да. Высшая математика. Методические рекомендации для их выполнения по дисциплине Высшая математика

• Название: Методические рекомендации для их выполнения по дисциплине Высшая математика
• Дата: 03.07.2022
• Размер: 0.54 Mb.
• Имя файла: Высшая математика.doc
• Тип: Методические рекомендации; #623363
• страница: 2 из 4

Раздел V. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Тема 1. Функции нескольких переменных. Поверхности (линии) уровня

функции. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений. Частные производные, дифференцируемость, дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная сложной функции. Производная по направлению, градиент. Свойства градиента. Эластичность функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод исключения переменных. Метод множителей Лагранжа. Нахождение глобальных экстремумов дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве.
Раздел VI. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, их решения. Задача Коши. Общее и частное решения уравнения. Общий интеграл. Уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах: с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах,

линейные, Бернулли.

Тема 2. Линейные дифференциальные уравнения. Пространство решений линейного однородного уравнения, фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (на примере уравнений второго порядка). Характеристическое уравнение и фундаментальная система решений однородного уравнения. Построение частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида методом неопределенных коэффициентов.
Раздел VII. Ряды

Тема 1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Числовые ряды с неотрицательными членами: критерий и признаки сходимости (первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера в предельной форме, интегральный признак). Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Тема 2. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенного ряда на интервале сходимости. Ряды Тейлора (Маклорена). Разложимость в ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции с производными, ограниченными в совокупности. Разложения функций ex , sin x , cos x , (1+ x)a , ln(1+ x) в ряд Маклорена.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Указания составлены в соответствии с учебниками 1, 2, 3
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Уч. пособие для вузов. Ч.1,2.- М.: Издательство АСТ: Мир и Образование, 2016 – 816 с.

2. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник / Н.Ш. Кремер и др. - М.: Юнити, 2017. - 448 c.

3. Кремер, Н.Ш. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО БАКАЛАВРИАТА: Учебник и практикум / Н.Ш. Кремер. - Люберцы: Юрайт издат., 2012. - 909 c.

4. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин. - М.: Юнити-Дана, 2010. - 479 c.

5. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов.: Учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. - М.: Юнити-Дана, 2010. - 479 c.

6. Ляшко, И.И. АнтиДемидович. Т.1. Ч.1: Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. Введение в анализ. Справочное пособие по высшей математике / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач. - М.: Ленанд, 2019. - 238 c.

7. Шипачев, В.С. Математический анализ. Теория и практика: Учебное пособие / В.С. Шипачев. - М.: Инфра-М, 2018. - 416 c.

Раздел 1- 2

[1]: гл.6, §§ 1-6.

[2]: гл.5, §§ 1-7, гл.6, §§1-8.

[3]: гл.5, гл.6, §§1-5.
Вопросы для самопроверки

1. 
   Что называется функцией? Каковы способы ее задания?
   
2. 
   Что называется областью определения функции?
   
3. 
   Что называется графиком функции?
   
4. 
   Дайте определение конечного предела функции в точке. Дайте определения конечного предела функции при x →+∞ и при х→-∞.
   
5. 
   Как связаны понятия: «предел функции в точке» и «пределы функции в точке слева и справа»?
   
6. 
   Что такое бесконечно малая величина? Сформулируйте основные теоремы о бесконечно малых величинах.
   
7. 
   Что такое бесконечно большая величина и как она связана с бесконечно малой?
   
8. 
   Сформулируйте основные теоремы о пределах.
   
9. 
   Напишите первый и второй замечательные пределы. Какие теоремы о пределах используются при их вычислении?
   
10. 
    Дайте определения функции, непрерывной в точке и на отрезке.
    
11. 
    Сформулируйте основные теоремы о непрерывных функциях.
    
12. 
    Какие типы точек разрыва функции Вы знаете? Приведите примеры.
    

После получения этих тем можно приступить к выполнению первой задачи контрольной работы.
Задача 1

Найти предел:

3x² + 11x + 10 x – 1 ^{3 – x/2}

а ) lim ; г) lim ;

x→ -2 - x→∞ x + 3

x (sin 5x + sin 6x) lg (x + 1)

б ) lim ; д) lim ;

x→0 x→0 sin 2x
tg² 3x

в ) lim ; е) lim (e^3x – e^2x) ∙ ctg 4x

x→0 x→0
Решение:

а) Функция, предел которой при х→ -2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного ([2], гл.6. § 5 теорема4) в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х→ -2 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение , сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:

3х² + 11х + 10 (3х + 5)(х + 2)( )

= =

( )( )

(3х + 5)(х + 2)( ) (3х +5)(х + 2)( )

= .

(х + 7) – (3 – х) 2(х + 2)

Сокращая теперь числитель и знаменатель последней дроби на общий множитель х + 2, получим новую функцию (3х + 5)( )

у = ,

2

которая отличается от данной значением лишь в одной точке х = -2: данная функция в этой точке не определена, а новая определена и непрерывна как элементарная функция ([2], гл.5, § 3). Поскольку переопределение функции в одной точке не сказывается на значении предела и поскольку для функции, непрерывной в точке х₀ , ее предел при х→х₀ равен значению этой функции в точке х₀ ([2], гл.6, §7), то
_{ }.
б) И в этом примере начнем преобразования с умножения числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:

х(sin 5x + sin 6x) x(sin 5x + sin 6x)( )

= =

(1 + x ∙ tg x) – (1 - x ∙ tg x)
x(sin 5x + sin 6x)( ) (sin 5x + sin 6x)( )

= = =

2x ∙ tg x 2x ∙ tg x
sin 5x + sin 6x cos x

= ∙ ∙ ( ).

sin x 2

Заметим, что пределы в нуле второго и третьего сомножителей как непрерывных в нуле функций равны их значениям в этой точке:

cos x

lim = ½ ; lim ( ) = 2

x→0 2 x→0

Чтобы найти предел первого сомножителя, разделим его числитель и знаменатель на х:

sin 5x + sin 6x sin 5x sin 6x

+

sin 5x + sin 6x x x x

= =

sin x sin x sin x

x x
Предел sin x

lim = 1

x→0 x

есть первый замечательный предел ([2], гл.6, § 6). Пределы легко сводятся к нему. Например,
и после замены t = 5х :

sin 5x sin t

lim = lim = 1

x →0 5x x →0 t

sin 5x sin 6x

С ледовательно, lim = 5. Аналогично, lim = 6. Теперь с помощью теорем о пре-

x →0 x x →0 x

деле частного и суммы ([2], гл.6, § 5, теорема 2,4) вычисляем предел первого сомножителя:

sin 5x sin 6x

lim + lim

sin 5x + sin 6x x →0 x x →0 x 5 + 6

l im = = = 11

x →0 sin x sin x 1

lim

x →0 x

Воспользовавшись, наконец, теоремой о пределе произведения ([2], гл. 6, § 5, теорема 3), окончательно получаем:

sin 5x + sin 6x cos x

lim ∙ ∙ ( ) = 11∙ ½ ∙ 2 = 11

x →0 sin x 2
в) Избавляясь от иррациональности в знаменателе (так же, как и в предыдущих двух примерах) и применяя формулу 1 – cos 2x = 2sin²x, будем иметь:
tg²3x tg²3x ∙ ( )

lim = lim =

x →0 x →0 2 – (3 – cos 2x)
tg²3x tg²3x

= lim ( ) = lim ( )

x →0 cos 2x – 1 x →0 - 2sin²x

Предел в нуле функции у = найдем, воспользовавшись непрерывностью этой элементарной функции в нуле:

lim ( ) =

tg²3x

Предел в нуде функции у = найдем, разделив предварительно числитель и зна-

-2sin²x

менатель дроби в правой части равенства на х² и используя основные свойства предела :

tg²3x tg3x ² sin 3x ²
lim lim

tg²3x x² x →0 x x →0 x cos 3x

l im = - ½ ∙ lim = - ½ ∙ = - ½ ∙ =

x →0 -2sin²x x →0 sin²x sin x ² sin x ²

x² lim lim

x →0 x x →0 x

sin 3x 3 ²

lim ∙

x →0 3x cos 3x sin 3x 3 ² 3 ²

= - ½ ∙ = - ½ ∙ lim ∙ lim = - ½ ∙ 1 ∙ = - 9/2

1² x →0 3x x →0 cos 3x cos 0
Теперь, применяя теорему о пределе произведения, получим:

tg²3x tg²3x

l im = lim ∙ lim ( ) =

x →0 x →0 -2 sin² x x →0

г) Прежде всего преобразуем основание данной степенно-показательной функции:

х – 1 х + 3 – 3 – 1 (х + 3) – 4 4

= = =1-

х + 3 х + 3 х + 3 х + 3
Введем новую переменную





Заметим, что предел функции t при х→+∞ равен нулю, то есть t→0 при х→+∞.

Следовательно,

В конце мы воспользовались теоремой о пределе произведения, следствием теоремы о пределе сложной функции ([2], гл.6, § 5), вторым замечательным пределом ([2], гл.6, §6) и непрерывностью в нуле функции у = (1 + t)^9/2
д) Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на х:

lg (x + 1)

lg (x + 1) x

=

sin 2x sin 2x

x

и рассмотрим пределы в нуле числителя и знаменателя получившейся большой дроби:
lg (x + 1) 1

lim = lim tg (x + 1) = lim lg (x + 1)^{1/ x} = lg lim (x + 1)^{1/ x} = lg e

x →0 x x →0 x x →0 x →0
и sin 2x 2sin 2x sin 2x

lim = lim = 2 ∙ lim = 2 ∙ 1 = 2.

x →0 x x →0 2x x →0 2x
Используя, наконец, теорему о пределе частного, получим:

lg (x + 1) lg (x + 1)

lim

x x →0 x lg e

lim = =

x →0 sin 2x sin 2x 2

x lim

x →0 x

е) Представим выражение под знаком предела в виде
e^x – 1

cos 4x e^x – 1 x

( e^3x – e^2x ) ∙ ctg 4x = (e^2x e^x – e^2x) ∙ = e^2x ∙ ∙ cos 4x = e^2x ∙ ∙cos4x

sin 4x sin 4x sin 4x

x

Легко находим: lim e^2x = e⁰ = 1; lim cos 4x = cos 0 = 1;

x →0 x →0

sin 4x 4sin 4x sin 4x

l im = lim = 4 ∙ lim = 4 ∙ 1 = 4

x →0 x x →0 4x x →0 4x

е^х - 1

Д ля вычисления предела функции у = при x →0 введем новую переменную

х

t = e^x – 1 . Тогда е^х = t + 1, x = ln (1 + t) причем предел в нуле непрерывной функции t = e^x – 1 равен значению функции в нуле: е⁰ – 1 = 1 – 1 = 0, то есть t→0 при x →0. Следовательно,

lim 1

e^x – 1 t 1 x →0 1 1

l im = lim = lim = = = = 1

x →0 x x →0 ln (1 + t) x →0 1/t ln (1 + t) lim ln (1 + t)^{1/ t} ln lim (1 + t)^{1/ t} ln e

x →0 x →0
Применяя теоремы о пределе произведения и частного, окончательно получаем:

e^x – 1

x

lim e^2x ∙ ∙ cos 4x = 1∙ ¼ ∙ 1 = ¼

x →0 sin 4x

x