Экономическая безопасность математика. 05 МЕТЕМАТИКА Экон без 2019. Методические указания для практических занятий и самостоятельной работы с заданиями для расчетнографической работы. Для студентов для заочной формы обучения направления Экономическая безопасность Горбенко Е. Е луганск, Издво лнау, 2019. 48 с
 Скачать 1.51 Mb.
|
|
Задача 16. Найти частное решение уравнение у + 4у = 4 sin 2x – 8cos 2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 0, у(0) = 0. Р е ш е н и е. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения уодн однородного уравнения и какого-либо частного решения  данного уравнения, то естьу = уодн + .Для нахождения уодн составим характеристическое уравнение k2 + 4 = 0, имеющее комплексные корни k1 = 2i и k2 = –2i. В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде уодн = ех(С1cos x + C2sin x), (4) где i – комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) = 0, = 2, имеем: уодн = С1cos 2 x + C2sin 2 x. Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей т е о р е м о й. Если правая часть неоднородного уравнения есть функция f (x) = ex(a cos x + b sin x) и числа i не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение = ех(А cos x + B sin x). Если же числа i являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение = хех(А cos x + B sin x). Применяя эту теорему при = 0, = 2, имеем:  = х(А cos 2x + B sin 2x). Дважды дифференцируя последнее равенство, находим : = (4В – 4Ах) cos 2x + (– 4A – 4B) sin 2x.Подставив в данное уравнение и , получим:4Вcos 2x – 4A sin 2x = 4 sin 2x – 8 cos 2x, откуда А = – 1, В = – 2. Следовательно, = – х (cos 2x + 2 sin 2x) иу = С1cos 2x + C2sin 2x – x (cos 2x + 2 sin 2x). Найдём у': у' = – 2С1sin 2x + 2 C2cos 2x – cos 2x – 2 sin 2x – x(– 2 sin 2x + 4 cos 2x). Используя начальные условия, получим систему  Следовательно, у =  sin 2x – x(cos 2x + 2 sin 2x) есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения. |