Методы вычислений
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
u x,0 v 0 − (Λ n u, v) + ν n N Используя вторую формулу Грина (2.3.10), получаем, v) = ((a n u ¯ x ) x , v) = = (u, (a n v ¯ x ) x ) + a n N (u ¯ x v − uv ¯ x ) N − a n 1 (u x v − uv x ) 0 = = (u, Λ n v) + ν n N −1/2 (u ¯ x,N v N − u N v ¯ x,N ) − ν n 1/2 (u x,0 v 0 − u 0 v x,0 ) Следовательно, v) (1) = −ν n 1/2 u 0 v x,0 − (u, Λ n v) + ν n N −1/2 u N v ¯ x,N = (u, те Докажем неотрицательность оператора A. Из первой формулы Грина) следует, что, u) = ((a n u ¯ x ) x , u) = − ¡ a n u ¯ x , u ¯ x ¤ + a n N u N u ¯ x,N − поэтому, u) (1) = −ν n 1/2 u x,0 u 0 − (Λ n u, u) + ν n N −1/2 u ¯ x,N u N = ¡ a n u ¯ x , те Таким образом, оператор является неотрицательным в Возьмем сеточную функцию u ∈ H h,1 , которая принимает постоянное значение во всех узлах сетки, те Тогда (Au, u) (1) = 0. Следовательно, оператор A не может быть поло- жительным. Рассмотрим сеточную функцию u (0) , значения которой в узлах сетки постоянны 1/ √ l, j = 0, . . . , Тогда Au (0) = 0 и 1, поэтому функция (13.23) является нормированной собственной функцией оператора A n , отвечающей его нулевому собственному значению. σ ≥ Решение. Пусть u(x, t) — достаточно гладкое решение уравнения. Тогда, t n+1 ) + (1 − 2σ)u(x j , t n ) + σu(x j , t n−1 ) ¤ = = u + h 2 12 u xxxx + τ 2 σu ttxx + O(τ 4 + при этом все функции из правой части вычисляются в точке (x j , Следовательно, для погрешности аппроксимации получается выражение Учитывая следствия из уравнения (4.1) u tt = ν 2 u xxxx + νf xx + f t ; u ttt = ν 3 u (6) + ν 2 f xxxx + νf xxt + f tt ; u ttxx = ν 2 u (6) + νf xxxx + получаем ν 3 τ 2 6 (1 − 6σ)u (6) − ν h 2 12 u xxxx + τ 2 6 £ ν 2 (1 − 6σ)f xxxx + ν(1 − 6σ)f txx ¤ + + τ 2 6 f tt + f − ϕ n j + O(τ 4 + Отсюда следует, что если ϕ n j = f (x j , t n ), то ψ n j = O(τ 2 + h 2 ). Если = 1 6 , ϕ n j = f (x j , t n ) + τ 2 6 f tt (x j , то ψ n j = O(τ 4 + Заметим, что при σ = 0 схема (4.9) совпадает со схемой Ричардсона (4.2), которая неустойчива, поэтому далее будем считать, что σ > Множитель перехода λ является корнем уравнения F (λ) = 0, где (λ) = (1 + σξ)λ 2 + (1 − 2σ)ξλ − 1 + σξ, ξ = 8r sin 2 (ϕ/2), r = ντ /h 2 , ϕ — произвольное действительное число. Если для некоторого ξ дискриминант d = 4 + (1 − квадратного уравнения F (λ) = 0 неотрицателен, то корни этого уравнения будут вещественными числами и условие |λ 1,2 | ≤ 1 будет эквивалентно выполнению системы неравенств ≤ − (1 − 2σ)ξ 2(1 + σξ) ≤ 1, F (−1) ≥ 0, F (1) ≥ или ≥ ξ − 2, 4σξ ≥ или σ ≥ 1/4. Если d < 0, то − 1 1 + и условие |λ 1,2 | ≤ 1 также выполнено Итак, необходимое условие устойчивости эквивалентно условию σ ≥ 1/4, при этом |λ 1,2 | ≤ 1 при любых значениях r, те. при любых τ и h. 4.2. σ ≥ Указание. Покажите, что на решении уравнения (4.1) выражение для погрешности аппроксимации имеет следующий вид ν 2 (σ − 0, 5) − νh 2 12 ´ u xxxx + τ (σ − 0, 5) ³ νf xx + f t ´ + +f − ϕ n j + O(τ 2 + при этом все функции из правой части вычисляются в точке (x j , Следовательно + если σ 6= 0, 5, ϕ n j = f ¡ x j , t n+1 ¢ ; O(τ 2 + если σ = 0, 5, ϕ n j = f ¡ x j , t n+1 ¢ ; O(τ 2 + если σ = 0, 5 + h 2 12τ ν , ϕ n j = = µ f + h 2 12ν (νf xx + f t ) ¶ ¡ x j , Отметим, что при σ = 0, 5 схема (4.10) совпадает с неявной трехслойной схемой (Множитель перехода схемы (4.10) является корнем уравнения + σ + ξ)λ 2 − (1 + 2σ)λ + σ = где ξ = 4r sin 2 (ϕ/2) ≥ 0. Возьмем ξ = 0. Чтобы для этого значения корни уравнения удовлетворяли условию |λ 1,2 | ≤ 1 необходимо выполнение неравенства σ ≥ −0, 5. Поэтому далее можно рассматривать только такие значения σ. Если дискриминант d = 1 − 4σξ < 0, то + σ + ξ < В случае d ≥ 0 выпишите систему вида (13.24). 5.1. Указание. Покажите, что множитель перехода схемы (вычисляется по формуле = 1 1 + 4r x sin 2 ϕ 1 2 + 4r y sin 2 ϕ 2 где использованы обозначения (5.9). 155 5.2. Указание. Покажите, что λ = 1 − 2r x sin 2 ϕ 1 2 − 2r y sin 2 ϕ 2 2 1 + 2r x sin 2 ϕ 1 2 + 2r y sin 2 ϕ 2 2 5.4. τ ≤ 1 ν µ 1 h 2 x + 1 h 2 y ¶ Решение. Из разностного уравнения схемы Кранка — Николсон (5.7) следует равенство + r x + r y ) u n+1 j,m = (1 − r x − r y ) u n j,m + + r x 2 ¡ u n+1 j−1,m + u n+1 j+1,m ¢ + r y 2 ¡ u n+1 j,m−1 + u n+1 j,m+1 ¢ + + r x 2 ¡ u n j−1,m + u n j+1,m ¢ + r y 2 ¡ u n j,m−1 + u n j,m+1 ¢ + τ Пусть выполнено условие+ r y ≤ Тогда + r x + r y ) ¯ ¯u n+1 j,m ¯ ¯ ≤ (r x + r y ) ° °u n+1 ° ° C +ku n k C +τ max n kϕ n k C . Эта оценка справедлива во всех внутренних узлах, y m , t n+1 ¢ , т. е. при (x j , y m ) ∈ ω h , n = 0, . . . , M − Учитывая граничные условия, будем иметь + r x + r y ) ¯ ¯u n+1 j,m ¯ ¯ ≤ max Γ h |µ (x j , y m , t n )| + (r x + r y ) ° °u n+1 ° ° C . Эта оценка имеет место в граничных узлах, y m , t n+1 ¢ ∈ Поскольку максимальное значение выражений в левых частях неравенств) не превосходит максимума правых частей, то будет справедливым следующее неравенство + r x + r y ) ° °u n+1 ° ° C ≤ ≤ max µ max Γ h |µ (x j , y m , t n )| , ku n k C + τ max n kϕ n k C ¶ + (r x + Отсюда следует принцип максимума (5.15), поэтому выполнение условия) достаточно для устойчивости рассматриваемой схемы в равномерной норме 5.5. Указание. Покажите, что решение задается формулой, где 1 + τ νλ (k,l) . (13.29) 5.6. Указание. Покажите, что решение задается формулой, где − τ 2 νλ (k,l) 1 + τ 2 νλ (k,l) . (13.30) 5.7. Указание. Покажите, что для разности (5.42) решений нестационарной и стационарной задач выполняется оценка (5.45), при этом вычисляется по формуле (13.29) и max k,l ¯ ¯q (k,l) ¯ ¯ < 1. Отсюда следует сходимость при n → ∞, причем скорость сходимости тем больше, чем больше величина шага повремени. Указание. Покажите, что для разности (5.42) решений нестационарной и стационарной задач выполняется оценка (5.45), где вычисляется по формуле (13.30), ν = 1. Докажите, что max k,l ¯ ¯q (k,l) ¯ ¯ < 1. 6.2. Указание. Рассмотрим, например, уравнение (6.30) при некотором фиксированном m, m = 1, . . . , N y − 1. Запишем его в виде c j u n+1/2 j,m + b j u n+1/2 j+1,m = d j , j = 1, . . . , N x − где b j = r x 2 , c j = 1 + r x , r x = τ h 2 x , d j = −u n j,m − r y 2 ¡ u n j,m−1 − 2u n j,m + u n j,m+1 ¢ − τ Для решения трехточечного разностного уравнения (13.31) используем метод прогонки ξ j u n+1/2 j+1,m + η j , j = N x − 1, . . . , где a j ξ j−1 , η j = a j η j−1 − d j c j − a j ξ j−1 , j = 1, . . . , N x − 1. 157 Из граничного условия (6.32) получаем, что ξ 0 = 0, η 0 = u n+1/2 Проверьте, что достаточные условия (2.2.49)—(2.2.51) корректности и устойчивости метода прогонки выполняются. Указание. Схема (6.67) абсолютно устойчива, экономична, обладает свойством полной аппроксимации, погрешность аппроксимации имеет порядок O(τ + h 2 x + h 2 y ). Для горизонтальных прогонок шага) следует использовать граничные значения (E − τ Λ yy ) µ n+1 j,m − в узлах (x j , y m ) (j = 0, N x ; m = 1, . . . , N y − 1). Для вертикальных прогонок шага (6.70) — значения µ n j,m τ , j = 1, . . . , N x − 1; m = 0, В трехмерном случае схема реализуется дробными шагами (в которых τ /2 заменяется на τ , а f n+1/2 — на f n+1 6.5. Указание. Свойства схемы (6.74), (6.75) такие же, как у СПФ (6.67). При выполнении горизонтальных прогонок шага (следует использовать граничные значения µ n+1 j,m − τ Λ yy ¡ µ n+1 j,m − µ n j,m ¢ , j = 0, N x ; m = 1, . . . , N y − Обобщение для трехмерной задачи выглядит так (ср. с формулами СПН (6.43)—(6.45)) u n+1/3 − u n τ = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n + Λ zz u n + f n+1 ; (13.34) u n+2/3 − u n τ = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n+2/3 + Λ zz u n + f n+1 ; (13.35) u n+1 − u n τ = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n+2/3 + Λ zz u n+1 + f n+1 . (13.36) 6.6. Указание. Свойства ССП (6.76), (6.77) такие же, как у СПН (6.74), (6.75). Трехмерный аналог схемы (6.76), (6.77) имеет следующий вид u n τ = Λ xx u n+1/3 + Λ yy u n + Λ zz u n + f n+1 ; (13.37) 158 u n+2/3 − u n+1/3 τ = Λ yy ³ u n+2/3 − u n ´ ; (13.38) u n+1 − u n+2/3 τ = Λ zz ¡ u n+1 − Эта схема первого порядка аппроксимации по τ аналогична ССП (6.51)—(6.53), построенной на основе схемы Кранка — Николсон. 6.7. Указание. Используя перестановочность операторов и и исключив дробный шаг, покажите, что схема расщепления (6.78), (6.79) эквивалентна следующей схеме в целых шагах − τ Λ xx ¢¡ E − τ Λ yy ¢ u n+1 − u n τ = Λu n + f n+1 − τ Λ xx Λ yy u n . Поэтому схема расщепления имеет первый порядок аппроксимации пои не обладает свойством полной аппроксимации даже при f ≡ Пусть ¯ A = A+τ A x A y . Тогда ¯ A ∗ = A > 0. Факторизованный оператор = (E + τ A x )(E + τ A y ) также обладает этим свойством ˜ B ∗ = ˜ B > Кроме того = E + τ A + τ 2 A x A y > τ 2 A + τ 2 Поэтому, согласно теореме 2.7, схема расщепления абсолютно устойчи- ва. Для выполнения прогонки на первом шаге (6.78) необходимы граничные значения u n+1/2 и u n+1/2 N x ,m . Они определяются из второго уравнения) по формуле µ n+1 j,m − τ Λ yy µ n+1 j,m , j = 0, N x ; m = 1, . . . , N y − 1. (13.41) 6.8. Указание. Покажите, что после исключения дробных шагов схема предиктор-корректор (6.80)—(6.82) примет вид − τ 2 Λ xx ¢¡ E − τ 2 Λ yy ¢ u t = Λu n + |