08.05.01.01 Математика.compressed. Методические разработки по учебной дисциплине 15 4 Ресурсы информационнокоммуникационной сети Интернет
 Скачать 1.35 Mb.
|
|
6. Найти область сходимости степенного ряда 1 4 ) 2 ( n n n n x 7. Разложить функцию ) (x f вряд Маклорена, используя известные разложения. Указать область сходимости полученного ряда. x e x f 4 ) ( 8. Вычислить интеграл с точностью до . 3 , 0 0 2 d 2 x e x , 001 , 0 47 Расчетно-графическая работа №10 1. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять студентов. Вероятность того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную института, равна соответственно 0,5, 0,4 и 0,3. Какова вероятность того, что наудачу взятый студент попадет в сборную Если студент попал в сборную, ток какой из трех групп он вероятнее всего принадлежит 2. Фарфоровый завод отправил на базу 10 000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что на базу придут ровно три негодных изделия. 3. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 10 деталей окажется не более 1 нестандартной 4. Батарея дала 140 выстрелов по военному объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найдите наивероятнейшее число попаданий и его вероятность. 5. Вероятность выхода конденсатора из строя в течение времени t равна 0,25. Вычислите вероятность того, что за этот промежуток времени из имеющихся 150 конденсаторов выйдет из строя от 40 до 80 конденсаторов. 6. Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают три шара. X – число вынутых черных шаров. Составьте закон распределения дискретной случайной величины X, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения. 7. Случайная величина X задана функцией плотности распределения Найдите 1) функцию распределения и необходимые константы 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение 3) вероятность попадания случайной величины в интервал ( 4) постройте графики функций распределения и плотности распределения 8. Пусть установлено, что выход красителя стандартного цвета со специальным оттенком распределен нормально с математическим ожиданием 1 550 г и средним квадратическим отклонением 50 г. В скольких из 100 проверок вы ожидаете, что выход в среднем будет а) ниже 1 550 г б) выше 1 650 г в) между 1 500 и 1 600 г Расчетно-графическая работа № 11 Цель курсовой работы по математической статистике – обработать статистическую выборку ( 280 n ) из непрерывной генеральной совокупности, выдвинуть гипотезу о законе распределения представленной случайной величины и оценить гипотезу. Работа выполняется в следующей последовательности I. Построить интервальный вариационный ряди гистограмму. II. Найти числовые характеристики вариационного ряда и оценить их. III. Составить выборочную функцию распределения ) ( * x F и построить ее график. IV. Построить графики плотностей распределения ) ( x f и x F , выдвинуть гипотезу о виде распределения, записать параметры и гипотетические функции ) ( x f и x F . V. Проверить с помощью критерия согласия согласованность выборочного и теоретического распределений. VI. Построить график подобранной плотности распределения. Вариант № 1 9,097 0,871 5,407 3,931 2,228 1,130 3,046 7,767 2,421 7,602 2,447 9,580 1,177 9,460 6,577 7,151 3,670 3,479 2,776 7,306 6,773 4,025 8,992 8,354 4,340 6,618 8,335 5,321 5,665 2,256 5,427 2,667 8,061 4,691 2,952 4,162 9,505 7,839 1,871 4,627 2,273 5,516 3,713 3,210 3,507 0,684 8,407 2,904 3,660 6,394 6,073 5,968 8,743 5,627 6,209 9,962 7,326 2,192 2,731 4,079 8,208 9,900 8,278 0,447 9,727 2,180 6,241 0,106 6,615 9,333 3,937 8,341 5,352 5,615 5,381 9,052 3,956 3,322 7,076 2,860 7,146 6,086 5,273 8,631 2,806 8,537 8,137 3,101 0,700 4,579 1,245 8,298 9,373 1,380 9,865 1,441 2,170 1,343 6,451 7,014 8,311 9,204 6,792 5,685 9,966 6,451 3,242 9,777 1,264 0,265 8,487 9,966 0,173 9,145 8,274 2,893 9,182 2,438 6,540 4,390 5,740 5,924 1,383 7,995 8,368 0,678 5,311 3,441 9,401 7,375 8,202 4,824 0,283 3,229 6,419 3,121 0,360 3,764 6,520 2,748 5,106 6,586 6,984 6,855 4,720 9,367 6,411 1,034 9,033 9,204 1,621 0,135 9,660 5,561 4,093 7,875 5,335 3,964 8,180 3,924 1,368 2,655 9,545 8,164 9,161 9,376 7,240 6,798 6,719 0,480 7,880 0,011 6,094 9,549 5,349 5,849 8,704 7,722 4,459 0,025 4,454 2,895 2,021 6,330 5,612 0,010 3,754 7,331 1,356 9,593 0,470 0,057 3,957 6,751 1,973 6,346 2,510 7,799 2,112 2,555 5,161 6,715 3,423 8,304 5,778 8,606 4,799 8,958 5,980 2,373 0,626 1,524 8,482 9,759 4,816 8,655 2,685 2,981 8,188 0,441 8,451 8,111 2,619 8,692 8,993 6,418 0,416 3,374 8,833 0,837 2,334 5,916 7,747 9,770 2,687 9,049 6,647 5,394 4,991 7,878 6,341 8,667 6,561 1,877 5,087 8,230 5,522 2,479 5,906 5,369 8,651 5,974 9,575 2,250 3,501 6,369 4,237 5,600 3,240 7,934 7,572 3,021 7,638 2,093 2,470 4,137 8,648 8,357 2,126 3,738 4,017 3,994 5,517 9,143 7,350 2,115 9,179 8,931 8,092 2,859 Вопросы и задачи к экзаменационным билетами семестры) и к зачетной работе (II, III семестры) Линейная алгебра 1. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Приведите примеры. 2. Определитель квадратной матрицы. Его свойства. 3. Правила вычисление определителей второго и третьего порядков. Приведите примеры. 4. Алгебраические дополнения j i A . Союзная матрица. Понятие обратной матрицы 1 A , условие её существования, способ нахождения. 5. Матричный способ решения системы трехлинейных уравнений стремя неизвестными. 6. Правило Крамера решения системы трехлинейных уравнений стремя неизвестными. 7. Понятие ранга матрицы. Способы его нахождения. 8. Совместность системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Векторная алгебра и аналитическая геометрия 1. Линейные операции над векторами. Приведите примеры. 2. Линейная комбинация векторов. Линейно-зависимые, линейно-независимые векторы. 3. Базис на прямой – в 1 R , на плоскости – в 2 R ив пространстве 3 R . 4. Скалярное произведение двух векторов b a, . Его свойства. Условие ортогональности двух векторов. 5. Вычисление длины вектора, угла между двумя векторами, проекции вектора, направляющих косинусов через скалярное произведение. 6. Определение векторного произведения b a, и его свойства. 7. Механический смысл векторного произведения. 8. Геометрический смысл модуля векторного произведения. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника. 9. Смешанное произведение трёх векторов и его свойства. 10. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. 11. Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление объёмов параллелепипедов и пирамид через смешанное произведение векторов. 12. Условия компланарности, коллинеарности, ортогональности векторов. 13. Два способа задания прямой на плоскости. 14. Общее уравнение прямой 0 C By Ax . Нормальный вектор прямой. 15. Уравнение прямой с угловым коэффициентом b kx y . Геометрический смысл величин k, b. 16. Уравнение прямой в отрезках на координатных осях 1 b y a x . Геометрический смысл величин a, b. 17. Нахождение угла между двумя прямыми. Условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности двух прямых. 18. Направляющий вектор прямой. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости ив пространстве. 19. Два способа задания плоскости в пространстве. 20. Общее уравнение плоскости 0 D Cz By Ax . Геометрический смысл коэффициентов A, B, C. 21. Уравнение плоскости в отрезках на координатных осях 1 c z b y a x . Геометрический смысл величин a, b, c. 22. Нахождение угла между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности, условие параллельности двух плоскостей. 50 23. Уравнения прямой в пространстве. Канонические уравнения. Параметрические уравнения. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. 24. Кривые второго порядка окружность, эллипс, гипербола, парабола. Их определения и канонические уравнения. Введение в математический анализ 1. Понятие функции. Способы задания. Примеры. 2. Функции b x k y , c x b x a y 2 , x k y . Их основные свойства и графики. 3. Показательная и логарифмическая функции. Основные свойства и графики. 4. Тригонометрические функции. Их основные свойства и графики. 5. Обратные тригонометрические функции. Основные свойства, графики. 6. Понятие сложной функции. Примеры с нахождением области определения. 7. Понятие ограниченной функции. Какие из простейших элементарных функций ограничены сверху Ограничены снизу Ограничены и сверху, и снизу 8. Понятие предела функции для случая A x f x x ) ( lim 0 . Исходя из определения, доказать, что 7 2 2 9 4 lim 2 2 х х х x . Проиллюстрировать определение геометрически. 9. Понятие предела функции для случая A x f x ) ( lim . Исходя из определения, доказать что 2 2 3 lim х х x . Проиллюстрировать определение геометрически. 10. Определение предела функции для случая ) ( lim 0 x f x x . Исходя из определения, доказать что х 5 lim 3 . Проиллюстрировать определение геометрически. 11. Понятие числовой последовательности. Привести пример последовательности ограниченной сверху и пример ограниченной снизу последовательности. 12. Понятие предела числовой последовательности. Исходя из определения, доказать, что 5 5 2 lim n n n 13. Доказать существование n n n 1 1 lim 69. Основные теоремы о пределах функции. Одну из теорем доказать. 70. Понятие бесконечно малой при х х 0 величины. Докажите теорему х) – б.малая при х х 0 ) (х – б.большая при х х 0 ). 71. Свойства бесконечно малых величин. Одно (любое) докажите. 72. Докажите, что если х, то функция x f y ограничена в некоторой окрестности точки х 73. Докажите теорему ( A x f x x ) ( lim 0 ) ( x A x f ) ( , где х) б.малая при х х 0 ) 74. Докажите теорему об единственности предела функции. 75. Три определения непрерывной в точке х функции. Геометрическая иллюстрация. 76. Определение непрерывности на языке приращений. Исходя из определения, докажите, что функция 3 2 x x x f непрерывна в точке 1 0 x 77. Теорема о непрерывности сложной функции (с док-вом). 78. Использование непрерывности при вычислении пределов. Примеры. Виды неопределенных выражений. Примеры (без раскрытия неопределенности. 79. Первый замечательный предел и его следствия (с выводом. 51 80. Второй замечательный предел и его следствия (с выводом. Графики функций x e y , x y ln 81. Сравнение бесконечно малых величин. Перечень основных пар эквивалентных при х бесконечно малых (с обоснованием. 82. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке. Точки разрыва 1 рода. Геометрическая иллюстрация. 83. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке. Точки разрыва 2 рода. Геометрическая иллюстрация. 84. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке , . Геометрическая иллюстрация. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Понятие производной функции x f y в точке х. Механический смысл производной. Примеры. 2. Определение касательной. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции x f y в точке 0 0 0 , y x M 3. Изобразить схематично график функции в котором из следующих случаев 1) ) ( 0 / х f ) ( 0 / х f , 2) х, х, 3) х, 4) х. Получить производные для функций 3 x y , x y sin , x a y , x iog y a 5. Теорема о производной обратной функции. Получите производные функции x y arcsin , x y arctg 6. Теорема о производной сложной функции (с доказательством. Примеры. 7. Понятие дифференцируемой функции и дифференциала. Исходя из определения, найти дифференциал функции x x y 4 3 в точке 1 0 x . Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. 8. Теорема Ролля. Геометрическая иллюстрация. 9. Теорема Коши. Геометрическая иллюстрация. 10. Теорема Лагранжа. Геометрическая иллюстрация. 11. Правило Лопиталя. 12. Понятие локального максимума и локального минимума. Необходимое условие экстремума. 13. Первое достаточное условие экстремума функции. 14. Второе достаточное условие экстремума (с доказательством. Понятия выпуклости и вогнутости кривой в точке М. Достаточные условия выпуклости вогнутости) графика функции x f y в точке 0 0 0 , y x M 15. Изобразить схематично график функции ух) в каждом из следующих случаев 1. 0 x f , 0 x f b a x , . 3. 0 x f , 0 x f b a x , 2. 0 x f , 0 x f b a x , . 4. 0 x f , 0 x f b a x , 16. Асимптоты кривой и их нахождение. 17. Провести полное исследование и построить графики функций 1 2 х х y , х х y ln , 2 2 x xe y 52 Примеры задач 1. Определить, каким должно быть сопротивление r электронагревательного прибора, включенного в цепь тока с сопротивлением R, чтобы количество выделяемого тепла было максимальным. 2. Сопротивление балки прямоугольного сечения на сжатие пропорционально площади сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметра d, чтобы ее сопротивление было наибольшим й семестр Вопросы Функции нескольких переменных 1. Понятие функции нескольких переменных. 2. Понятие непрерывности функции многих переменных. 3. Частные производные. Геометрический смысл частных производных. 4. Понятие дифференциала функции многих переменных. Инвариантность форм первого дифференциала. 5. Производная по направлению и градиент. 6. Производные и дифференциалы высших порядков от функций нескольких переменных. 7. Уравнение касательной плоскости к поверхности в R 3 8. Отыскание экстремумов функций нескольких переменных. Неопределенный интеграл 1. Дайте определение первообразной функции. 2. Что называется неопределенным интегралом 3. Напишите таблицу основных интегралов. 4. Докажите простейшие свойства неопределенного интеграла. 5. Выведите формулу замены переменной в неопределенном интеграле. 6. Выведите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Укажите типы интегралов, берущихся по частям. 7. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей I, II, III, IV типов. 8. Сформулируйте теорему о разложении многочленов на простейшие множители. Изложите правило разложения правильной рациональной дробина простейшие дроби в случае действительных корней знаменателя и комплексно-сопряженных корней. 9. Изложите методы интегрирования тригонометрических функций. 10. В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании иррациональных функций Определенный интеграл 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 2. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический и механический смысл. 3. Назовите основные свойства определенного интеграла. 4. Выведите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. 5. Выведите формулу замены переменной в определенном интеграле. 6. Выведите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. 7. Назовите геометрические и механические приложения определенного интеграла. 8. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами. 9. Дайте определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Интегралы по фигуре 1. Понятие определенного интеграла по фигуре. Обозначения криволинейных, двойных, тройных и поверхностных интегралов. 2. Вычисление криволинейного интеграла при различных способах задания кривой. 3. Методы вычисления двойного интеграла. 53 4. Назовите геометрические и механические приложения криволинейных и кратных интегралов. Примеры задач 1. Найти упругую энергию пружины, растянутой на 10 см, если известно, что коэффициент с упругости пружины равен 1000 нм. 2. Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиусом |