Методические указания для решения контрольных работ и система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10
 Скачать 0.75 Mb.
|
3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра алгебры и геометрии Е.М. МОЗАЛЕВА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Оренбург 2004 4 ББК 22.14 я7 М 74 УДК 511.14: 512.64: 514.742.2 (07) Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент Л.М. Невоструев М 74 Мозалева Е.М. Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра: Методические указания и контрольные задания.- Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004.– 60 с. Методические указания содержат основные теоретические сведения по следующим разделам: комплексные числа, линейная алгебра, векторная алгебра, также приведены иллюстративный материал и система замечаний учебно-методического характера, полезных для студентов. В конце каждой главы первого раздела помещены вопросы для самопроверки. Изложены методические указания для решения контрольных работ и система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10 вариантов. Методические указания предназначены для студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей. ББК 22.14 я7 © Мозалева Е.М., 2004 © ГОУ ОГУ, 2004 5 Введение Цель преподавания математики в вузе – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык. Теоретическая часть методических указаний включает следующие разделы: комплексные числа, элементы линейной алгебры, векторная алгебра. Методические указания имеют следующую структуру. В первом разделе приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, формулы, теоремы, правила, методы), также содержатся иллюстративный материал и система замечаний учебно-методического характера, полезных для студентов, изучающих курс линейной алгебры. В конце каждой главы раздела помещены вопросы для самопроверки. Во втором разделе изложены методические указания для решения контрольных работ. В третий раздел входит система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10 вариантов. Распределение вариантов контрольных работ и сроки их предоставления доводит до сведения лектор потока или учебная часть факультета. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради или на листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с СТП 101-00. Решения задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением. В проверенной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные преподавателем недочеты и учесть его рекомендации. Если же работа не зачтена, то она выполняется еще раз и отдается на повторную проверку. Зачтенные контрольные работы защищаются студентом перед сдачей зачета или экзамена. 6 1 Основные теоретические сведения Глава 1 Комплексные числа §1 Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме В школе рассматривают следующие числовые множества: R Q Z N ⊂ ⊂ ⊂ Во множестве действительных чисел не всегда выполнима операция извлечения квадратного корня (например, нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа). Расширим множество R до такого множества, в котором существует значение квадратного корня из любого отрицательного числа. Для этого введем понятие комплексного числа. Определение. Комплексным числом z называется число вида bi a z + = , где i R b a , , ∈ называется мнимая единица, определяемая равенством 1 2 − = i или 1 − = i Определение. Число a называется действительной частью комплексного числа z и обозначается z Rе a = ; число b называется мнимой частью z и обозначается Im z b = Если 0 = a , то число bi z = называется чисто мнимым, если 0 = b , то a z = – действительное число, поэтому множество R является подмножеством множества всех комплексных чисел С , то есть C R ⊂ . Определение. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно. Определение. Число bi a z − = , отличающееся от числа bi a z + = только знаком при мнимой части, называется сопряженным комплексному числу z Геометрически каждое комплексное число yi x z + = изображается точкой ( ) y x ; координатой плоскости ( ) xOy И наоборот. Определение. Координатная плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью и обозначается C Пример 1. Изобразить на комплексной плоскости следующие комплексные числа: ( ) ( ) 1 ; 3 3 3 ; 2 3 2 2 1 − → + − = → + = B i z A i z ( ) ( ) 3 ; 0 3 0 ; 4 4 4 3 − → − = → = D i z C z Рисунок 1 См. рисунок 1. 7 Так как на оси Ох откладываются действительные части комплексных чисел, поэтому ось Ох называется действительной осью, а на оси Оу – мнимые части, поэтому ось Оу называется мнимой осью. Замечание. Комплексные числа можно изображать и с помощью радиус– векторов, а именно: число yi x z + = изображается вектором OM , имеющим начало в точке ( ) 0 , 0 O и конец в точке ( ) y x M , . Определение. Запись числа z в виде bi a z + = называется алгебраической формой комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме Арифметические действия над комплексными числами i b a z 1 1 1 + = и i b a z 2 2 2 + = , определяются следующими равенствами: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) i b b a a i b a i b a 2 1 2 1 2 2 1 1 + + + = + + + ; (1.1) 2) ( ) ( ) ( ) ( ) i b b a a i b a i b a 2 1 2 1 2 2 1 1 − + − = + − + ; (1.2) 3) ( ) ( ) ( ) ( ) i a b b a b b a a i b a i b a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 + + − = + ⋅ + ; (1.3) 4) ). 0 ( , 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ≠ + − + + + = + + z i b a b a a b b a b b a a i b a i b a (1.4) Равенство (1.3) можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены 1 2 − = i . Чтобы получить равенство (1.4) нужно предварительно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. . 2 2 i b a − (Сделать самостоятельно). Пример 2. Произвести следующие действия над комплексными числами: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i 5 2 3 2 5 3 3 5 2 3 + − = + + − = + − + + ; 2) ( ) ( ) i i i i − = − + − − = + − − + 8 ) 3 2 ( )) 5 ( 3 ( 3 5 2 3 ; 3) ( ) ( ) i i i i i i − − = + − + − = + − ⋅ + 21 6 10 9 15 3 5 2 3 2 ; 4) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 34 19 34 9 34 19 9 3 5 6 10 9 15 3 5 3 5 3 5 2 3 3 5 2 3 2 2 i i i i i i i i i i i − − = − − = − − + − − − = − − + − − − + = + − + 5) Рассмотрим операцию извлечения квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме. Обозначим yi x bi a + = + . Найдем x и y по формулам: 2 ; 2 2 2 x b y b a a x = + + ± = 8 Пример 3. Извлечь квадратный корень из комплексного числа i 12 5 − − ; 3 2 3 4 12 2 2 , 2 4 2 144 25 5 12 , 5 12 5 1 1 1 1 1 i i y x x b y x x b a yi x i − = + ⇒ − = − = = ⇒ = ± = ± = + + − ± = − = − = + = − − 3 2 3 4 12 2 2 2 2 2 2 2 i i y x x b y x + − = + ⇒ = − − = = ⇒ − = Таким образом, ( ) 3 2 12 5 i i − ± = − − §2 Модуль и аргумент комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме Рассмотрим комплексное число i b a z + = Определение. Модулем комплексного числа z называется арифметическое значение квадратного корня из суммы квадратов действительной и мнимой части. Обозначается: 2 2 b a z r + = = (1.5) Определение. Аргументом комплексного числа z называется действительное число ϕ такое, что sin , cos r b r a = = ϕ ϕ (1.6) Обозначается: z arg = ϕ Выясним вопрос о том, для любого ли комплексного числа можно найти модуль и аргумент и сколькими способами. Если 0 0 0 0 0 = = ⇒ ⋅ + = = z i z Если 0 ≠ z , то z определяется единственным образом и представляет собой положительное действительное число. Если 0 = z , то 0 = r и формулы (1.6) для аргумента ϕ теряют смысл, поэтому для числа 0 = z аргумент не определен. Для числа 0 ≠ z аргумент всегда существует и имеет бесчисленное множество значений в силу периодичности функций ϕ cos и ϕ sin , и значения аргумента отличаются на число, кратное π 2 , т.е. в дальнейшем обозначение z arg = ϕ будем называть главным значением аргумента, а для всех остальных значений аргумента z получим равенство: . , 2 arg Z k k z z Arg ∈ + = π 9 Выясним геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа bi a z + = . Как уже отмечалось (§1), комплексному числу bi a z + = соответствует радиус–вектор OM . Учитывая формулу (1.5) и рисунок 2 получаем, что z представляет собой длину радиус–вектора OM Рисунок 2 Используя формулу (1.2.2) и рисунок 2 получаем, что аргумент числа z - это угол ϕ , образованный радиус–вектором OM и положительным направлением оси Ox , отсчитанный против часовой стрелки. В качестве аргумента комплексного числа можно рассматривать и отрицательное значение угла при противоположном направлении отсчета. За аргумент выбирают то значение ϕ , которое меньше по модулю. С помощью модуля и аргумента комплексное число bi a z + = можно представить в другой форме. Из (1.2.2) следует, что ϕ cos ⋅ = r a и , sin ϕ ⋅ = r b тогда ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = + = i r r bi a z ϕ ϕ sin cos ( ) ϕ ϕ sin cos i r z + = - тригонометрическая форма комплексного числа. Запишем число 0 в тригонометрической форме: ( ) ϕ ϕ sin 0 0 i сos + = Любое число, отличное от нуля, тоже можно представить в тригонометрической форме. Пример 4. Представить число i z + =1 в тригонометрической форме. У нас 1 , 1 = = b а , тогда 2 1 1 2 2 2 2 = + = + = b a r 4 2 1 sin 2 1 cos π ϕ ϕ ϕ = ⇒ = = = = r b r a 4 sin 4 cos 2 1 ⋅ + = + = π π i i z 10 Действия над комплексными числами в тригонометрической форме В тригонометрической форме удобно производить умножение, деление комплексных чисел, возведение комплексных чисел в натуральную степень и извлечение корней натуральной степени из комплексных чисел. Рассмотрим два комплексных числа в тригонометрической форме: ( ) ( ) sin cos , sin cos 2 2 2 2 1 1 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ ⋅ + = ⋅ + = i r z i r z 1) ( ) ( ) ( ) , sin cos 2 1 2 1 2 1 2 1 ϕ ϕ ϕ ϕ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ i r r z z 2) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , sin cos 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ≠ − ⋅ + − ⋅ = z i r r z z ϕ ϕ ϕ ϕ 3) ( ) N n i r z ∈ ⋅ + = , sin cos ϕ ϕ , тогда ( ) ϕ ϕ n i n r z n n sin cos ⋅ + = - формула Муавра. 4) ; 1 , , 2 , 1 , 0 , 2 sin 2 cos N n n k где n k i n k r z n n ∈ − = + ⋅ + + = K π ϕ π ϕ Вопросы для самопроверки 1 Что называется комплексным числом? 2 Каким равенством определяется мнимая единица? 3 Напишите алгебраическую форму комплексного числа и дайте название каждого члена в этой форме? 4 Как изобразить комплексное число i z − = на комплексной плоскости? 5 При каких значениях x и y комплексные числа i x z 2 + = и yi z 3 4 + = а) равны? б) сопряжены? 6 Как определяются арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме? 7 Дайте определения модуля и аргумента комплексного числа. Каков их геометрический смысл? 8 Напишите тригонометрическую форму комплексного числа. 9 Как умножить и разделить два комплексных числа в тригонометрической форме? 10 По какой формуле находится корень n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме? 11 Глава 2 Элементы линейной алгебры §1 Матрицы. Операции над матрицами Рассмотрим в общем виде систему m-линейных уравнений с n -неизвестными, где коэффициенты будут записываться с двумя индексами, первый обозначает номер уравнения, второй – номер неизвестной. = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 , (1.7) где n x x x ,..., , 2 1 - неизвестные, mn a a a ,..., , 12 11 - коэффициенты при неизвестных, m b b b ,..., , 2 1 - свободные члены. Определение. Матрицей называют таблицу чисел вида = mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Определение. Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n), т.е. nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 В противном случае матрица называется прямоугольной. Определение. Диагональ квадратной матрицы, состоящая из элементов nn a a a ,..., , 22 11 называется главной, а другая - побочной. Определение. Порядком квадратной матрицы называют число ее строк (или столбцов). Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, а именно 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = K K K K K K K О Определение. Матрица, по главной диагонали у которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной, обозначается: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = K K K K K K K K K Е Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, т.е. . nm mn a а = Пример 5. 7 5 3 5 1 4 3 4 2 - симметрическая матрица. Определение. Матрица называется ступенчатой, если выполняются два условия: 1) любая ее строка имеет хотя бы один неравный нулю элемент; 2) первый, отличный от нуля элемент ее каждой строки, начиная со второй строки, расположен правее первого, отличного от нуля элемента, предыдущей строки. Пример 6. − − = 3 0 0 0 2 1 0 0 4 2 1 0 5 3 2 1 А - ступенчатая матрица. Определение. Матрица Т А называется транспонированной по отношению к матрице А , если столбцы матрицы А являются строками матрицы Т А Пример 7. 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 = ⇒ = а а а а а а а а а А а а а а а а а а а А Т 13 Определение. Две матрицы называются однотипными, если они состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов. Тип матрицы определяется упорядоченной парой ( ) n m, , где m - число строк, n - число столбцов. Обозначается ( ) n m А , или ( ) n m А × Определение. Две матрицы А и В называются равными, если они однотипные и их соответствующие элементы равны. Элементарные преобразования строк (столбцов) матриц: 1. Транспозиция – перемена мест двух строк (столбцов) матрицы. 2. Умножение строки (столбца) на любое число, отличное от нуля. 3. Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число, отличное от нуля. 4. Вычеркивание нулевых строк (столбцов). Определение. Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными. Обозначаются: А В . С помощью элементарных преобразований любую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Пример 8. Привести матрицу к ступенчатому виду. ( ) ( ) 3 2 1 2 3 0 3 2 3 2 1 − ⋅ − ⋅ ( ) 4 8 4 0 6 1 0 3 2 1 − ⋅ − − − − − − 16 0 0 6 1 0 3 2 1 Операции над матрицами 1) Суммой двух однотипных матриц А (m×n) и В (m×n) называется матрица B A C + = , у которой элементом ij c является сумма соответствующих элементов матриц А и В , т.е. . ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , n j m i b a с ij ij ij = = + = Пример 9. 1 1 4 2 5 0 0 3 1 0 3 1 1 4 3 2 2 1 = − − + Аналогично определяется разность двух матриц. 2) Произведением матрицы А на число λ (или числа λ на матрицу А ) называется матрица В , которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на число λ , т.е. ij ij a b λ = Пример 10. 3 3 3 6 3 0 3 15 9 1 1 1 2 1 0 1 5 3 3 − − − − − − − = − ⋅ − Замечание. Операция умножения матриц определяется не для любых матриц А и В , а лишь для тех, которые удовлетворяют следующему условию: 14 число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В . 3) Произведением матрицы А типа ( ) n m × на матрицу B типа ( ) k n × называется матрица C типа ( ) k m × , элемент ij с которой равен сумме произведений элементов i -строки матрицы A на соответствующие элементы j -столбца матрицы B , т.е. ∑ = = = ⋅ = n j i ij n j m i b a с 1 ,..., 2 , 1 , ,..., 2 , 1 , α α α Пример 11. 1 11 6 1 9 4 ) 1 ( 3 1 4 5 3 ) 1 ( 4 2 3 0 4 ) 1 ( 2 1 1 5 2 ) 1 ( 1 2 2 0 1 1 5 2 1 1 0 3 4 2 1 ) 3 2 ( ) 3 2 ( ) 2 2 ( − = = − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ = − − ⋅ × × × Операции сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) С В А С В А С В А С В А ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + = + + - ассоциативность (сочетательный закон); 2. С В В А А В В А ⋅ ≠ ⋅ + = + - коммутативность (переместительный закон). Пример 12. = = 0 1 0 0 , 0 0 0 1 В А = ⋅ = ⋅ 0 1 0 0 , 0 0 0 0 А В В А , следовательно, произведение матриц свойством коммутативности не обладает. 3. ( ) С В С А С В А ⋅ + ⋅ = ⋅ + - дистрибутивность (распределительный закон); 4. ( ) В С А С В А С ⋅ + ⋅ = + ⋅ - дистрибутивность. Единичная матрица обладает следующим свойством: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет данную матрицу, т.е. А А E E А = ⋅ = ⋅ . При умножении матрица Е играет роль единицы. Аналогично: О А О О А = ⋅ = ⋅ , матрица О при умножении играет роль нуля. 15 |