ) (l, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, u (x, 0) = u 0 (x) , 0 ≤ x ≤ l, ν(0, 0)u 0,x (0) = 0, ν(l, 0)u 0,x (l) = 0. (3.27) 64 Показать, что для решения этой задачи количество тепла U (t), определяемое по формуле (t) = l Z 0 u(x, не меняется со временем, те. Показать, что разностная схема Λ n u n j , j = 1, . . . , N − 1, ν n 1/2 u n x,0 − h 2 u t,0 = 0, ν n N −1/2 u n ¯ x,N + h 2 u t,N = 0, u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , аппроксимирует задачу (3.27) с порядком O(τ + h 2 ) и сохраняет дискретный аналог количества тепла (3.28), определяемый формулой u n 0 h 2 + N −1 X j=1 u n j h + те. Показать, что для недивергентной разностной схемы ν n j u n j+1 − 2u n j + u n j−1 h 2 + ν n j+1 − ν n j−1 2h u n j+1 − u n j−1 2h , ν n 1/2 u n x,0 − h 2 u t,0 = 0, ν n N −1/2 u n ¯ x,N + h 2 u t,N = 0, u 0 j = аппроксимирующей задачу (3.27) с порядком O(τ + h 2 ), дискретный аналог количества тепла (3.31) не является сохраняющейся величиной. Вычислить дисбаланс количества тепла U n+1 − при переходе с го временного слоя на (n + й 3.8. Показать, что схема с весами (3.8) u t,j = σΛ n+1 u n+1 j + (1 − σ)Λ n u n j + ϕ n j , j = 1, . . . , N − 1, σν n+1 1/2 u n+1 x,0 + (1 − σ)ν n 1/2 u n x,0 − h 2 (u t,0 − ϕ n 0 ) = µ (σ) 0 , σν n+1 N −1/2 u n+1 ¯ x,N + (1 − σ)ν n N −1/2 u n ¯ x,N + h 2 (u t,N − ϕ n N ) = µ (σ) l , u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , где µ (σ) k = σµ k (t n+1 ) + (1 − σ)µ k (t n ), (k = 0, l), аппроксимирует задачу) с погрешностью O ¡ τ + h 2 ¢ , если ϕ n j = f (x j , t n ) и с погрешностью+ h 2 ¢ , если σ = 0, 5 и ϕ n j = f (x j , t n + τ /2). 3.9. Показать, что схема с весами (3.33), аппроксимирующая при 0 задачу (3.27), сохраняет количество тепла (3.31). 3.10. Обозначим через линейное пространство сеточных функций, определенных на одномерной сетке ¯ ω h . При каждом фиксированном решение задачи (3.33) является элементом пространства В пространстве введем норму, u) (1) , u ∈ где, v) (1) = u 0 v 0 h 2 + (u, v) + u N v N h 2 , u, v ∈ H h,1 , (u, v) = N В пространстве определим оператор = 1, . . . , N − 1, −ν n 1/2 2 h u x,0 , j = 0, ν n N −1/2 2 h u ¯ x,N , j = где разностный оператор задан по формуле (3.9). Тогда схему с весами) можно записать в операторном виде+ σA n+1 u n+1 + (1 − σ)A n u n = f n , (3.35) 66 где = 1, . . . , N − 1, ϕ n 0 − 2 h µ (σ) 0 , j = 0, ϕ n N + 2 h µ (σ) l , j = Доказать, что оператор является самосопряженным в и неотрицательным, ноне является положительным. Найти нормированную собственную функцию, отвечающую нулевому собственному значению оператора A n § 4. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности. Схема Ричардсона. До сих пор для уравнения теплопроводности, с постоянным коэффициентом ν = const > 0 рассматривались двухслойные схемы. Для этого уравнения могут быть построены и трехслойные схемы, простейшей из которых является схема Ричардсона u n+1 j − u n−1 j 2τ = ν u n j+1 − 2u n j + u n j−1 h 2 + Эта схема является явной и ее погрешность аппроксимации имеет порядок. Напомним, что двухслойная явная схема имеет порядок аппроксимации O(τ + h 2 ). Однако при условии τ = O(h) и даже при условии τ = O(h 2 ) схема Ричардсона будет неустойчивой, несмотря на то, что она аппроксимирует уравнение теплопроводности. Чтобы в этом убедиться, используем спектральный метод Нейма- на исследования устойчивости. Пусть, например, шаги τ и h связаны законом предельного перехода r = Возьмем решение вида (1.54) u n j = λ n e ijϕ , ϕ ∈ R (4.4) 67 и подставим его в однородное разностное уравнение (4.2). В результате для определения множителя перехода λ(ϕ) получаем квадратное уравнение Корни этого уравнения действительны, различны и один из них при любом ϕ 6= 2πk по модулю больше единицы. Следовательно, для любого схема Ричардсона неустойчива при законе предельного перехода, те. она уступает даже явной двухслойной схеме, устойчивой при r ≤ 0, 5. 4.2. Схема Дюфорта — Франкела (схема ромб) получается из схемы Ричардсона после замены величины в правой части уравнения) на 0, 5 ¡ u n−1 j + u n+1 j ¢ : u n+1 j − u n−1 j 2τ = ν u n j−1 − ¡ u n−1 j + u n+1 j ¢ + u n j+1 h 2 + Множитель перехода λ удовлетворяет уравнению + 2r)λ 2 − 4rλ cos ϕ + 2r − 1 = где r = ντ /h 2 . Покажем, что при любых r > 0 и ϕ для корней этого уравнения выполняется неравенство |λ| ≤ 1. В самом деле, дискриминант рассматриваемого квадратного уравнения может быть как отрицательным, таки неотрицательным. Если корни и λ 2 комплексно-сопряженные, то < |λ| 2 = λ 1 λ 2 = 2r − 1 2r + 1 < Если корни действительные, те, то 0 ≤ d ≤ 1 и ≤ λ 1,2 = 2r cos ϕ ∓ √ d 2r + 1 ≤ Итак, схема Дюфорта — Франкела, полученная небольшой модификацией схемы Ричардсона и также являющаяся явной, удовлетворяет необходимому условию устойчивости при произвольном значении те. при любых соотношениях между шагами τ и Исследуем теперь аппроксимационные свойства схемы Дюфорта — Франкела. Для этого перепишем схему (4.5) в следующем виде u n−1 j 2τ = ν u n j−1 − 2u n j + u n j+1 h 2 − ν τ 2 h 2 u n+1 j − 2u n j + u n−1 j τ 2 + f n j . 68 Отсюда видно, что схема ромб получается из схемы Ричардсона, имеющей порядок аппроксимации O(τ 2 + h 2 ), добавлением члена обеспечивающего выполнение необходимого условия устойчивости, но портящего аппроксимационные свойства, поскольку получающаяся в результате добавления этого члена схема Дюфорта — Франкела имеет погрешность аппроксимации |