Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
k=1 T n+1 (k) u (k) j = N −1 X k=1 q k T n (k) u (k) j + τ N −1 X k=1 ϕ n k 1 + νστ Лемма 1.4. Для схемы с весами (1.75) выполнение условия при ≥ 0, σ ε ≡ 1 2 − (1 − ε)h 2 4τ при < достаточно для ее устойчивости по правой части. Здесь ε — некоторая постоянная, независящая от τ и h и удовлетворяющая неравенствам 0 < ε < Доказательство. Оценим решение (1.78), используя неравенство треугольника и равенство Парсеваля: ° °u n+1 ° ° ≤ ° ° ° ° ° N −1 X k=1 q k T n (k) u (k) ° ° ° ° ° + τ · ° ° ° ° ° N −1 X k=1 ϕ n k 1 + νστ λ k u (k) ° ° ° ° ° ≤ ≤ max k |q k | v u u t N −1 X k=1 ³ T n (k) ´ 2 + max k τ |1 + νστ λ k | v u u t N −1 X k=1 (ϕ n k ) 2 = (1.80) = max k |q k | · ku n k + max k τ |1 + νστ λ k | kϕ n k . 27 Отметим, что при выполнении условия (1.79) имеет место неравенство, поэтому будет верным неравенство (1.69) и схема будет устойчивой по начальным данным. Если σ ≥ 0, то с учетом (1.71) имеем 1 + νστ λ k ≥ 1. Следовательно ≤ ku n k + τ kϕ n k Отсюда ≤ ku n k + τ kϕ n k ≤ ° °u n−1 ° ° + τ ¡ kϕ n k + ° °ϕ n−1 ° ° ¢ ≤ . . . . . . ≤ τ n X m=0 kϕ m k ≤ τ (n + 1) max 0≤m≤n kϕ m k ≤ T max 0≤m≤M −1 kϕ m k Итак, при условиях ≥ σ 0 , σ ≥ схема будет устойчивой по правой части с постоянной C 2 = T Пусть теперь σ < 0 и выполнено условие леммы (1.79), те Тогда + νστ λ k ≥ 1 + νσ ε τ λ k = 1 + µ 1 2 − (1 − ε)h 2 4τ ν ¶ ντ λ k > > 1 − (1 − ε) h 2 4 λ k > 1 − (1 − ε) h 2 4 4 h 2 = ε > Поэтому из оценки (1.80) следуют неравенства ≤ ku n k + τ ε kϕ n k ≤ . . . ≤ τ (n + 1) ε max 0≤m≤n kϕ m k ≤ T ε max n kϕ n k Последнее неравенство означает устойчивость схемы по правой части с постоянной C 2 = T Следствие. Схема повышенного порядка аппроксимации устойчива по правой части. Д ока за тел ь ст во. Схема с весами имеет повышенный порядок аппроксимации O(τ 2 + h 4 ) при выполнении условий (1.16), (Очевидно, что σ ∗ > σ 0 . Кроме того, прибудет выполняться неравенство σ ∗ ≥ 0, что, согласно лемме 1.4, гарантирует устойчивость схемы повышенного порядка аппроксимации по правой части. Остается рассмотреть случай, когда неравенство (1.82) нарушается, т. е < h 2 В этом случае σ ∗ < 0 и надо убедиться в том, что при некотором значении выполняется неравенство σ ∗ ≥ σ ε . Подходящее значение ε можно найти, например, из равенства σ ε = σ ∗ , те Следовательно, подходит ε = Итак, условие (1.79) леммы 1.4 выполняется при любых соотношениях между шагами τ и h, поэтому схема повышенного порядка аппроксимации будет абсолютно устойчивой по правой части. Исследуем теперь устойчивость в среднеквадратичной норме схемы с весами в общем случае неоднородного разностного уравнения и ненулевых начальных данных u n j τ − νΛ £ σu n+1 j + (1 − σ) u n j ¤ = ϕ n j , u n 0 = u n N = 0, u 0 j = Определение. Схема называется устойчивой по начальным данными по правой части, если для ее решения верна оценка ≤ C 1 ° °u 0 ° ° + C 2 max 0≤m≤M −1 kϕ m k, n = 1, . . . , где и C 2 — положительные постоянные, независящие от h и τ Теорема 1.2 (об устойчивости схемы с весами в среднеквадратичной норме. При выполнении условия (1.79) схема с весами (1.84) устойчива в среднеквадратичной норме по начальным данными по правой части. Д ока за тел ь ст во. В силу линейности задачи (1.84) ее решение можно представить в виде суммы u h = v h + решения разностной задачи (1.61) с нулевой правой частью и решения задачи (1.75) с нулевыми начальными условиями. Согласно леммами верны оценки ≤ ° °u 0 ° °, n = 1, . . . , M, kw n k ≤ C 2 max 0≤m≤M −1 kϕ m k , n = 1, . . . , M, где C 2 = ( T, при σ ≥ при < из которых следует справедливость неравенства (1.85), означающего устойчивость схемы (1.84) как по правой части, таки по начальным данным. Метод энергетических неравенств. На примере схемы с весами) покажем теперь, как можно исследовать устойчивость схем с помощью метода энергетических неравенств. Вводя обозначение и используя очевидные равенства u n + τ u t , u n = u n+1 − τ u t , (1.86) u n+1 = 0, 5 ¡ u n+1 + u n ¢ + τ 2 · u t , u n = 0, 5 ¡ u n+1 + u n ¢ − τ 2 · u t , получаем+ (1 − σ)u n = = 0, 5σ ¡ u n+1 + u n ¢ + 0, 5στ u t + 0, 5(1 − σ) ¡ u n+1 + u n ¢ − 0, 5(1 − σ)τ u t = = (σ − 0, 5) τ u t + 0, 5 ¡ u n+1 + С учетом полученного тождества перепишем разностное уравнение (σ − 0, 5) ντ Λu t − 0, 5νΛ ¡ u n+1 + u n ¢ = и умножим его скалярно в на сеточную функцию 2τ u t : 2τ ku t k 2 − 2 (σ − 0, 5) τ 2 ν (Λu t , u t ) − −ν ¡ Λ ¡ u n+1 + u n ¢ , ¡ u n+1 − u n ¢¢ = 2τ (ϕ n , u t ) . (1.89) 30 Поскольку u n ∈ H h , u n+1 ∈ H h , u t ∈ H h , то из первой разностной формулы Грина следуют равенства, u t ) = −ku t¯ x ]| 2 , ¡ Λ ¡ u n+1 + u n ¢ , ¡ u n+1 − u n ¢¢ = − ¡ u n+1 ¯ x + u n ¯ x , u n+1 ¯ x − u n ¯ x ¤ = = − ¡ u n+1 ¯ x , u n+1 ¯ x ¤ + (u n ¯ x , u n ¯ x ] = −ku n+1 ¯ x ]| 2 + Следовательно, равенство (1.89) принимает такой вид+ (σ − 0, 5) τ νku t¯ x ]| 2 o + νku n+1 ¯ x ]| 2 = = νku n ¯ x ]| 2 + 2τ (ϕ n , u t ) Лемма 1.5. Условие σ ≥ является достаточным для устойчивости схемы с весами по начальным данным в энергетической норме, u ´ = Доказательство. Обозначим выражение в фигурных скобках равенства (1.90) через = kvk 2 + (σ − 0, 5) τ где v = u t , и покажем, что J ≥ 0, если σ ≥ σ 0 . Действительно ≥ kvk 2 + (σ 0 − 0, 5) τ νkv ¯ x ]| 2 = kvk 2 − h 2 Воспользовавшись теперь полученной ранее оценкой (2.4.25) kv ¯ x ]| 2 ≤ 4 h 2 kvk 2 , v ∈ будем иметь ≥ kvk 2 − h 2 4 · 4 h 2 kvk 2 = Из равенства (1.90) при учете оценки J ≥ 0 следует неравенство νku n ¯ x ]| 2 + 2τ (ϕ n , u t ) называемое энергетическим. Если ϕ n ≡ 0, то из него вытекают следующие неравенства ≤ ku n ¯ x ]| ≤ . . . ≤ ku 0 ¯ x ]|, 31 или = 1, . . . , что и означает устойчивость схемы по начальным данным в энергетической норме Лемма 1.6. Выполнение условия ≥ σ ε ≡ 1 2 − (1 − ε)h 2 4τ ν , 0 < ε ≤ достаточно для устойчивости схемы (1.84) по правой части в равномерной сеточной норме. Д ока за тел ь ст во. Покажем, что при σ ≥ σ ε J ≥ где v = u t . Имеем = kvk 2 + (σ − 0, 5) τ νkv ¯ x ]| 2 ≥ kvk 2 + (σ ε − 0, 5) τ νkv ¯ x ]| 2 = = kvk 2 − (1 − ε)h 2 Отсюда и следует неравенство (1.95), если учесть оценку (Используя тождество (1.90) и неравенство (1.95), получаем εku t k 2 + νku n+1 ¯ x ]| 2 ≤ νku n ¯ x ]| 2 + 2τ (ϕ n , u t ) Для оценки последнего слагаемого в правой части этого неравенства воспользуемся неравенством и неравенством Коши — Буняковского: 2τ (ϕ n , u t ) ≤ 2τ kϕ n k · ku t k ≤ 2τ ε Тогда из энергетического неравенства (1.96) следует ku n ¯ x ]| 2 + τ 2νε kϕ n k 2 ≤ ≤ ku n−1 ¯ x ]| 2 + τ 2νε ³° °ϕ n−1 ° ° 2 + kϕ n k 2 ´ ≤ . . . ≤ ku 0 ¯ x ]| 2 + τ 2νε n X m=0 kϕ m k 2 . 32 Поскольку u 0 = 0, то получаем оценку (n + 1) 2νε · или ≤ C max 0≤m≤M −1 kϕ m k где = √ T √ 2νε , σ ≥ Воспользовавшись неравенством (2.3.17) kuk C ≤ 0, 5 √ lku ¯ x ]| из теоремы вложения 2.3.1 и неравенством (2.3.2) kϕ m k ≤ √ l kϕ m k C , получим оценку в равномерной норме C 1 max 0≤m≤M где C 1 = Теорема 1.3 (о равномерной сходимости схемы с весами. При ≥ схема с весами (1.5) равномерно сходится. Д ока за тел ь ст во. Поскольку краевые условия и начальные данные в схеме с весами аппроксимируются точно, то погрешность решения z h = (u) h − является решением следующей задачи с однородными краевыми и начальными условиями z n j τ − νΛ £ σz n+1 j + (1 − σ) z n j ¤ = ψ n j , z n 0 = z n N = 0, z 0 j = где ψ n j — погрешность аппроксимации. Для такой задачи из полученной оценки (1.97) будет следовать (u) h k C ≤ C 1 max 0≤n≤M kψ n k C = что и означает сходимость схемы в равномерной сеточной норме с соответствующим порядком (u) h k C = = O(τ + если ϕ n j = f (x j , t n ); O(τ 2 + если σ = 0, 5 и ϕ n j = f ³ x j , t n + τ 2 ´ ; O(τ 2 + если σ = и ϕ n j = f ³ x j , t n + τ 2 ´ + h 2 12 f xx ³ x j , t n + τ 2 ´ . (1.100) 33 ЗАДАЧИ. Показать, что явная схема (1.26) аппроксимирует задачу (для однородного уравнения теплопроводности с порядком O(τ + При каком законе предельного перехода она будет аппроксимировать с порядком O(h 4 )? 1.2. Показать, что при ϕ n j = f (x j , t n ) явная схема (1.5) аппроксимирует задачу (1.3) с порядком O(τ + h 2 ). Подобрать сеточную функцию ϕ n j и закон предельного перехода так, чтобы схема аппроксимировала задачу (1.3) с порядком O(h 4 ). 1.3. Найти параметр σ и закон предельного перехода, при которых двухслойная схема с весами (1.5) u n+1 j − u n j τ = νΛ £ σu n+1 j + (1 − σ) u n j ¤ , u n 0 = µ 0 (t n ), u n N = µ l (t n ), u 0 j = аппроксимирует задачу (1.3) для однородного уравнения теплопроводности с порядком O(h 6 ). 1.4. Определить, с каким порядком двухслойная разностная схема 6 u n+1 j−1 − u n j−1 τ + 2 3 u n+1 j − u n j τ + 1 6 u n+1 j+1 − u n j+1 τ = νΛ u n+1 j + u n j 2 , u n 0 = µ 0 (t n ), u n N = µ l (t n ), (1.102) u 0 j = аппроксимирует задачу (1.3) для однородного уравнения теплопроводности. Определить, с каким порядком двухслойная разностная схема 12 u n+1 j−1 − u n j−1 τ + 5 6 u n+1 j − u n j τ + 1 12 u n+1 j+1 − u n j+1 τ = νΛ u n+1 j + u n j 2 , u n 0 = µ 0 (t n ), u n N = µ l (t n ), (1.103) u 0 j = аппроксимирует задачу (1.3) для однородного уравнения теплопроводности. Построить явную схему, аппроксимирующую начально-краевую задачу νu xx + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t ≤ T, ν = const > 0, u x (0, t) + γu (0, t) = |