да. Высшая математика. Методические рекомендации для их выполнения по дисциплине Высшая математика

• Название: Методические рекомендации для их выполнения по дисциплине Высшая математика
• Дата: 03.07.2022
• Размер: 0.54 Mb.
• Имя файла: Высшая математика.doc
• Тип: Методические рекомендации; #623363
• страница: 3 из 4

Раздел 3

[1]: гл.7, §§ 1-6.

[2]: гл.7, §§ 1-7; гл.9, §§ 1-3.

[3]: гл.7, §§ 1-4; гл.9.
Вопросы для самопроверки

1. 
   Что называется производной функции? Найдите производную функции у = х³ , пользуясь только определением производной.
   
2. 
   Что называется касательной к кривой в данной точке? Каков геометрический смысл производной? Как составить уравнение касательной?
   
3. 
   Каков механический смысл производной?
   
4. 
   Может ли функция иметь производную в точке разрыва?
   
5. 
   Будет ли функция непрерывна в точке, если она в ней дифференцируема?
   
6. 
   Перечислите правила дифференцирования и формулы дифференцирования основных элементарных функций.
   
7. 
   Производная сложной функции.
   
8. 
   Что называется дифференциалом функции? Его основные свойства.
   
9. 
   Каков геометрический смысл дифференциала функции в точке при заданном приращении аргумента?
   
10. 
    Какие свойства дифференциала функции Вы знаете?
    
11. 
    Сформулируйте теоремы Ролля и Лангранжа.
    
12. 
    Дайте определение возрастания (убывания) функции. В чем состоит необходимый и достаточный признак возрастания (убывания) функции?
    
13. 
    Дайте определение максимума (минимума) функции. В чем состоит необходимый признак экстремума?
    

После изучения этих тем можно приступить к выполнению второй задачи контрольной работы.

Задача 2

5х + 9

Исследовать функцию у = и построить ее график.



Решение

1. Область определения данной функции – вся числовая ось, то есть интервал

(-∞; +∞), так как выражение 5х + 9





в правой части аналитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.

2. Как элементарная функция данная функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, то есть в каждой точке числовой оси.

3. Найдем все асимптоты графика данной функции.

Вертикальных асимптот график данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняя непрерывна на всей числовой оси ([2], гл.8, § 7).

Для отыскания наклонной асимптоты при х→+∞ вычислим следующие два предела

k = lim y/x и b = lim (y – kx)

x→+∞ x→+∞

Если оба они существуют и конечны, то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой при х→+∞ графика функции у = f (x) ([2], гл. 9, § 7).
Прежде чем обращаться к вычислению указанных пределов, напомним тождество *

Приступая к вычислению первого предела, разделим числитель и знаменатель дроби на х² , затем воспользуемся равенством (*) и основными свойствами предела:
5x + 9 5 9 5 9

+ +

y 5x + 9 x² x x² x x² 5 ∙ 0 + 9 ∙ 0

k = lim = lim = lim = lim = lim =

x→+∞ x x→+∞ x√x² + 3 x→+∞ x√x² + 3 x→+∞ √x² + 3 x→+∞ √1 + ³/x² √ 1+ 3 ∙0

x² x

=0.
Для вычисления второго предела разделим числитель и знаменатель дроби на х и, действуя далее аналогично тому, как и при вычислении первого предела, получим:

5x + 9

5x + 9 x 5 + ⁹/_x 5 + 9 ∙ 0

b = lim (y – kx) = lim y = lim = lim = lim = =

x→+∞ x→+∞ x→+∞ √x² + 3 x→+∞ √x² + 3 x→+∞ √1 + ³/x² √1 + 3 ∙ 0

x

=5.

Следовательно, прямая у = 5 является наклонной асимптотой графика данной функции при х→+∞ (поскольку угловой коэффициент k этой прямой равен нулю, то такую наклонную асимптоту называют также горизонтальной при х→+∞).

Для отыскания наклонной асимптоты при х→-∞ вычислим пределы

k₁ = lim y/x и b₁ = lim (y – kx)

х→+∞ х→+∞

Если оба они существуют и конечны, то прямая y = k₁x + b₁ является наклонной асимптотой при х→-∞.

Для вычисления этих пределов используем те же приемы, что и выше, учитывая только на сей раз , что . Теперь, в частности, для отрицательных значений аргумента имеем:

√х² + 3 √х² + 3 х² + 3 3

= = -√ = - √ 1 +

х -√х х² х²
и следовательно, k₁ = 0, b₁ = -5




то есть наклонной (горизонтальной) асимптотой при х→-∞ на сей раз является прямая у = -5. Изобразим пунктиром найденные асимптоты на предварительном чертеже (рисунок2):

Рисунок 2

4. Найдем точки пересечения графика данной функции с осями координат и установим участки ее знакопостоянства.

Для отыскания абсцисс точек пересечения графика с осью ОХ решим уравнение

5х + 9

= 0



Его единственным решением, очевидно, является х = -1,8. Причем, в силу положительности знаменателя при любом х ясно, что

f (x) > 0 при х > -1,8

f (x) < 0 при х < -1,8

Таким образом, точка А (-1,8; 0) является единственной точкой пересечения графика функции с осью ОХ, а для х из интервалов (-∞; -1,8) и (-1,8; +∞) соответствующие точки графика функции расположены, соответственно, ниже и выше оси абсцисс.

Точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ОУ – это всегда точка (0; f(0)), если только нуль входит в область определения функции. В нашем случае такой точкой является

В (0; ⁹/_√3), где ⁹/_√3= ^9√3/₃ = 3√3 ≈ 5,20.

Полученные в результате исследования точки А и В изобразим на предварительном чертеже (рисунок 2)
5. Приступим теперь к отысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности.

Вычислим сначала ее производную:
5√х² + 3 – (5х + 9) х

√х² + 3 5(х² + 3) – х(5х + 9) 3(5 –3х)

у ^/ = = =

х² + 3 (х² + 3) √х² + 3 (х² + 3) ^½
Решая уравнение у^/ = 0, получим единственный корень производной: х = ⁵/₃ ≈ 1,67

Таким образом, необходимое условие экстремума ([2], гл.8,§ 4) выполняется лишь в точке

х = 5/3. Эта точка разбивает ось абсцисс на два интервала (-∞; ⁵/₃) и (⁵/₃; +∞)

знакопостоянства производной. Для определения знака производной в каждом интервале (пользуясь ее непрерывностью) определим знак производной в одной какой-либо точке каждого интервала. Так как 15 -3

f^/(0) = > 0 и f^/(2) = < 0

√27 √343

то заключаем, что функция возрастает на интервале (-∞; ⁵/₃) и убывает на интервале

(⁵/₃; +∞), и значит точка х = ⁵/₃ является точкой максимума данной функции ([2], гл.8 § 4). Значение функции в этой точке (то есть максимум функции) равно

5 ∙ ⁵/₃ + 9 52

f (⁵/₃) = = = √52 ≈ 7.21

√(⁵/₃)² + 3 √52

Отметим на чертеже вершину С (⁵/₃; √52) графика данной функции (рисунок 2).
6. Наконец, обратимся к исследованию данной функции на выпуклость, вогнутость и существование точек перегиба.

С этой целью найдем производную второго порядка данной функции:
-3(х² + 3)^3/2 – (5 – 3х) ∙ ³/₂ ∙ (х² + 3) ^½ ∙ 2х 3(х² + 3) ^½ [-(х² + 3) – х(5 – 3х)]

у ^/ = (у)^/ = 3 ∙ = 3 ∙

(х² + 3)³ (х² + 3)³
9(2х² – 5х – 3)

=

(х² + 3)^5/2
Решая затем уравнение у^// = 0, эквивалентное квадратному уравнению 2х² – 5х – 3 = 0, находим его корни: х₁ = -0,5; х₂ = 3, которые разбивают область определения функции на три интервала знакопостоянства второй производной: (-∞; -0,5), (-0,5; 3), (3; +∞). Для определения знака производной второго порядка в каждом из этих интервалов определим ее знак в какой-либо точке соответствующего интервала:

9 ∙ (2 + 5 - 3)

f^//(-1) = = ⁹/₈ > 0

√(1 + 3)⁵
9 ∙ (-3) 27 3

f^//(0) = = - = - = -√3 < 0

√3⁵ 9√3 √3
9 ∙ (32 – 20 – 3) 81

f^//(4) = = > 0

√19⁵ 19² √19

Из полученных неравенств вытекает, что график функции является выпуклым на интервале

(-0,5; 3) и вогнутым на интервалах (-∞; -0,5) и (3; +∞) ([2], гл.8 § 6), и значит точки

D (-0,5; f(-0.5)) и Е (3; f(3)), согласно определению ([2], гл.8 § 6), являются точками перегиба графика данной функции. Осталось найти ординаты этих точек:

-⁵/₂ + 9 13

f (-0,5) = = = √13 ≈ 3,61

√¹/₄ + 3 √13
15 + 9 24 12

f (3) = = = = 4√3 ≈ 6,93

√9 + 3 2√3 √3

Точки D и E также отметим на рисунке 2.

Учитывая результаты полного исследования, соединим непрерывной кривой все ранее отмеченные точки предварительного чертежа так, чтобы эта кривая слева и справа неограниченно приближалась к асимптотам у = -5 и у = 5, соответственно (рисунок3)


Рисунок 3. Искомый график функции.

Раздел 4

[1]: глава 9, §§ 1-5.

[2]: глава 10, §§ 1-9.

[3]: глава 10, §§ 1-6.

Вопросы для самопроверки

1. 
   Какая функция называется первообразной данной функции?
   
2. 
   Что называется неопределенным интегралом от данной функции?
   
3. 
   Запишите таблицу простейших интегралов.
   
4. 
   Как производится замена переменной в неопределенном интеграле?
   
5. 
   Как производится интегрирование по частям в неопределенном интеграле?
   
6. 
   Назовите основные свойства неопределенного интеграла.
   
7. 
   Что называется определенным интегралом от данной функции? Каков его геометрический смысл?
   
8. 
   Как связаны между собой понятия определенного и неопределенного интеграла?
   
9. 
   Сформулируйте теорему о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом.
   
10. 
    Перечислите основные свойства определенного интеграла.
    
11. 
    Дайте определение несобственных интегралов с бесконечным пределом интегрирования.
    

После разбора этих тем можно приступать к выполнению третьей задачи контрольной работы.
Задача 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² – 2х и у = -2х² + х.
Решение:

Чтобы наглядно представить фигуру, площадь которой надо найти, построим графики функций у = х² – 2х и у = -2х² + х в одной системе координат.


Рисунок 1
Для построения параболы у = х² – 2х определим координаты ее вершины и точек пересечения с осями координат. Выделив полный квадрат у = х² – 2х = (х – 1)² – 1, получим координаты вершины параболы А (1; -1). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при х², равный 1, положителен. Точки пересечения параболы с осью абсцисс найдем, решив квадратное уравнение х² – 2х = 0. Корни этого уравнения х₁ = 0; х₂ = 2. Получили точки О (0; 0); А (2; 0). Точка пересечения с осью ординат находится при х = 0. Эта точка совпадает с точкой А. Для построения второй параболы у =-2х² + х необходимо провести аналогичные действия. Получим вершину В (¹/₄; ¹/₈) и точки О (0; 0); В₁ ( ½ ; 0). Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при х² отрицателен. На рисунке 4 построены обе параболы. Заштрихованная часть плоскости является фигурой, площадь которой надо найти. Для определения абсцисс точек пересечения парабол решим уравнение х² – 2х = -2х² + х или

3х² – 3х = 0, откуда х₁ = 0; х₂ = 1.
Площадь фигуры вычислим по формуле

b

S = ∫ [ f (x) – g (x)] dx, где f (x) ≥ g (x) для всех x € [a; b]

a

(формула (11.21) §6 главы 11 [2] ).

В нашем случае а = х₁ = 0; b = x₂ = 1. На отрезке [0; 1] имеем: -2х² + х ≥ х² – 2х.

Поэтому f (x) = -2x² + x и g (x) = x² – 2x.

Следовательно,

1 1

S = ∫ [(-2x² + x) – (x² – 2x)] dx = ∫ (-3x² + 3x) dx

0. 
   0
   

Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

b b

∫ f (x) dx = F (x) = F (b) – F (a) ,

a a

где F (x) – первообразная подынтегральной функции f (x) (формула (11.15) § 4 главы 11 [2] ).
Окончательно

1 1

S = ∫ (-3x² + 3x) dx = (-x³ + ³/₂ x²) = -(1)³ + ³/₂ ∙ 1 – 0 = ½

0 0
Ответ: 0,5 кв.ед.