Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Г. С. Хакимзянов, С. Г. Черный МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Часть 3. Численные методы решения задач для уравнений параболического и эллиптического типов Учебное пособие Новосибирск 2008 ББК В192.162 УДК Х 162 Хакимзянов ГС, Черный С. Г. Методы вычислений В 4 ч Учеб. пособие / Новосиб. гос. унт. Новосибирск, 2007. Ч. 3: Численные методы решения задач для уравнений параболического и эллиптического типов. 160 с Учебное пособие соответствует программе курса лекций Методы вычислений, который читается на механико-математическом факультете НГУ. В его третьей части излагаются основы численных методов решения начально-краевых задач для уравнений параболического типа и краевых задач для уравнений эллиптического типа, формулируются задачи для семинарских занятий, приводятся образцы контрольных работ и заданий для практических занятий на ЭВМ. Пособие предназначено для студентов и преподавателей математических специальностей высших учебных заведений. Издание подготовлено в рамках выполнения инновационно-образо- вательной программы Инновационные образовательные программы и технологии, реализуемые на принципах партнерства классического университета, науки, бизнеса и государства национального проекта Образование Рецензент канд. физмат. наук АС. Лебедев c ° Новосибирский государственный университет, 2008 c ° Хакимзянов ГС Черный С. Г, 2008 ОГЛАВЛЕНИЕ Задачи Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 § 1. Одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 34 § 2. Метод операторных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 53 § 3. Консервативные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 63 § 4. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 71 § 5. Схемы для уравнения теплопроводности с несколькими пространственными переменными 90 § 6. Экономичные разностные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 106 § 7. Метод адаптивных сеток. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 116 § 8. Метод конечных элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 124 § 9. Контрольная работа по теме «Конечно-разностные схемы для уравнения теплопроводности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 § 10. Контрольная работа по теме «Исследование разностных схем для уравнения теплопроводности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 § 11. Задания для лабораторной работы 4 . . . . . . . . . . . . . 128 § 12. Задания для лабораторной работы 5 . . . . . . . . . . . . . Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Предисловие В третьей части пособия изложены основы численных методов решения начально-краевых задач для уравнений параболического типа и краевых задач для уравнений эллиптического типа, сформулированы задачи по этой теме для семинарских занятий, приведены задания для практических занятий на ЭВМ и примеры контрольных работ. Эта часть курса осваивается студентами впервой половине шестого семе- стра. Теоретические вопросы изложены достаточно кратко. Для более глубокого изучения рассматриваемых вопросов мы рекомендуем обратиться к учебнику С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1], а также к книгам Г. И. Марчука [5], А. А. Самарского [9], А. А. Самарского и А. В. Гули- на [11], А. А. Самарского и Е. С. Николаева [12] и учебным пособиям, изданным в НГУ [4; 13]. На лекциях рассматриваются теоретические вопросы, связанные только с первой краевой задачей. Задачи с краевыми условиями второго и третьего рода вынесены на семинарские занятия. Кроме того, такие задачи имеются в заданиях лабораторных занятий на ЭВМ. Каждый параграф сопровождается задачами, которые необходимо решить на семинарских занятиях. Многие задачи снабжены указаниями и подробными решениями. Дополнительные материалы для этих занятий можно найти в задачниках [2; В пособии приведены примеры практических заданий, даны основные рекомендации по их выполнению. Обсуждаются вопросы, связанные с представлением результатов. Отметим, что приведенные в пособии задания допускают многочисленные варианты их выполнения, что позволит преподавателям сформулировать для каждого студента индивидуальное задание. Дополнительные задания можно взять из методических пособий [3; 7; Третья часть пособия имеет самостоятельную сквозную нумерацию параграфов, рисунков и таблиц и самостоятельный библиографический список. Внутри параграфов для формул и утверждений (лемм и теорем) использована двухиндексная нумерация, например 3.2. Ссылки на формулы, леммы, теоремы из первой части пособия [15] или второй даются добавлением спереди к их номеру цифры 1 или 2. Например, вместо по формуле (4.2) из пособия [15]» мы пишем по формуле, вместо по теореме 8.3 из пособия [16]» — по теореме Доказательство утверждений завершается знаком « ». 4 § 1. Одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами. К параболическим уравнениям приводят задачи диффузии (диссипации) тепла, концентрации, импульса, вихря. Например, распространение тепла в стержне, который теплоизолирован на боковой поверхности, но может передавать тепло окружающей среде через свои торцы, описывается уравнением теплопроводности (ku x ) x + ¯ f где u (x, t) — температура c — теплоемкость единицы массы ρ — плотность коэффициент теплопроводности ¯ f — плотность тепловых источников (количество тепла, выделяющееся в единицу времени на единице длины). Если коэффициенты c, ρ, k постоянны, то уравнение (1.1) принимает такой вид νu xx + где ν = k cρ = const > 0, f = ¯ f cρ = f (x, t). 1.2. Рассмотрим первую начально-краевую задачу для уравнения. Она заключается в отыскании непрерывной в замкнутой области = © (x, t) ¯ ¯ 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ функции u(x, t), которая является решением уравнения (1.2), принимающим при t ∈ [0, T ] заданные значения на концах отрезка [0, l] (краевые условия первого рода) и заданные значения на всем отрезке [0, l] при t = 0 (начальное условие νu xx + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t ≤ T, ν = const > 0, u (0, t) = µ 0 (t) , 0 ≤ t ≤ T, u (l, t) = µ l (t) , 0 ≤ t ≤ T, u (x, 0) = u 0 (x) , 0 ≤ x ≤ Далее всегда будет предполагаться, что начальное и краевые условия задачи (1.3) согласованы, те. выполняются равенства) = u 0 (0), µ l (0) = u 0 (l). (1.4) 5 Как и ранее, для компактной записи дифференциальной задачи будем использовать операторное уравнение Lu = f , где ≡ u t − νu xx , 0 < x < l, 0 < t ≤ T, u (0, t), 0 ≤ t ≤ T, u (l, t), 0 ≤ t ≤ T, u (x, 0), 0 ≤ x ≤ l, f = f (x, Для построения разностной схемы введем равномерную сетку на отрезке равномерную сетку на отрезке [0, T ]: ¯ ω τ = © t n ¯ ¯ t n = nτ, n = 0, . . . , M ª , τ = T и сетку на ¯ D: ¯ ω hτ = ¯ ω h × ¯ ω τ = © (x j , t n ) ¯ ¯ x j ∈ ¯ ω h , t n ∈ Пусть u n j — значение в узле (x j , t n ) сеточной функции u h , определенной на сетке ¯ ω hτ . Заменим входящие в дифференциальное уравнение производные следующими разностными отношениями, t n ) ∼ u n+1 j − u n j τ , u xx (x j , t n ) ∼ u n ¯ xx,j ≡ Функцию f непрерывных аргументов x и t заменим некоторой сеточной функцией ϕ f (x j , t n ) ∼ Для численного решения задачи (1.3) будем использовать схему с весами, N − 1, u n 0 = µ 0 (t n ), n = 0, . . . , M, u n N = µ l (t n ), n = 0, . . . , M, u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , где σ — произвольный вещественный параметр (вес схемы Схема (1.5) содержит значения искомой функции на двух соседних слоях повремени и потому называется двухслойной. При σ = 0 схема называется явной, поскольку значение нам временном слое находится по явной формуле через значения решения нам слое. При σ 6= 0 получаем неявную схему, в которой нам временном слое связаны три неизвестных значения u n+1 j−1 , и u n+1 j+1 . Неявная схема при σ = 1 называется полностью неявной схемой. Неявная схема с весом σ = 0, 5 называется схемой Кранка — Николсон. Разностную задачу (1.5) также будем записывать в операторном виде где u n j τ − νΛ £ σu n+1 j + (1 − σ) Все понятия, которыми мы пользовались при изучении разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений, переносятся и на разностные схемы, предназначенные для численного решения уравнений с частными производными. Например, определение погрешности аппроксимации ψ h = L h (u) h − повторяется дословно (см. § 5 работы. Понятие аппроксимации дифференциальной задачи разностной схемой следует подкорректировать с учетом того, что теперь в разностной схеме есть несколько шагов сетки. Пусть F h — пространство сеточных функций, которому принадлежит правая часть схемы. Будем предполагать, что в этом пространстве введена некоторая норма. Определение. Разностная схема L h u h = аппроксимирует задачу Lu = f на ее решении u(x, t), если 0 при h → 0, τ → Если сверх того имеет место неравенство C (τ p + h s ) где C > 0, p > 0 и s > 0 — некоторые постоянные, независящие от и h, то говорят, что схема аппроксимирует с порядком p пои по h. 7 Пусть U h — линейное нормированное пространство сеточных функций, определенных на сетке ¯ ω hτ . Следующее определение аналогично определению 1 из § 7 работы Определение. Разностная схема L h u h = устойчива, если существуют числа h 0 > 0, τ 0 > 0 и δ > 0 такие, что при любых h < h 0 , τ < и любом ε h ∈ F h , для которого kε h k F h < δ, разностная задача f h + ε h , полученная из исходной разностной схемы добавлением к правой части возмущения ε h , имеет единственное решение и u h k U h ≤ C где C — некоторая постоянная, независящая от h и τ Это определение дано для произвольного разностного оператора в общем случае нелинейного. Если оператор L h — линейный, то данное определение устойчивости равносильно аналогу определения 2 из § работы Определение. Разностная схема L h u h = с линейным оператором устойчива, если существуют числа h 0 > 0 и τ 0 > 0 такие, что при любых h < h 0 , τ < и при любом f h ∈ она имеет единственное решение u h ∈ U h , причем C где C — некоторая постоянная, независящая от h и τ По теореме сходимости (см. п. 7.3 работы [15]) из аппроксимации и устойчивости следует сходимость схемы см порядком поим по h: k(u) h − u h k U h ≤ C 1 τ p + Таким образом, и для разностных схем, предназначенных для решения уравнений с частными производными, изучение сходимости и порядка точности схемы сводится к исследованию погрешности аппроксимации и устойчивости. Приведем пример норм в пространствах и F h . Вначале мы введем норму функции на слое. При каждом фиксированном n сеточную функцию можно рассматривать как элемент линейного пространства функций, определенных на сетке ¯ ω h . Норма, введенная в этом пространстве, и называется нормой на временном слое t n . Например, равномерная норма на слое определяется формулой max j ¯ ¯u n j ¯ ¯ . (1.11) 8 Тогда равномерную норму сеточных функций из пространств и можно определить так max n ku n k C ; (1.12) kf h k F h = max h max n |µ 0 (t n )|, max n |µ l (t n )|, k(u 0 ) h k C , max n kϕ n k C i , где max j |u 0 (x j )| . 1.3. Погрешность аппроксимации. Поскольку в схеме с весами) начальные и краевые условия аппроксимируются точно, то порядок аппроксимации схемы будет определяться только невязкой уравнений. Пусть n ≥ 0 и 0 < j < N . Тогда, t n+1 ) − u(x j , t n ) τ − νΛu (σ) j − где u — достаточно гладкое решение задачи (1.3); u (σ) j ≡ u (σ) (x j ): u (σ) (x) = σu(x, t n+1 ) + (1 − σ)u(x, Оценим порядок погрешности аппроксимации в узле (x j , t n ). Применив формулу Тейлора, получим, t n+1 ) − u(x j , t n ) τ = u t (x j , t n ) + τ 2 u tt (x j , t n ) + O ¡ τ 2 ¢ ; u (σ) (x j ) = u(x j , t n ) + τ σu t (x j , t n ) + O ¡ τ 2 ¢ ; Λu (σ) j = u (σ) j−1 − 2u (σ) j + u (σ) j+1 h 2 = u (σ) xx (x j ) + h 2 12 u (σ) xxxx (x j ) + O ¡ h 4 ¢ = = u xx (x j , t n ) + τ σu txx (x j , t n ) + h 2 12 u xxxx (x j , t n ) + τ σh 2 12 u txxxx (x j , t n )+ +O ¡ τ 2 + Учитывая, что для решения задачи (1.3) выполняются равенства, t) = νu xx (x, t) + f (x, t); u txx (x, t) = νu xxxx (x, t) + f xx (x, t); u tt (x, t) = ν 2 u xxxx (x, t) + νf xx (x, t) + f t (x, t), 9 перепишем выражение (1.14) для погрешности аппроксимации в следующем виде −τ ν 2 · σ − 1 2 + h 2 12τ ν ¸ u xxxx − ντ σ h 2 12 u txxxx + +f − ϕ n j − ντ µ σ − 1 2 ¶ f xx + τ 2 f t + O ¡ τ 2 + В этом равенстве функции u и f , а также их производные вычисляются водной и той же точке (x j , t n ). Например, f = f (x j , Из выражения (1.15) следует, что если ϕ n j = f (x j , t n ), то ψ n j = O ¡ τ + Для схемы Кранка — Николсон ( |