Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
kϕk (2) , определенной равенством (2.7): ° °u n+1 ° ° (1) ≤ M 2 τ n X k=0 ° °B −1 ϕ k ° ° (1) , n = 0, 1, . . . По определению устойчивости эта оценка имеет место при любой правой части f k = B −1 ϕ k . С другой стороны, из представления (2.14) решения задачи при u 0 = 0 получаем Поскольку операторы постоянные, то S n ≡ S, T n+1,k+1 = (и тогда Выберем правую часть схемы так, чтобы f k = τ B −1 ϕ k = где η — произвольная сеточная функция, η ∈ H h ; k 0 — произвольное целое число δ k,k 0 — символ Кронекера. Тогда из формулы для решения) следует, что f k = n X k=0 (S) n−k ηδ k,k 0 = (Поэтому · В тоже время по условию Следовательно ≤ M 2 . Учитывая произвольность и n, приходим к выводу, что нормы степеней оператора S ограничены ≤ M 2 , m = 1, 2, . . . , M. 44 Тогда = ° °(S) n−k ° ° ≤ для всех 0 ≤ k < n ≤ M и из теоремы 2.1 следует, что схема равномерно устойчива и тем более просто устойчива по начальным данным. В силу доказанной теоремы мы ограничимся далее лишь исследованием устойчивости схем по начальным данным. Устойчивость в энергетическом пространстве. Мы получили условия устойчивости двухслойных схем в виде неравенств (и (2.19) для норм операторов перехода. При этом в пространстве сеточных функций использовались некоторые абстрактные нормы и k·k (2) , операторы A и B могли быть переменными или постоянными. Указанные неравенства трудны для проверки. Поэтому далее мы получим другие достаточно общие и легко проверяемые условия устойчивости схем по начальным данным в виде некоторых неравенств между операторами A и B, причем эти условия будут необходимыми и достаточными для устойчивости. Для упрощения выкладок будем рассматривать только случай постоянных операторов и B : H h → H h . Кроме того, теперь будет предполагаться, что H h — действительное конечномерное гильбертово пространство со скалярным произведением (u, v) и нормой kuk = p (u, u). Как и прежде, мы считаем, что A и B являются линейными операторами и задача (однозначно разрешима при любых входных данных и u 0 , те. существует ограниченный обратный оператор с областью определения) = Напомним основные определения и некоторые свойства операторов, отображающих пространство в себя. Оператор A называется неотрицательным обозначается A ≥ 0), если, x) ≥ 0, ∀x ∈ Оператор A называется положительным (A > 0), если, x) > 0, ∀x ∈ H h , x 6= Оператор A называется положительно определенным (A ≥ δE), если, x) ≥ δ(x, x), δ > Оператор A называется самосопряженным (A = A ∗ ), если, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H h . 45 Неравенство A ≥ B понимается в том смысле, что A − B ≥ 0 или, x) ≥ (Bx, x), ∀x ∈ Пусть A = A ∗ > 0. Тогда функция (x, y) A = (Ax, y) будет удовлетворять аксиомам скалярного произведения и, следовательно, можно ввести норму, x) A = p (Ax, порожденную оператором Определение. Пространство с нормой k · называется энергетическим пространством и обозначается Таким образом, далее мы вместо абстрактной нормы k · будем использовать энергетическую норму k · пространства ив этой норме будем устанавливать устойчивость двухслойных схем. При этом для получения совпадающих необходимого и достаточного условий устойчивости нам потребуется более специальное определение устойчивости по начальным данным, чем то, которое было раньше. Определение. Схема (2.2) с оператором A = A ∗ > 0 называется устойчивой с постоянной ρ по начальным данным в пространстве устойчивой в H A ), если при любых u n ∈ H h , при всех n и при всех достаточно малых τ и h для решения уравнения+ Au n = справедлива оценка ρ где 0 < ρ ≤ 1 + C 0 τ , C 0 > 0 — постоянная, независящая от τ и Поскольку ρ n ≤ M 1 = для всех nτ ≤ T , то устойчивая в схема является равномерно устойчивой по начальным данным в и просто устойчивой в в смысле введенных ранее определений. Вспомогательные утверждения. Для доказательства теорем о необходимом и достаточном условии устойчивости нам потребуется несколько вспомогательных утверждений. Известна Теорема (о норме самосопряженного оператора. Если оператор S — самосопряженный, то = sup x6=0 |(Sx, x)| kxk 2 , x ∈ H h . (2.31) 46 Оператор C называется квадратным корнем из оператора A, если A. Квадратный корень из оператора A будем обозначать через. Тогда A 1/2 · A 1/2 = A. Известна Теорема (о квадратном корне из оператора. Существует единственный положительный самосопряженный квадратный корень из любого положительного самосопряженного оператора A, перестановочный со всяким оператором, перестановочным с Далее будем предполагать, что в уравнении (2.29) A и B — самосопряженные операторы и A — положительный оператор, те. По теореме о квадратном корне существует оператор A 1/2 , который является положительными самосопряженным. Подействуем на обе части уравнения (2.29) оператором A 1/2 B −1 . В результате получим уравнение+ (A 1/2 B −1 A 1/2 )A 1/2 u n = Обозначив x = A 1/2 u, перепишем последнее уравнение в виде Sx n , n = 0, 1, . . . где S = E − τ Лемма 2.1. Для устойчивости схемы в необходимо и достаточно выполнение оценки ≤ Доказательство. В силу самосопряженности оператора для функций u и x = A 1/2 u справедливо равенство = В самом деле = p (x, x) = q (A 1/2 u, A 1/2 u) = p (Au, u) = Достаточность. Пусть kSk ≤ ρ и u n — произвольный элемент из. Тогда = kSx n k ≤ и на основе равенства (2.34) получаем, что те. схема устойчива в с постоянной ρ. 47 Необходимость. Пусть x n ∈ H h — произвольный элемент пространства. В силу положительности оператора существует единственное решение уравнения A 1/2 u n = x n . Поскольку схема устойчива в H A , то выполнена оценка (2.35), следовательно, и оценка ≤ В силу равенства x n+1 = получаем ≤ Отсюда ввиду произвольности x n ∈ следует неравенство kSk ≤ Лемма доказана. Лемма 2.2. Пусть L и Q — операторы, действующие в H h , причем оператор L −1 : H h → существует. Тогда операторные неравенства Q ≥ 0 и L ∗ QL ≥ 0 эквивалентны. Д ока за тел ь ст во следует из тождества, u) = (QLu, Lu) = (Qv, где v = Lu и u = Лемма 2.3. Пусть Q : H h → H h — самосопряженный положительный оператор. Тогда и является таким же. Д ока за тел ь ст во. Поскольку Q > 0, то обратный оператор Q −1 существует и ∀u ∈ H h , u 6= 0 (Q −1 u, u) = (v, Qv) = (Qv, v) > где v = Q −1 u, те. является положительным оператором. Кроме того, для любых u, v ∈ H h (Q −1 u, v) = (Q −1 u, QQ −1 v) = (Q ∗ Q −1 u, Q −1 v) = (u, те самосопряженный оператор. Лемма 2.4. Пусть A и B — самосопряженные положительные операторы, α и β — любые действительные числа. Тогда эквивалентны операторные неравенства ≥ и βA −1 . (2.38) 48 Доказательство. По теореме о квадратном корне существует самосопряженный положительный оператор B 1/2 . Согласно лемме обратный оператор ¡ B 1/2 ¢ −1 также является самосопряженными положительным. Умножая неравенство (2.37) с обеих сторон на ¡ B 1/2 ¢ −1 , согласно лемме 2.2 получаем неравенство, эквивалентное (2.37) α ³ B 1/2 ´ −1 A ³ B 1/2 ´ −1 ≥ те где C = ¡ B 1/2 ¢ −1 A ¡ B 1/2 ¢ −1 . Поскольку A > 0, то из леммы 2.2 следует, что и C > 0. Кроме того, непосредственно проверяется, что C = Следовательно, существует корень квадратный C 1/2 — самосопряженный положительный оператор и обратный оператор, также являющийся самосопряженными положительным. Поэтому согласно лемме 2.2 неравенство (2.39) эквивалентно следующему ≥ или ≥ Поэтому исходное неравенство (2.37) будет эквивалентно неравенству ≥ которое после умножения с обеих сторон на самосопряженный оператор, согласно лемме 2.2, в эквивалентное неравенство. Необходимое и достаточное условие устойчивости Теорема 2.7. Пусть в схеме (2.2) A и B — положительные, самосопряженные и постоянные операторы. Тогда для ρ-устойчивости схемы в по начальным данным необходимо и достаточно выполнения неравенства − ρ τ B ≤ A ≤ 1 + ρ τ B. (2.40) 49 Доказательство. Покажем вначале, что оператор перехода из уравнения (2.32) является самосопряженным оператором, y) = ((E − τ A 1/2 B −1 A 1/2 )x, y) = (x, y) − τ (A 1/2 B −1 A 1/2 x, y) = = (x, y) − τ (x, A 1/2 B −1 A 1/2 y) = (x, (E − τ A 1/2 B −1 A 1/2 )y) = (x, Здесь мы использовали свойство самосопряженности оператора см. лемму 2.3) и квадратного корня Перейдем теперь от неравенства (2.33) к эквивалентным неравенствам между операторами исходной схемы. По теореме о норме самосопряженного оператора условие kSk ≤ ρ из леммы 2.1 эквивалентно требованию, x)| ≤ ρkxk 2 , ∀x ∈ В виде операторных неравенств последнее неравенство записывается так ≤ S ≤ или ≤ E − τ A 1/2 B −1 A 1/2 ≤ где E — единичный оператор. Отсюда получаем − ρ τ E ≤ A 1/2 B −1 A 1/2 ≤ 1 + Умножим это неравенство с обеих сторон на положительный самосопряженный оператор. Используя лемму 2.2, получаем − ρ τ A −1 ≤ B −1 ≤ 1 + В силу леммы 2.4, неравенства (2.42) могут быть обращены − ρ τ B ≤ A ≤ 1 + Таким образом, доказано, что выполнение операторных неравенств) является необходимыми достаточным условием устойчивости схемы. Если 1 ≤ ρ ≤ 1 + C 0 τ , толевое неравенство (2.40) будет выполняться автоматически и для устойчивости необходимо и достаточно выполнения неравенства ≥ τ 1 + Теорема доказана 2.9. Схема с весами (общий случай. Запишем схему с весами+ A[σu n+1 + (1 − σ)u n ] = в канонической форме (E + στ A)u t + Au n = 0 или+ Au n = где B = E + στ Пусть A = A ∗ > 0 — линейный постоянный оператор. Тогда = sup x6=0 (Ax, x) kxk 2 > Очевидно, что B = B ∗ . Пусть > − 1 τ Тогда для произвольного x ∈ H h , x 6= 0 будем иметь, x) > (x, x) − (Ax, x) kAk = 1 kAk ³ kxk 2 kAk − (Ax, x) ´ ≥ те. при условии (2.47) оператор B является положительными условия теоремы 2.7 выполняются. Рассмотрим устойчивость с ρ = 1. В силу теоремы 2.7, необходимое и достаточное условие устойчивости схемы (2.45) в представляется в виде неравенства B = E + στ A ≥ 0, 5τ A или + (σ − 0, 5)τ A ≥ При σ ≥ 0, 5 это неравенство выполнено всегда, так как A > 0, т. е. схема в этом случае абсолютно устойчива. Пусть теперь σ < 0, 5. Неравенство (2.48) эквивалентно выполнению для произвольного x следующего неравенства (0, 5 − σ)(Ax, x) ≤ (x, или, x) (x, x) ≤ 1 τ (0, 5 − σ) . 51 Таким образом, при σ < 0, 5 операторное неравенство (2.48) эквивалентно числовому неравенству ≤ 1 τ (0, 5 − или ≥ 1 2 − 1 τ Очевидно, что если σ удовлетворяет условию (2.50), то условие (также выполняется и оператор B будет положительным. Сформулируем полученный результат в виде следствия из теоремы Следствие 1. Пусть A = A ∗ > 0. Тогда при σ ≥ 0, 5 схема с весами (2.44) абсолютно устойчива. При σ < 0, 5 для устойчивости этой схемы необходимо и достаточно выполнения условия (2.50). 2.10. Схема с весами для уравнения теплопроводности. Теперь пусть схема с весами (2.44) аппроксимирует уравнение теплопроводности Для этого случая A = ν ◦ A, где u = −u ¯ xx , u 0 = u N = Оператор является положительно определенными самосопряженным. Его норма равна максимальному собственному значению (см. задачу Следовательно, оператор A также является положительно определенными самосопряженными Таким образом, получили Следствие 2. При σ ≥ 0, 5 схема с весами для уравнения теплопроводности абсолютно устойчива. При σ < 0, 5 для устойчивости схемы в необходимо и достаточно выполнение условия ≥ ˆ σ 0 = 1 2 − h 2 4τ ν cos 2 µ πh 2l ¶ . (2.53) 52 Отметим, что полученное в лемме 1.5 достаточное условие устойчивости является хорошим приближением к необходимому и достаточному условию ЗАДАЧИ Решение некоторых из приведенных ниже задач непосредственно вытекает из следствия 2. Предлагается, однако, решать эти задачи с помощью теоремы 2.7, проверяя все ее условия. Устойчивость исследовать для постоянной ρ = 1. Из теоремы 2.7 следует, что для такой постоянной необходимое и достаточное условие устойчивости схемы по начальным данным в заключается в выполнении неравенства ≥ τ 2 A. (2.55) 2.1. Доказать, что для вычисления нормы оператора можно использовать формулу (2.52). 2.2. С помощью метода операторных неравенств найти необходимое и достаточное условие устойчивости по начальным данным явной схемы u n j τ = νΛu n j + f n j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 0, u n N = 0, u 0 j = аппроксимирующей первую начально-краевую задачу νu xx + f (x, t), 0 < x < l, 0 < t ≤ T, ν = const > 0, u (0, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, u (l, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, u (x, 0) = u 0 (x) , 0 ≤ x ≤ l, u 0 (0) = 0, u 0 (l) = 0. (2.57) 2.3. С помощью метода операторных неравенств исследовать устойчивость по начальным данным неявной схемы u n j τ = νΛu n+1 j + f n+1 j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 0, u n N = 0, u 0 j = аппроксимирующей начально-краевую задачу (2.57). 53 2.4. С помощью метода операторных неравенств исследовать устойчивость по начальным данным схемы Кранка — Николсон u n+1 j − u n j τ = νΛ ³ u n+1 j + u n j 2 ´ + f n+1/2 j , j = 1, . . . , N − 1, u n 0 = 0, u n |