Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
z из его спектра σ(R n h ) выполняется оценка ≤ kR n h k ≤ C. (1.40) 17 Возьмем теперь число λ из спектра оператора R h . Тогда λ n ∈ поэтому, в силу неравенства (1.40), получим C, ∀λ ∈ σ(R h ), n = 1, . . . , Согласно лемме 1.8.1, условие (1.41) выполняется тогда и только тогда, когда |λ| ≤ 1 + C 1 τ, ∀λ ∈ где C 1 — некоторая неотрицательная постоянная, независящая от λ и τ Условие (1.42) называют необходимым спектральным признаком устойчивости Неймана. Оно является необходимым для устойчивости, поскольку получено из предположения, что рассматриваемая схема устойчива. Оно называется спектральным потому, что в этом условии требуется ограниченность спектра оператора перехода R h . Итак, необходимое условие устойчивости Неймана можно сформулировать так. Для устойчивости разностной схемы по начальным данным необходимо, чтобы спектр оператора перехода этой схемы лежал в круге радиуса 1 + C 1 τ на комплексной плоскости. Вернемся к схеме (1.34) и посмотрим, какие ограничения на шаги сетки следуют из сформулированного спектрального признака устойчивости. Для этого надо вначале получить спектр оператора R h , т. е. решить для оператора задачу на собственные значения λu j , j = 0, ±1, ±2, . . . Собственные функции u найдем, рассмотрев характеристическое уравнение соответствующее разностному уравнению задачи (1.43) ru j+1 + (1 − 2r)u j + ru j−1 = λu j , j = 0, ±1, ±2, . . . Отметим, что в этом пункте мы исследуем устойчивость в равномерной норме, следовательно, рассматриваются только ограниченные сеточные функции, поэтому и собственные функции будем искать в классе ограниченных функций Возможны три случая. λ < 1 − 4r или λ > 1. В этом случае корни и характеристического уравнения (1.44) будут вещественными и различными. Тогда общее решение уравнения (1.45) будет определяться (см. лемму формулой αµ j 1 + βµ j 2 , j = 0, ±1, ±2, . . . где α и β — некоторые постоянные, неравные одновременно нулю. Поскольку или |µ 2 | > 1, то функция u не может быть ограниченной, поэтому случай действительных различных корней невозможен. λ = 1 − 4r или λ = 1. В этих случаях характеристическое уравнение) имеет кратные корни, равные соответственно µ = −1 или = 1. По лемме 1.8.3 общее решение разностного уравнения (1.45) задается формулой (α + βx j ) µ j , j = 0, ±1, ±2, . . . Условие ограниченности функции u приводит к требованию β = 0. Следовательно, в случае кратных корней получаются следующие собственные функции оператора R h : u (1) j = α(−1) j , j = 0, ±1, ±2, . . . ; (1.46) u (2) j = α = const, j = 0, ±1, ±2, . . . Они отвечают собственным значениям 1 − 4r; λ 2 = соответственно. 1−4r < λ < 1. Для таких λ корни характеристического уравнения) являются комплексно-сопряженными числами µ 1 = µ и µ 2 = при этом |µ| = 1, µ = e iϕ , ϕ = arccos ¡ −1+2r+λ 2r ¢ , 0 < ϕ < π. По лемме общее решение уравнения (1.45) задается формулой α Reµ j + β Imµ j = α cos jϕ + β sin jϕ, j = 0, ±1, ±2, . . . . Это решение является ограниченным при любых постоянных коэффициентах и β. Собственные функции (1.49) соответствуют собственным значениям = λ(ϕ) = 1 − 2r + 2r cos ϕ = 1 − 4r sin 2 ϕ 2 , (1.50) 19 где 0 < ϕ < π. Отметим, что собственные функции (1.46), (1.47) и собственные значения (1.48) тоже можно описать формулами (1.49), (если в последних положить ϕ = 0 и ϕ = Итак, мы установили, что ограниченные собственные функции оператора перехода описываются формулой (1.49), а соответствующие им собственные значения задаются формулой (Пусть в схеме (1.34) шаги сетки τ и h связаны законом предельного перехода (1.30). Тогда собственные числа λ (ϕ) не зависят от τ и, следовательно, спектральный признак устойчивости (1.42) сводится к требованию (ϕ)| ≤ или ≤ 1 − 4r sin 2 ϕ 2 ≤ 1, ∀ϕ ∈ [0, Очевидно, что это неравенство эквивалентно условию ≤ h 2 Итак, условие (1.52) необходимо для устойчивости явной схемы, аппроксимирующей задачу Коши. Нона практике мы решаем задачи в ограниченной области и потому нас интересует необходимое условие устойчивости разностных схем, предназначенных для решения началь- но-краевых задача незадачи Коши. В предыдущем пункте мы получили необходимое условие устойчивости (1.27) явной схемы, аппроксимирующей начально-краевую задачу. Видим, что полученные условия) и (1.52) совпали. Всегда ли будут совпадать необходимые условия устойчивости разностной схемы для решения начально-краевой задачи и той же схемы, но для задачи Коши Для некоторых схем такое совпадение обосновать нетрудно, нов общем случае — это непростой вопрос, требующий глубокого исследования (подробнее см. работу [1]). На практике полученный для неограниченной области необходимый признак устойчивости применяют следующим образом. Если для некоторой схемы, аппроксимирующей задачу Коши, признак (1.42) не выполняется, то эта схема признается непригодной и для решения начально-краевой задачи. Замечание. Необходимое условие устойчивости (1.52) было получено в результате решения задачи на собственные значения для оператора перехода R h . При этом нам пришлось проделать довольно большую работу по исследованию корней характеристического уравнения (Между тем собственные значения (1.50) оператора перехода можно получить проще. Этот простой способ заключается в следующем. В качестве начальной функции в схеме (1.34) берется гармоника e ijϕ , j = 0, ±1, . . и решение задачи (1.34) ищется в виде Множитель перехода λ = λ(ϕ) определяется в результате подстановки выражения (1.54) в однородное разностное уравнение (1.34): λ n+1 e ijϕ − λ n e ijϕ τ = ν λ n e i(j−1)ϕ − 2λ n e ijϕ + Из получающегося отсюда соотношения − 1 τ = ν e −iϕ − 2 + следует, что множители перехода λ(ϕ) вычисляются по той же формуле, что и собственные значения оператора Описанный способ вычисления множителей перехода мы будем неоднократно использовать в дальнейшем при исследовании устойчивости разностных схем с постоянными коэффициентами. Устойчивость в среднеквадратичной норме. До сих пор мы рассматривали вопросы устойчивости схем в равномерной норме. Сейчас мы исследуем устойчивость схемы с весами в среднеквадратичной сеточной норме, при этом будет использоваться представление решения в виде конечного ряда Фурье. Чтобы воспользоваться результатами § 4 из работы [16], перейдем от исходной схемы (1.5) к схеме с однородными краевыми условиями. Для этого используем тот же прием, который применялся для стационарного уравнения теплопроводности в § 8 работы [16], а именно введем сеточную функцию µ 0 (t n ) + x j l (µ l (t n ) − µ 0 (t n )) (1.55) 21 и рассмотрим разность z n j = u n j − v n j . Легко проверить, что функция является решением следующей задачи с однородными краевыми условиями Отметим, что в силу условий согласования (1.4) выполняются равенства. Таким образом, далее вместо схемы (1.5) мы можем исследовать схему с весами с однородными краевыми условиями u n j τ = νΛ £ σu n+1 j + (1 − σ) u n j ¤ + ϕ n j , u n 0 = 0, u n N = 0, u 0 j = в которой 0 = u 0 N = Обозначим через линейное пространство сеточных функций, определенных на одномерной сетке и принимающих нулевые значения в граничных узлах x 0 = 0 и x N = l. При каждом фиксированном значении сеточные функции являются элементами пространства. В силу равенств (1.58), начальная функция также принадлежит пространству В пространстве введем среднеквадратичную норму = p (u, где, v) = N Эту норму мы будем использовать для оценки сеточных функций на разных временных слоях, поэтому норму (1.59), как и введенную ранее норму (1.11), назовем нормой на слое. Нов отличие от нормы (теперь норму сеточных функций из пространства введем так max 0≤n≤M ku n k. (1.60) 22 Исследуем сначала устойчивость схемы с весами (1.57) с нулевой правой частью u n j τ = νΛ £ σu n+1 j + (1 − σ) u n j ¤ , u n 0 = u n N = 0, u 0 j = Определение. Схема (1.57) называется устойчивой по начальным данным, если для решения задачи (1.61) верна оценка где C 1 — положительная постоянная, независящая от h и τ Для исследования устойчивости схемы (1.57) по начальным данным найдем решение разностной задачи (1.61) и оценим его в норме (Как мы знаем, собственные функции u (k) (k = 1, . . . , N − 1) оператора второй разностной производной (2.4.2), определенного на множестве сеточных функций H h , задаются формулой (2.4.5) u (k) j = r 2 l sin µ kπx j l ¶ , j = 0, . . . , и образуют ортонормированный базис в см. леммы 2.4.3 и 2.4.4). Начальная функция принадлежит пространству H h , поэтому ее можно представить в виде конечного ряда Фурье Согласно лемме 2.4.4 о разложении сеточных функций пространства H h величины T 0 (k) — это коэффициенты Фурье разложения функции в конечный ряд Фурье по базису u (k) , те, На каждом временном слое решение задачи (1.61) принадлежит пространству, поэтому функцию также можно представить в виде конечного ряда Фурье −1 X k=1 T n (k) u (k) (1.65) 23 с неизвестными коэффициентами T n (k) . Для их определения подставим разложение (1.65) в разностное уравнение схемы (1.61): N −1 X k=1 " T n+1 (k) − T n (k) τ + νσλ k T n+1 (k) + ν(1 − σ)λ k T n (k) # u (k) = где λ k — собственные значения оператора, соответствующие собственным функциям u (k) λ k = 4 h 2 sin 2 µ kπh 2l ¶ , k = 1, . . . , N − В силу линейной независимости функций u (k) , выражение в квадратных скобках равно нулю и, следовательно q k T n−1 (k) = . . . = где − (1 − σ) τ νλ k 1 + στ Итак, функция (1.65) удовлетворяет разностному уравнению, начальному условию и однородным краевым условиями, следовательно, является решением рассматриваемой разностной задачи (Лемма 1.3. Для схемы с весами (1.57) выполнение условия ≥ 1 2 − h 2 4τ ν ≡ достаточно для ее устойчивости по начальным данным. Д ока за тел ь ст во. Покажем, что при условии (1.68) справедливо неравенство < В самом деле, используя выражение (1.67) для q k , получаем 1 − τ νλ k 1 + στ Учитывая условие (1.68) и оценку собственных значений оператора ◦ A (см. лемму 2.4.1) 8 l 2 ≤ λ k < 4 h 2 , (1.71) 24 приходим к неравенствам + στ νλ k ≥ 1 + τ νλ k 2 − h 2 4 λ k > τ νλ k 2 > Тогда, во-первых, q k < 1, а во-вторых, τ νλ k 1 + στ νλ k < те. неравенство (1.69) действительно выполняется. Оценим теперь решение (1.65) схемы (1.61), используя равенство Парсеваля (2.4.22) и доказанное неравенство (1.69): ° °u n+1 ° ° 2 = N −1 X k=1 ³ T n+1 (k) ´ 2 = N −1 X k=1 ³ q k T n (k) ´ 2 ≤ N −1 X k=1 ³ T n (k) ´ 2 = Тогда ≤ ku n k ≤ ° °u n−1 ° ° ≤ . . . ≤ ° °u 0 ° ° те. справедлива оценка ≤ ° °u 0 ° °, n = 1, . . . , означающая, согласно определению (1.62), устойчивость разностной схемы по начальным данным с постоянной C 1 = Следствие 1. Выполнение условия ≤ h 2 достаточно для устойчивости явной схемы по начальным данным в среднеквадратичной норме. Д ока за тел ь ст во. Для явной схемы σ = 0, поэтому достаточное условие устойчивости (1.68) схемы с весами принимает вид неравенства (1.72). Следствие 2. При σ ≥ 0, 5 схема с весами абсолютно устойчива по начальным данным. При σ < 0, 5 схема с весами устойчива по начальным данным, если шаг повремени удовлетворяет условию ≤ h 2 2ν (1 − 2σ) . (1.73) 25 Доказательство. При σ ≥ 0, 5 достаточное условие устойчивости) выполняется при любых τ и h, те. схема абсолютно устойчива. Легко проверить, что для σ < 0, 5 условие (1.68) эквивалентно выполнению неравенства (Следствие 3. Схема повышенного порядка аппроксимации устойчива по начальным данным в среднеквадратичной норме. Д ока за тел ь ст во. Схема повышенного порядка аппроксимации получается при = σ ∗ ≡ 1 2 − h 2 12τ Поскольку σ ∗ > σ 0 , то схема повышенного порядка аппроксимации устойчива. Теперь применим метод разложения в конечные ряды Фурье для исследования устойчивости схемы с весами (1.57) по правой части. Для этого рассмотрим схему (1.57) с нулевыми начальными условиями u n j τ = νΛ £ σu n+1 j + (1 − σ) u n j ¤ + ϕ n j , u n 0 = u n N = 0, u 0 j = предполагая при этом, что ϕ n ∈ Схему (1.75) можно записать в виде L h u h = f h , где сеточная функция имеет такой же вид, как функция θ h ∈ из формулы (В пространстве правых частей необходимо ввести норму. В отличие от равномерной нормы (1.13), теперь будем использовать следующую Определение. Схема (1.57) называется устойчивой по правой части, если для решения задачи (1.75) верна оценка где C 2 — положительная постоянная, независящая от h и τ Найдем решение разностной задачи (1.75) и оценим его. Решение будем искать в виде конечного ряда Фурье (1.65). Правую часть также разложим по базису {u (k) }: ϕ n = N −1 X k=1 ϕ n k u (k) . 26 Подставим эти разложения в схему (1.75): N −1 X k=1 " T n+1 (k) − T n (k) τ + νσλ k T n+1 (k) + ν(1 − σ)λ k T n (k) − ϕ n k # u (k) = В силу линейной независимости функций u (k) , выражение в квадратных скобках равно нулю и, следовательно + νστ λ k ) T n+1 (k) = [1 − (1 − σ)ντ λ k ] T n (k) + τ или q k T n (k) + τ ϕ n k 1 + νστ где вычисляется по формуле (Таким образом −1 X |