Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
N = 0, u 0 j = аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57). 2.5. С помощью метода операторных неравенств найти необходимое и достаточное условие устойчивости по начальным данным конечно- разностной схемы 2 u t,j+1 + 1 2 u t,j−1 = νΛu n+1 j + f n+1 j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 0, u n N = 0, u 0 j = аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57). 2.6. С помощью метода операторных неравенств исследовать устойчивость по начальным данным схемы 6 u t,j−1 + 2 3 u t,j + 1 6 u t,j+1 = νΛ ³ u n+1 j + u n j 2 ´ + f n+1/2 j , u n 0 = 0, u n N = 0, u 0 j = аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57). 2.7. С помощью метода операторных неравенств исследовать устойчивость по начальным данным схемы 12 u t,j−1 + 5 6 u t,j + 1 12 u t,j+1 = νΛ ³ u n+1 j + u n j 2 ´ + f n+1/2 j , u n 0 = 0, u n N = 0, u 0 j = аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57). 54 § 3. Консервативные схемы. Ранее при построении разностных схем мы аппроксимировали дифференциальные операторы разностными и доказывали сходимость разностных схем, предполагая, что дифференциальная задача имеет достаточно гладкое решение. Однако не все физические процессы описываются с помощью дифференцируемых функций. Например, на ударной волне скорость газа, его плотность, давление и температура являются разрывными функциями. Соответствующие дифференциальные задачи не имеют гладких решений. Для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности [ν(x, t)u x ] x + f (x, не существует гладкого решения, если коэффициент теплопроводности всюду является гладкой функцией, нов одной точке имеет разрыв первого рода, те. лев, t) 6= пр, t). В этом случае классическая постановка задачи для уравнения (3.1) может быть заменена, например, на следующую неклассическую постановку найти функцию u(x, t), которая во всех точках (x, t), за исключением точек (x 0 , t), удовлетворяет уравнению (3.1), а в точках (x 0 , t) — условиям сопряжения u лев (x 0 , t) = пр, лев, t) = (пр, Первое из условий сопряжения следует из требования непрерывности решения, второе — непрерывности потока тепла. В общем случае, когда дифференциальное уравнение не имеет смысла, для получения разностных уравнений будем пользоваться записью физических законов сохранения не в дифференциальной, а в интегральной форме. Законы сохранения в интегральной форме имеют смысли для негладких функций, которые нельзя дифференцировать, но интегрировать можно. Вспомним, что в основе дифференциального уравнения теплопроводности лежит интегральный закон сохранения тепла, t + ∆t)dξ − x+∆x Z x u(ξ, t)dξ = 55 = t+∆t Z t W (x, τ )dτ − t+∆t Z t W (x + ∆x, τ )dτ + t+∆t Z t x+∆x Z x f (ξ, τ )dξdτ, где ∆t и ∆x произвольные числа, u(x, t) — температура, W (x, t) — поток тепла (количество тепла, протекшего в единицу времени через единичную площадку (x, t) = −ν(x, t) ∂u ∂x (x, Интегральный закон (3.4) получается при подсчете баланса тепла на произвольном участке стержня за произвольный промежуток времени и потому называется еще уравнением баланса тепла. Приведенный закон устанавливает, что изменение количества тепла в стержне на отрезке за время ∆t определяется разностью количества тепла, которое втекло и вытекло через сечения стержня x и x + ∆x за время ∆t; — количеством тепла, выделившимся на отрезке [x, x + ∆x] за время за счет распределенных на нем источников тепла с плотностью (x, Для получения разностного уравнения рассмотрим интегральное уравнение баланса тепла на элементарной ячейке сетки ω n j = [x j−1/2 , x j+1/2 ] × [t n , t n+1 ], те. на отрезке x j−1/2 ≤ x ≤ за промежуток времени t n ≤ t ≤ t n+1 x j+1/2 Z x j−1/2 u(x, t n+1 )dx − x j+1/2 Z x j−1/2 u(x, t n )dx = = t n+1 Z t n W (x j−1/2 , t)dt − t n+1 Z t n W (x j+1/2 , t)dt + t n+1 Z t n x j+1/2 Z x j−1/2 f (x, Аппроксимируем входящие в уравнение баланса интегралы приближенными формулами, t n )dx ∼ u n j h, t n+1 Z t n W (x j±1/2 , t)dt ∼ (σW n+1 j±1/2 + (1 − σ)W n j±1/2 )τ, 56 t n+1 Z t n x j+1/2 Z x j−1/2 f (x, t)dxdt ∼ τ hϕ n j , W n j+1/2 = −ν n j+1/2 u n j+1 − При этом определяется формулой+ ν n j+1 2 , ν n j = ν(x j , а для вычисления можно использовать одну из формул, приведенных в подп. 1.3 (в зависимости от выбранного значения параметра После такой замены интегральное уравнение баланса тепла превращается в дискретное уравнение баланса тепла для элементарной ячейки − u n j h = ³ σW n+1 j−1/2 + (1 − σ)W n j−1/2 ´ τ − − ³ σW n+1 j+1/2 + (1 − σ)W n j+1/2 ´ τ + ϕ n j τ которое после деления надает разностное уравнение u n j τ = σ 1 h " ν n+1 j+1/2 u n+1 j+1 − u n+1 j h − ν n+1 j−1/2 u n+1 j − u n+1 j−1 h # + +(1 − σ) 1 h · ν n j+1/2 u n j+1 − u n j h − ν n j−1/2 u n j − u n j−1 h ¸ + те. схему с весами u n j τ = σΛ n+1 u n+1 j + (1 − σ)Λ n u n j + где u n j h − ν n j−1/2 u n j − Если ввести обозначения ν n j−1/2 , a n j+1 = ν n j+1/2 , 57 то оператор можно записать в виде второй разностной производной с переменным коэффициентом (a n u n ¯ x ) j h = (Метод получения разностных уравнений, основанный на аппроксимации интегральных законов сохранения для элементарных ячеек, называется интегро-интерполяционным методом. С помощью этого метода мы получили дискретное уравнение баланса тепла (3.7) только для элементарной ячейки. Но исходный интегральный закон выполняется для произвольного отрезка пои для произвольного промежутка времени. Оказывается, что это свойство справедливо и на дискретном уровне, а именно из того, что дискретное уравнение баланса тепла (справедливо для каждой элементарной ячейки, будет следовать, что и для области, составленной из некоторого количества элементарных ячеек, дискретное уравнение баланса тепла также будет выполняться. Покажем это в самом простом случаев случае явной (σ = 0) схемы) и прямоугольной области Ω = [a, b] × [t p , t p+m ], где a = x k−1/2 , b = x l+1/2 , t p+m = t p +mτ , k ≤ l, m ≥ 1, составленной из элементарных ячеек ω n j : Ω = l, p+m−1 [ j=k, Для такой области интегральный закон сохранения тепла (3.4) записывается так, t p+m )dx − b Z a u(x, t p )dx = = t p+m Z t p W (a, t)dt − t p+m Z t p W (b, t)dt + t p+m Z t p b Z a f (x, Выпишем дискретные уравнения баланса тепла (3.7) для элементарных ячеек при всех значениях j = k, . . . , l: u n+1 k h − u n k h = ³ W n k−1/2 − W n k+1/2 ´ τ + ϕ n k τ h, u n+1 k+1 h − u n k+1 h = ³ W n k+1/2 − W n k+3/2 ´ τ + ϕ n k+1 τ h, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u n+1 l h − u n l h = ³ W n l−1/2 − W n l+1/2 ´ τ + ϕ n l τ h 58 и просуммируем их почленно сначала по индексу j: l X j=k u n+1 j h − l X j=k u n j h = W n k−1/2 τ − W n l+1/2 τ + а затем по n = p, . . . , p + m − 1. В результате получим дискретный аналог − l X j=k u p j h = (3.11) = p+m−1 X n=p W n k−1/2 τ − p+m−1 X n=p W n l+1/2 τ интегрального закона сохранения тепла (3.10) во всей области Важно отметить, что сокращение слагаемых при суммировании произошло благодаря тому, что для соседних элементарных ячеек поток на разделяющей их общей границе аппроксимировался по одной и той же формуле (Определение. Разностные схемы, выражающие дискретные законы сохранения в элементарных ячейках ив составных областях, полученных объединением элементарных ячеек, называются консерва- тивными. Отметим еще раз, что для консервативных схем дискретный закон сохранения в составной области является алгебраическим следствием разностных уравнений. Введем теперь понятие дивергентных схем. Так называются схемы, полученные в результате конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, записанных в дивергентной форме. Так, уравнение (3.1) имеет дивергентную форму, поскольку дифференциальный оператор этого уравнения имеет дивергентную форму div a ≡ u t + w x = f (x, где w = −νu x — тепловой поток, a(x, t) = (u(x, t), w(x, t)). Сравнивая явную дивергентную схему u n j τ = 1 h · ν n j+1/2 u n j+1 − u n j h − ν n j−1/2 u n j − u n j−1 h ¸ + ϕ n j , (3.12) 59 где ϕ n j = f (x j , t n ), с явной (σ = 0) консервативной схемой (3.8), видим, что они совпадают. Этот факт имеет место ив общем случаев том смысле, что применяя интегро-интерполяционный метод к интегральным законам сохранения, можно построить разностные схемы, совпадающие с дивергентными схемами, аппроксимирующими дифференциальные уравнения, записанные в дивергентной форме. Поэтому можно сказать, что консервативные схемы являются дивергентными. Если уравнение (3.1) записать в недивергентной форме νu xx + ν x u x + то аппроксимирующая его разностная схема u n j τ = ν n j u n ¯ xx,j + ν n j+1 − ν n j−1 2h · u n j+1 − u n j−1 2h + имеет название недивергентной схемы. Недивергентная схема, как правило, не является консервативной. Покажем это на примере недивер- гентной схемы (3.14), положив для простоты, что функция ν не зависит от времени ( ν = ν(x)) и f ≡ Лемма 3.1. Для недивергентной схемы (3.14) дискретный аналог закона сохранения (3.11) не выполняется. Д ока за тел ь ст во. Перепишем недивергентную схему (в виде ν j u n ¯ xx,j + 1 4 (ν x,j + ν ¯ x,j ) ¡ u n x,j + и выясним, чем она отличается от явной консервативной схемы (3.8) u t,j = (где a j = ν j−1/2 , a j+1 = Для этого преобразуем правую часть консервативной схемы+ ν j+1 2 u ¯ x,j+1 − ν j + ν j−1 2 u ¯ x,j ¶ = = 1 h µ ν j + ν j + hν x,j 2 u ¯ x,j+1 − ν j + ν j − hν ¯ x,j 2 u ¯ x,j ¶ = = ν j u ¯ xx,j + 1 2 ν x,j u x,j + 1 2 ν ¯ x,j u ¯ x,j . 60 Следовательно (au ¯ x ) x,j − 1 2 ν x,j u x,j − 1 и недивергентная схема (3.15) может быть записана в следующем виде (au n ¯ x ) x,j − − 1 2 ν x,j u n x,j − 1 2 ν ¯ x,j u n ¯ x,j + 1 4 ¡ ν x,j u n x,j + ν x,j u n ¯ x,j + ν ¯ x,j u n x,j + ν ¯ x,j u n ¯ x,j ¢ = = (au n ¯ x ) x,j + 1 4 ¡ ν ¯ x,j u n x,j − ν x,j u n x,j + ν x,j u n ¯ x,j − ν ¯ x,j u n ¯ x,j ¢ = = (au n ¯ x ) x,j − h 4 u n x,j ν ¯ xx,j + h 4 u n ¯ x,j ν ¯ xx,j = (au n ¯ x ) x,j − h 2 Таким образом, недивергентная схема преобразована к консервативной схеме с дополнительным членом в правой части (au n ¯ x ) x,j |