Экономическая безопасность математика. 05 МЕТЕМАТИКА Экон без 2019. Методические указания для практических занятий и самостоятельной работы с заданиями для расчетнографической работы. Для студентов для заочной формы обучения направления Экономическая безопасность Горбенко Е. Е луганск, Издво лнау, 2019. 48 с

• Название: Методические указания для практических занятий и самостоятельной работы с заданиями для расчетнографической работы. Для студентов для заочной формы обучения направления Экономическая безопасность Горбенко Е. Е луганск, Издво лнау, 2019. 48 с
• Анкор: Экономическая безопасность математика
• Дата: 29.01.2020
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: 05 МЕТЕМАТИКА Экон без 2019.doc
• Тип: Методические указания; #106393
• страница: 50 из 172

Задача 12. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

z = x² – y² + 8xy + 1

в замкнутом прямоугольнике –1  х  2, –1  у  1.

Р е ш е н и е. Найдём критические точки функции



Точка М(0; 0) принадлежит заданной области (рис. 7). Вычислим z(0; 0): z(0; 0) = 1.

Р и с. 7
Исследуем функцию на границе прямоугольника.

1) Уравнение участка границы АВ имеет вид х = –1, у  [–1; 1], следовательно, значение функции z на участке АВ, z_AB = 1 – y² – 8y + 1 = –y² – 8y + 2, y  [–1; 1].

Вычислим значение функции z_AB в её критических точках из отрезка [–1; 1] и на концах отрезка.

Так как = –2y – 8 = 0  y = – 4 [–1; 1], то

z_AB(–1) = – (–1)² – 8(–1) + 2 = 9 = z(–1; –1)

z_AB(1) = –7 = z(–1; 1).

Аналогично вычисляются значения функции в критических точках остальных участков границы прямоугольника.

2. 
   CD : x = 2, y  [–1; 1]
   

z_CD = 4 – y² + 16y + 1 = – y² + 16y + 5;

= – 2y + 16 = 0  y = 8  [–1; 1];

z_CD(–1) = –12 = z(2; –1);

z_CD(1) = 20 = z(2; 1).

2. 
   AD : y = –1, x  [–1; 2]
   

z_AD = x² – 1 – 8x + 1 = x² – 8x, x  [–1; 2];

= 2x – 8 = 0  x = 4  [–1; 2];

z_AD(–1) = 9 = z(–1; –1);

z_AD(2) = –12 = z(2; –1).

2. 
   BC : y = 1, x  [–1; 2]
   

z_BC = x² – 1 + 8x + 1 = x² + 8x, x  [–1; 2];

= 2x + 8 = 0  x = – 4  [–1; 2];

z_BC(–1) = –7 = z(–1; 1);

z_BC(2) = 20 = z(2; 1).

Среди получившихся значений функций в заданном прямоугольнике (то есть среди z(0; 0), z(–1; –1), z(–1; 1), z(2; 1), z(2; –1)) выбираем наибольшее и наименьшее

Z_нб = z(2; 1) = 20

Z_нм = z(2; –1) = –12.

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Дайте определение функции двух независимых переменных. Приведите примеры.
   
2. 
   Что называется областью определения функции двух независимых переменных? Каково геометрическое изображение функции двух переменных?
   
3. 
   Что называется частным и полным приращением функции двух независимых переменных?
   
4. 
   Сформулируйте определение предела функции двух переменных.
   
5. 
   Какая функция называется непрерывной в точке? В области?
   
6. 
   Дайте определение частных производных первого порядка функции двух переменных. Каков их геометрический смысл?
   
7. 
   Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?
   
8. 
   Как найти частные производные второго порядка функции двух переменных?
   
9. 
   Что является необходимым условием экстремума функции двух переменных?
   
10. 
    Сформулируйте достаточный признак экстремума функции двух переменных.
    

Т е м а 8. Неопределённый интеграл