Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
σ = 0, 5) с правой частью f ³ x j , получаем −ν h 2 12 u xxxx − ντ h 2 24 u txxxx + f − ³ f + τ 2 f t ´ + τ 2 f t + O ¡ τ 2 + те+ И наконец, для схемы с весом ≡ σ ∗ = 1 2 − h 2 12τ и правой частью f ³ x j , t n + τ 2 ´ + h 2 12 f xx ³ x j , погрешность аппроксимации вычисляется по формуле −ντ σ ∗ h 2 12 u txxxx + f − − µ f + τ 2 f t + h 2 12 f xx + τ h 2 24 f xxt ¶ + h 2 12 f xx + τ 2 f t + O ¡ τ 2 + h 4 ¢ = = −ντ σ ∗ h 2 12 u txxxx − τ h 2 24 f xxt + O ¡ τ 2 + h 4 ¢ . 10 Отсюда, учитывая неравенство h 2 ≤ τ 2 + h 4 приходим к выводу, что ψ n j = O ¡ τ 2 + h 4 ¢ . Таким образом, при выполнении условий (1.16), (1.17) получается схема повышенного порядка аппроксимации. 1.4. Принцип максимума. Познакомимся теперь с некоторыми приемами исследования устойчивости эволюционных разностных задач. Начнем изучение этих приемов с метода, основанного на принципе максимума. Этот метод опирается на проверку некоторого неравенства для решения разностной задачи. Получим это неравенство, рассмотрев в качестве примера полностью неявную разностную схему u n j τ = νΛu n+1 j + ϕ n j , j = 1, . . . , N − 1, n = 0, . . . , M − 1, u n 0 = µ 0 (t n ), u n N = µ l (t n ), n = 0, . . . , M, (1.18) u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , Пусть сеточная функция на временном слое уже вычислена. Тогда для определения получим разностную задачу (1 + 2r)u n+1 j + ru n+1 j+1 = −u n j − τ ϕ n j , j = 1, . . . , N − 1, u n+1 0 = µ 0 (t n+1 ), u n+1 N = где r = ντ /h 2 . Коэффициенты разностного уравнения этой задачи удовлетворяют условиям (2.2.10) леммы 2.2.1, поэтому в силу леммы задача (1.19) однозначно разрешима. Построим теперь мажоранту для решения u n+1 . Для этого рассмотрим задачу (1 + 2r)¯ u j + r¯ u j+1 = − ku n k C − τ max n kϕ n k C , j = 1, . . . , N − 1, ¯ u 0 = max n |µ 0 (t n )| , ¯ u N = max n |µ l (t n )| Эта задача также однозначно разрешима, при этом выполнены все условия леммы 2.2.3 (о мажоранте, поэтому функция ¯ u является мажорантой для решения и, следовательно, выполняются неравенства ≤ ¯u j , j = 0, . . . , N. (1.21) 11 Согласно теореме 2.2.1, для решения задачи (1.20) справедлива оценка max j ¯ u j ≤ max n ¯ u 0 , ¯ u N , ku n k C + τ Следовательно, неравенство (1.21) принимает такой вид max n max n |µ 0 (t n )|, max n |µ l (t n )|, ku n k C + τ Мы получили оценку (1.22) решения полностью неявной схемы нам временном слое через заданные граничные значения, правую часть разностного уравнения и норму решения нам слое повремени. Полученное неравенство и лежит в основе определения принципа максимума для произвольной эволюционной разностной схемы, аппроксимирующей задачу (Определение. Разностная схема удовлетворяет принципу максимума, если для решения разностной задачи L h u h = неравенство) выполняется при всех n = 0, . . . , M − Теорема 1.1. Пусть линейная разностная схема L h u h = удовлетворяет принципу максимума. Тогда она устойчива в равномерной норме. Д ока за тел ь ст во. Представим решение задачи L h u h = в виде суммы u h = v h + решения задачи L h v h = и решения задачи L h w h = θ h , где η h = 0, µ 0 (t n ), µ l (t n ), u 0 (x j ), θ h = ϕ n j , 0, 0, 0. (1.23) В силу принципа максимума, для решения первой задачи имеем оценки max n max n |µ 0 (t n )|, max n |µ l (t n )|, kv n k C o ; kv n k C ≤ max n max n |µ 0 (t n )|, max n |µ l (t n )|, ° °v n−1 ° ° C o ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ° °v 1 ° ° C ≤ max n max n |µ 0 (t n )|, max n |µ l (t n )|, ° °v 0 ° ° C o . 12 Таким образом max n max n |µ 0 (t n )|, max n |µ l (t n )|, Также в силу принципа максимума, для решения второй задачи получим Теперь из оценок, установленных для слагаемых и w h , получаем оценку для решения исходной задачи+ w n+1 ° ° C ≤ ° °v n+1 ° ° C + ° °w n+1 ° ° C ≤ ≤ max n max n |µ 0 (t n )|, max n |µ l (t n )|, k(u 0 ) h k C o + T max n kϕ n k C ≤ ≤ (1 + T ) max n max n |µ 0 (t n )|, max n |µ l (t n )|, k(u 0 ) h k C , Согласно определению норм (1.12) и (1.13), отсюда следует неравенство (1 + T означающее (в предположении однозначной разрешимости разностной задачи) устойчивость линейной схемы в равномерной сеточной норме с постоянной C = 1 + T Применим принцип максимума для установления устойчивости явной и полностью неявной схем. Вначале рассмотрим явную схему u n j τ = νΛu n j + ϕ n j , j = 1, . . . , N − 1, n = 0, . . . , M − 1, u n 0 = µ 0 (t n ), u n N = µ l (t n ), n = 0, . . . , M, (1.26) u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, . . . , Лемма 1.1. При выполнении условия ≤ h 2 явная схема (1.26) устойчива в равномерной норме Доказательство. Очевидно, что разностная задача (однозначно разрешима. Перепишем разностное уравнение схемы (1 − 2r) u n j + r ¡ u n j−1 + u n j+1 ¢ + τ ϕ n j , j = 1, . . . , N − 1, где r = ντ /h 2 , и учтем условие (1.27), из которого вытекает неравенство − 2r ≥ 0. Тогда будет справедливо следующее неравенство ≤ (1 − 2r) ku n k C + r (ku n k C + ku n k C ) + τ или ≤ ku n k C + τ max n kϕ n k C , j = 1, . . . , N − Кроме того, в граничных узлах 0 ¯ ¯ ≤ max n |µ 0 (t n )| ; ¯ ¯u n+1 N ¯ ¯ ≤ max n |µ l (t n )| Полученные оценки свидетельствуют о том, что явная схема удовлетворяет принципу максимума (1.22). Тогда утверждение леммы будет следовать из теоремы Мы показали, что выполнение условия (1.27) является достаточным для устойчивости явной схемы (1.26). Что будет, если это условие не удовлетворяется Оказывается, что при его нарушении явная схема может стать неустойчивой. Покажем это, рассмотрев задачу u n j τ = νΛu n j , j = 1, . . . , N − 1, n = 0, . . . , M − 1, u n 0 = 0, u n N = 0, n = 0, . . . , M, u 0 j = sin h (1 − h l )πj i , j = 0, . . . , где N — четное число. Решение этой задачи вычисляется по формуле u n j = q n u 0 j , где = 1 − 4r sin 2 h (1 − h l ) π 2 i , r Поэтому ku n k C = |q| n ° °u 0 ° ° C . Очевидно, что 1. Нов узле с номером начальная функция принимает значение sin h (1 − h l )πj 0 i = sin h (N − 1) π 2 i = Следовательно 1 и ku n k C = |q| n 14 Пусть шаги τ и h используемой сетки связаны законом предельного перехода r = причем > 1 те. условие (1.27) нарушено. Возьмем положительное число ε = r−1/2 Тогда найдется такое число h ∗ > 0, что при всех h ≤ будет выполняться неравенство sin 2 £ (1 − h l ) π 2 ¤ > 1 − ε. Отсюда следует оценка < 1 − 4r(1 − ε) = −2r < Тогда при использовании равномерных норм (1.12), (1.13) будем иметь равенства 1; ku h k U h = |q| M = |q| T В силу неравенства |q| > 2r > 1, получаем неограниченный рост нормы численного решения при τ → 0, поэтому для выбранной функции неравенство (1.9) не выполняется ни при какой постоянной C, те. схема не может быть устойчивой по определению. Таким образом, условие) является не только достаточным, но и необходимым для устойчивости рассматриваемой явной схемы (при законе предельного перехода. Следовательно, явная схема (1.26) относится к классу условно устойчивых схем, которые характеризуются тем, что их устойчивость имеет место не для произвольных шагов h < и τ < и τ 0 — числа, фигурирующие в определениях устойчивости, а только при некоторых дополнительных связях между шагами сетки (например, вида (1.27)). Определение. Разностная схема называется условно устойчивой, если она устойчива лишь при некоторых дополнительных ограничениях на шаги сетки τ и Определение. Разностная схема называется абсолютно устойчивой, если она устойчива при любых шагах h и τ Лемма 1.2. Полностью неявная схема (1.18) абсолютно устойчи- ва. Д ока за тел ь ст во. Мы показали, что полностью неявная схема удовлетворяет принципу максимума (1.22) при любых шагах и h, поэтому она, согласно теореме 1.1, устойчива в равномерной норме, причем при любых шагах τ и h. 15 1.5. Спектральный метод Неймана. Используя принцип максимума, мы строго обосновали устойчивость явной и полностью неявной схем, исходя из определения устойчивости. На практике это не всегда удается сделать из-за сложности применяемых схем. Поэтому часто используются некоторые практические приемы, позволяющие относительно легко отсеивать неустойчивые схемы. Один из таких приемов носит название спектрального метода Неймана. Он применяется для анализа устойчивости линейных разностных схем по начальным данным. В этом методе проверяется некоторое условие, называемое необходимым спектральным признаком устойчивости. При нарушении этого условия делается вывод о неустойчивости схемы. Выполнение необходимого условия не гарантирует устойчивости схемы, поэтому для строгого доказательства устойчивости необходимо привлекать другие методы исследования устойчивости. Применим спектральный признак для исследования устойчивости явной схемы u n j τ = ν u n j−1 − 2u n j + u n j+1 h 2 + ϕ n j , n = 0, ..., M − 1, u 0 j = u 0 (x j ), j = 0, ±1, ±2, . . . аппроксимирующей задачу Коши для уравнения теплопроводности νu xx + f, ν = const > 0, u (x, 0) = u 0 (x) , −∞ < x < Запишем схему (1.32) в операторном виде L h u h = f h , где u n j τ − ν u n j−1 − 2u n j + Пусть схема устойчива. Поскольку она линейная, то условие ее устойчивости имеет вид При использовании сеточных норм (1.12) и (1.13) (вернее, аналогов указанных норм для задачи Коши — задачи без краевых условий) неравенство) запишется так C max · ° °u 0 ° ° C , max m=0,...,M −1 kϕ m k C ¸ , n = 1, . . . , M. 16 Это условие устойчивости должно, в частности, выполняться и при 0, поскольку если схема устойчива, то она устойчива и при нулевой правой части разностных уравнений. Таким образом, решение однородной разностной задачи Коши u n j τ = ν u n j−1 − 2u n j + u n j+1 h 2 , u 0 j = должно удовлетворять условию C ° °u 0 ° ° C , n = 1, . . . , для произвольной ограниченной сеточной функции u 0 j . Свойство (называется устойчивостью схемы по начальным данным в равномерной сеточной норме. Обозначим через оператор перехода от текущего временного слоя к следующему слою повремени Этот оператор каждой сеточной функции u n j , определенной на слое nτ , ставит в соответствие сеточную функцию u n+1 j , определенную на слое t n+1 = (n + 1) τ . Для схемы (1.34) оператор перехода имеет вид ru n j+1 + (1 − 2r) u n j + ru n j−1 , j = 0, ±1, ±2, . . . где, как и ранее, r = ντ /h 2 . Отметим, что из уравнения (1.36) следует равенство R n h u 0 , n = 1, . . . , Пусть схема устойчива по начальным данным, те. неравенство) выполняется для любой ограниченной функции u 0 . Тогда из равенства) с необходимостью вытекает ограниченность норм степеней оператора перехода ≤ C, n = 1, . . . , Известно [14], что спектральный радиус ограниченного оператора не превосходит нормы этого оператора. Неравенство (1.39) свидетельствует о том, что оператор ограничен, поэтому для любого числа |