Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
µ 0 (t) , 0 ≤ t ≤ T, γ = const ≤ 0, u (l, t) = µ l (t) , 0 ≤ t ≤ T, u (x, 0) = u 0 (x) , 0 ≤ x ≤ с порядком O(τ + h 2 ). Рассмотреть два способа аппроксимации производной) из краевого условия в точке x = 0: на двухточечном шаблоне и на трехточечном. Описать алгоритм получения численного решения. Построить полностью неявную схему, аппроксимирующую на- чально-краевую задачу (1.104) с порядком O(τ + h 2 ). Рассмотреть два способа аппроксимации производной u x (0, t): на двухточечном шаблоне и на трехточечном. Описать алгоритм получения численного решения. Используя принцип максимума, найти достаточное условие устойчивости в равномерной норме схемы с весами (1.5) для одномерного уравнения теплопроводности при 0 ≤ σ ≤ 1. 1.9. С помощью спектрального метода Неймана показать, что для полностью неявной двухслойной схемы u n j τ = ν u n+1 j−1 − 2u n+1 j + u n+1 j+1 h 2 + ϕ n+1 j , u 0 j = u 0 (x j ), n = 0, ..., M − 1, j = 0, ±1, ±2, . . необходимый спектральный признак устойчивости (1.42) по начальным данным выполняется при любом законе предельного перехода. С помощью спектрального метода Неймана получить необходимое условие устойчивости по начальным данным двухслойной схемы с весом 0 ≤ σ ≤ 1: u n+1 j − u n j τ = νΛ £ σu n+1 j + (1 − σ) u n j ¤ , u 0 j = u 0 (x j ), n = 0, ..., M − 1, j = 0, ±1, ±2, . . . . (1.106) 1.11. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи u n j τ = νΛu n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 0, u n N = 0, u 0 j = u 0 (x j ), x j = jh, h = 1/N, (1.107) 35 аппроксимирующей начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности νu xx , 0 < x < 1, 0 < t ≤ T, ν = const > 0, u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, u (x, 0) = u 0 (x) = sin(πx), 0 ≤ x ≤ 1. (1.108) 1.12. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи, аппроксимирующей начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности u n j τ = νΛu n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 0, u n N = 0, u 0 j = u 0 (x j ) = sin(πx j ) − 1 2 sin(2πx j ), x j = jh, h = 1/N. (1.109) 1.13. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи, аппроксимирующей начально-краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности u n j τ = νΛu n j + sin(3πx j ), j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 0, u n N = 0, n = 0, . . . , M, u 0 j = u 0 (x j ) = sin(πx j ), x j = jh, h = 1/N. (1.110) 1.14. С помощью метода Фурье найти решение разностной задачи, аппроксимирующей начально-краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности u n j τ = νΛu n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 1, u n N = 0, u 0 j = u 0 (x j ) = 1 − x 2 j , x j = jh, h = 1/N. (1.111) 1.15. Докажите, что схема (1.102) абсолютно устойчива по начальным данным в среднеквадратичной норме. Докажите, что схема (1.103) абсолютно устойчива по начальным данным в среднеквадратичной норме § 2. Метод операторных неравенств. Каноническая форма двухслойных схем. В предыдущем параграфе рассмотрены некоторые методы исследования устойчивости схемы с весами, аппроксимирующей задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом ν. В данном параграфе мы познакомимся с достаточно универсальным аппаратом исследования устойчивости произвольных двухслойных схем, записанных в специальном виде — канонической форме u n τ + A(t n )u n = ϕ n , n = 0, 1, . . . , u 0 − задано (2.1) (индекс j опущен. Предполагается, что A и B являются линейными операторами, заданными на линейном пространстве сеточных функций, определенных на одномерной сетке ¯ ω h , u n ∈ H h , u 0 ∈ H h . Операторы и B могут зависеть от t n . Тогда они называются переменными. Операторы, независящие отбудем называть постоянными опера- торами. Оказывается, что при определенных неравенствах между операторами и B схема будет устойчивой. Таким образом, метод операторных неравенств для исследования устойчивости схем основан на приведении схемы к канонической форме и проверке выполнения некоторых неравенств для операторов A и Далее каноническую форму (2.1) двухслойной схемы будем записывать в более компактном виде+ Au n = ϕ n , n = 0, 1, . . . , u 0 − задано, (2.2) где u t = u n+1 − Пример. Запишем в канонической форме (2.2) двухслойную схему с весами (1.84) для уравнения теплопроводности (1.2). Для этого достаточно учесть тождество (1.86), переписать разностное уравнение схемы νσΛu n+1 − ν(1 − σ)Λu n = в виде νστ Λu t − νΛu n = ϕ n (2.3) 37 и ввести операторы = −νΛ, B = E + στ Определение. Если оператор B является тождественным ≡ E), то схема (2.2) называется явной, в противном случае — неявной. Из формулы (2.4) следует, что в общем случае схема с весами является неявной. Она превращается в явную при σ = 0. 2.2. Общее определение устойчивости. Рассмотрим произвольную двухслойную схему (2.2). Начальный вектор и правая часть называются входными данными задачи. Пусть ku n k (1) — норма на слое для сеточных функций из пространства H h , kϕ n k (2) — норма на слое для функций из правой части разностных уравнений. Определение. Двухслойная схема (2.2) называется устойчивой, если существуют положительные постоянные и M 2 , независящие от τ , h и входных данных задачи, такие, что при достаточно малых и h и любых и решение схемы существует, единственно и для всех n = 1, . . . , M удовлетворяет неравенству M 1 ° °u 0 ° ° (1) + где kϕk (2) — некоторая норма для функции ϕ = ¡ ϕ 0 , . . . , ϕ n−1 ¢ , вычисленная по нормам ° °ϕ k ° ° (2) на слоях с номерами k = 0, . . . , n − Далее мы всегда будем предполагать, что решение задачи (2.2) существует и единственно. Поэтому для доказательства устойчивости будет достаточно проверить выполнение оценки (Замечание. В качестве нормы могут использоваться, например, следующие: kϕk (2) = max 0≤k≤n−1 ° °ϕ k ° ° (2) ; (2.6) kϕk (2) = n−1 X k=0 τ ° °ϕ k ° ° (2) (2.7) или kϕk (2) = Ã n−1 X k=0 τ ° °ϕ k ° ° 2 (2) ! 1/2 . (2.8) 38 Приведенная оценка (2.5) означает устойчивость схемы по начальным данными правой части. В предыдущем параграфе из частных примеров видно, что проверка устойчивости линейной схемы может быть сведена к доказательству ее устойчивости отдельно по начальным данными правой части (см. теорему 1.2). Дадим соответствующие определения в общем случае. Определение. Если для решения задачи+ Au n = 0, n = 0, . . . , M − 1, u 0 − задано (2.9) верна оценка M 1 ° °u 0 ° ° (1) , n = 1, . . . , то схема (2.2) называется устойчивой по начальным данным. Определение. Если для решения задачи+ Au n = ϕ n , n = 0, . . . , M − 1, u 0 ≡ верна оценка M 2 kϕk (2) , n = 1, . . . , то схема (2.2) называется устойчивой по правой части. Операторы перехода. Запишем двухслойную схему (в виде S n+1 u n + τ где S n+1 = E − τ B −1 A, f n = B −1 ϕ n . При этом, естественно, предполагается, что оператор существует. Вообще говоря, S n+1 = так как A = A(t n ) и B = B(t n ). Оператор называется оператором перехода со слоя n на слой (n + Используя представление схемы в виде (2.13), получаем цепочку равенств. . = S n+1 S n · · · S 1 u 0 + τ ¡ f n + S n+1 f n−1 + · · · + S n+1 S n · · · S 2 f 0 ¢ . 39 Следовательно, для решения можем написать выражение T n+1,0 u 0 + где T n+1,k = S n+1 S n · · · S k+1 , k = 0, . . . , n, T n+1,n+1 = E — тождественный или единичный оператор. Определение. Оператор называется оператором перехода со слоя k = 0, . . . , n на слой (n + Определение. Оператор T n+1,0 = S n+1 S n · · · называется разрешающим оператором. Равномерная устойчивость по начальным данным Определение. Будем говорить, что схема (2.2) равномерно устойчива по начальным данным, если при постановке начальных данных на любом слое k, 0 ≤ k < M однородная схема+ Au n = 0, n = k, . . . , M − 1, u k − задано (2.15) устойчива, причем устойчивость равномерная поте при всех 0 ≤ k < n ≤ M , где M 1 > 0 — постоянная, независящая от и Равномерная устойчивость означает, что схема устойчива относительно возмущений, вносимых на каждом слое повремени, а не только на нулевом. Замечание. Из равномерной устойчивости по начальным данным следует обычная устойчивость по начальным данным, ноне наоборот. Теорема 2.1. Необходимыми достаточным условием равномерной устойчивости схемы (2.2) по начальным данным является равномерная пои) ограниченность операторов перехода со слоя k на слой n: ° °T n,k ° ° ≤ для всех 0 ≤ k < n ≤ Доказательство. Пусть условие (2.17) выполнено. Решение задачи (2.15) может быть представлено как u n = T n,k u k . Отсюда · ° °u k ° ° (1) 40 ив силу равномерной ограниченности (2.17) норм операторов перехода следует равномерная устойчивость по начальным данным (Докажем теперь необходимость условия (2.17). Пусть схема равномерно устойчива по начальным данным, те. выполнено неравенство) при всех 0 ≤ k < n ≤ M и для любого u k ∈ H h . Тогда, поскольку T n,k u k , можем записать те. для любого u k ∈ H h ° °T n,k u k ° ° (1) ku k k (1) ≤ Поскольку норма оператора в конечномерном пространстве есть = то из неравенства (2.18) следует выполнение условия (2.17) равномерной ограниченности норм операторов перехода. Теорема 2.2 (достаточный признак равномерной устойчивости). Достаточным условием равномерной устойчивости схемы (2.2) по начальным данным является равномерная ограниченность норм операторов перехода ≤ 1 + C 0 τ, k = 1, 2, . . . , где C 0 ≥ 0 — постоянная, независящая от τ и Доказательство. Для всех 0 ≤ k < n ≤ M ° °T n,k ° ° = ° °S n S n−1 · · · S k+1 ° ° ≤ kS n k · ° °S n−1 ° ° · · · ° °S k+1 ° ° ≤ ≤ (1 + C 0 τ ) n−k ≤ (1 + C 0 τ ) n ≤ (1 + C 0 τ ) M ≤ e C 0 τ M = Отсюда в силу теоремы 2.1 следует равномерная устойчивость схемы) по начальным данным с постоянной M 1 = Теорема 2.3. Если схема (2.2) имеет постоянные операторы A и и устойчива по начальным данным, то она равномерно устойчива по начальным данным Доказательство. По условию оператор перехода со слоя на слой (n + 1) является постоянным, те. не зависит от времени. Тогда разрешающий оператор есть T n,0 = S n S n−1 · · · S 1 = (и поскольку схема устойчива по начальным данным, то для всех n = 1, . . . , выполняется оценка M 1 ° °u 0 ° ° (1) , ∀u 0 ∈ Следовательно Отсюда M 1 , ∀u 0 ∈ Таким образом, k(S) n k ≤ M 1 , n = 1, . . . , M , те. нормы всех степеней оператора S ограничены постоянной M 1 . Тогда также = ° °(S) n−k ° ° ≤ для всех 0 ≤ k < n ≤ M , те. оператор перехода со слоя k на слой равномерно пои) ограничен. В силу теоремы 2.1, данная схема равномерно устойчива по начальным данным. Связь между устойчивостью по начальным данными устойчивостью по правой части. Вернемся к рассмотрению неоднородной схемы (2.2). Уравнение этой схемы мы записали в виде (и получили для решения формулу (2.14). Переходя к норме решения и используя неравенство треугольника, получаем оценку · ° °u 0 ° ° (1) + τ n X k=0 ° °T n+1,k+1 ° ° Выберем теперь норму на слое для функций специальным образом, а именно положим Равенство (2.22) называется условием согласования норм. Тогда из оценки) следует утверждение Теорема 2.4. Для устойчивости схемы (2.2) по начальным данными правой части достаточно, чтобы выполнялось условие равномерной ограниченности пои) операторов перехода со слоя k на слой n: ° °T n,k ° ° ≤ для всех 0 ≤ k < n ≤ M . При этом для решения верна оценка M 1 ³° °u 0 ° ° (1) + означающая устойчивость (2.5) по начальным данными по правой части при условии (2.22) согласования норм и выборе нормы kϕk (2) по формуле (Установим связь между устойчивостью по начальным данными устойчивостью по правой части. Теорема 2.5. Если схема (2.2) равномерно устойчива по начальным данным, то она устойчива и по правой части при условии согласования норм Доказательство. В силу теоремы 2.1 из равномерной устойчивости схемы по начальным данным, следует равномерная ограниченность) оператора T n,k . Тогда по теореме 2.4 схема будет устойчива по правой части при условии согласования норм (2.22), при этом для решения задачи (2.11) будет выполняться оценка Замечание. Условие равномерной ограниченности норм оператора перехода (2.19) является достаточным условием устойчивости схемы также и по правой части. Теорема 2.6. Если схема (2.2) имеет постоянные операторы и B, то устойчивость по начальным данным необходима и достаточна для устойчивости по правой части при условии согласования норм (2.22). Д ока за тел ь ст во. Пусть схема устойчива по начальным данным. Поскольку она имеет постоянные операторы, тов силу теоремы, она равномерно устойчива по начальным данным, а тогда по теореме 2.5 схема устойчива и по правой части (при условии (2.22)). 43 Пусть, наоборот, схема (2.2) устойчива по правой части, те. для решения задачи (2.11) при условии (2.22) выполнено неравенство (с нормой |