Методические указания для решения контрольных работ и система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10
 Скачать 0.75 Mb.
|
Свойства определителей Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка: = 22 21 12 11 а а а а А (1.8) Определение. Определителем (детерминантом) 2-го порядка , соответствующим матрице (1.8), называется число, равное разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях, и обозначаемое символом det 21 12 22 11 22 21 12 11 a a a a a a a a A A ⋅ − ⋅ = = = = ∆ Числа 22 21 12 11 , , , a a a a называются элементами определителя. Пример 13. Вычислить определитель: 7 ) 2 ( 2 3 1 3 2 2 1 = − ⋅ − ⋅ = − Рассмотрим квадратную матрицу 3-го порядка: = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A (1.9) Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице (1.9), называется число, определяемое равенством: det 33 21 12 32 23 11 31 22 13 31 23 12 32 21 13 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = = = ∆ Чтобы запомнить это равенство используют правило треугольников (правило Саррюса): 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • «+» «-» Пример 14. Вычислить определитель: ( ) ( ) ( ) ( ) 12 8 2 12 6 2 2 2 0 3 3 2 1 1 2 3 ) 2 ( 0 ) 2 ( 1 2 1 3 2 0 2 3 1 2 1 2 3 − = + − − − = − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ = − − − Перейдем к выяснению понятия определителя любого порядка n, где 3 ≥ n Определение. Всякой квадратной матрице n-го порядка в соответствие ставится число, называемое ее определителем n-го порядка, т.е. nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 = ∆ Для вычисления определителя n-го порядка введем следующие понятия. Определение. Минором элемента ij a определителя называется определитель порядка 1 − n , полученный из данного после вычеркивания i - строки и j - столбца. Обозначается: ij M Пример 15. Найти минор элемента 23 a следующего определителя: 1 7 4 3 1 0 1 0 1 1 2 7 4 3 2 1 0 4 5 1 3 1 2 0 1 23 = ⇒ − − M Определение. Алгебраическим дополнением элемента ij a определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком j i + − ) 1 ( . Обозначается ij A , т.е. ij j i ij M A ⋅ − = + ) 1 ( Пример 16. Найти алгебраическое дополнение элемента 23 a определителя из примера 15. 17 1 7 4 3 1 0 1 0 1 ) 1 ( 23 3 2 23 − = ⋅ − = + M A Теорема 2.2.1: Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. 2 2 1 1 2 1 2 1 1 12 11 in in i i i i nn n n in i i n A a A a A a a a a a a a a a a ⋅ + + ⋅ + ⋅ = ∆ ⇒ = ∆ (1.10) Равенство (1.10) называется разложением определителя по элементам i- ой строки, аналогично можно получить разложение определителя по элементам любого столбца. Пример 17. Вычислить определитель: = − − − 5 0 2 1 0 1 1 3 2 1 0 1 4 3 2 1 (разложим определитель по элементам второй строки) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + − − + − = − − ⋅ − ⋅ + + − − ⋅ − ⋅ + ⋅ + − − − ⋅ − ⋅ = + + + 30 4 24 5 15 8 10 0 2 1 1 1 3 3 2 1 1 2 5 2 1 0 1 3 4 2 1 1 1 0 5 0 2 0 1 1 4 3 2 1 1 4 2 3 2 22 1 2 А ( ) 24 2 3 2 18 2 − = + + − ⋅ + Свойства определителей 1. Определитель не изменяется при замене всех его строк соответствующими столбцами (например, для определителя 2-го порядка): 22 12 21 11 22 21 12 11 а а а а а а а а = 18 Замечание. Это свойство позволяет утверждать, что строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. все утверждения справедливые для строк будут верны и для столбцов, поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать только для строк. 2. При перестановке двух строк (при транспозиции) определитель меняет знак на противоположный (например, для определителя 3-го порядка): 23 22 21 33 32 31 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 а а а а а а а а а а а а а а а а а а − = 3. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. Пример 18. Вычислить определитель: 0 9 3 3 5 2 2 17 1 1 = (у этого определителя 1-ый и 2-ой столбцы одинаковые). 4. Если некоторую строку определителя умножить на одно и тоже число с , то сам определитель умножится на это число с . Замечание. Это свойство чаще употребляется в следующей форме: если в некоторой строке определителя есть общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. 5. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. 6. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то он равен нулю. 7. Если каждый элемент i -ой строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, из которых один в i -ой строке имеет первое слагаемое, а другой – второе; элементы, стоящие на остальных местах у всех трех определителей одни и те же (например, для определителя 3-го порядка): 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 23 22 22 21 21 13 12 11 a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b а а а + = + + + Замечание. Это свойство справедливо, если каждый элемент i -ой строки есть сумма более чем двух слагаемых. 19 8. Величина определителя не изменится, если все элементы некоторой строки умножить на любое число, отличное от нуля, и прибавить к соответствующим элементам другой строки. Пример 19. Вычислить определитель: ( ) ( ) ( ) 2 1 7 1 2 6 4 1 2 2 2 1 1 7 1 2 1 6 4 1 3 0 0 0 1 2 2 2 1 5 0 2 1 0 1 1 3 2 1 0 1 4 3 2 1 1 2 − ⋅ − ⋅ = − − − − − ⋅ − ⋅ = − − − − − = − − − + ( ) ( ) ( ) 1 9 3 5 3 1 1 2 9 3 2 5 3 1 0 0 1 2 7 1 2 6 4 1 1 1 1 1 2 1 1 1 − ⋅ = − − ⋅ − ⋅ ⋅ = − − ⋅ = − − ⋅ − ⋅ ⋅ − = + ( ) 24 12 2 − = − ⋅ = (Сравнить ответ с примером 17). 9. Сумма произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю. ( Пример: 0 2 1 22 12 21 11 = ⋅ + + ⋅ + ⋅ n n A a A a A a .) Замечание. Определитель матрицы, состоящей из одного элемента, равен этому элементу, т.е. ( ) det 11 11 a A а А = ⇒ = Теорема 2.2.2 : Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей данных матриц, т.е. ( ) B A B A det det det ⋅ = ⋅ §3 Обратная матрица и ее существование Определение. Обратной для квадратной матрицы А называется квадратная матрица (обозначается 1 − А ), которая удовлетворяет равенствам: Е А А А А = ⋅ = ⋅ − − 1 1 , где Е - единичная матрица. Определение. Невырожденной матрицей называется квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной. 20 Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка: = nn n n n n a a a a a a а а а А 2 1 2 22 21 1 12 11 Определение. Матрицей, присоединенной к матрице А , называется матрица вида = nn n n n n A A A A A A А А А С 2 1 2 22 12 1 21 11 , где ij A - алгебраическое дополнение элемента ij a матрицы A . Заметим, что алгебраические дополнения элементов i -строки матрицы A расположены в j -столбце матрицы C . Теорема 2.3.1 : Если А - квадратная матрица n-го порядка и С – присоединенная к ней матрица, то A Е А С С А det = ⋅ = ⋅ , (1.11) где E – единичная матрица n-го порядка. Теорема 2.3.2 : Для того чтобы существовала матрица 1 − А , обратная к матрице A , необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной. Доказательство. 1) Необходимость: Дано: Существует 1 − А Доказать: А – невырожденная матрица. Так как существует 1 − A , то Е А А = ⋅ − 1 , следовательно, ( ) E A A det det 1 = ⋅ − . По теореме 2.2.2, получим E A A det det det 1 = ⋅ − . Так как 1 det = E , то получим, что 0 det ≠ A , значит, A - невырожденная матрица. 2) Достаточность: Дано: А – невырожденная матрица. Доказать: Существует 1 − А Так как А – невырожденная матрица, то 0 det ≠ A . Докажем, что матрица C A ⋅ det 1 является обратной к матрице А . Воспользуемся теоремой 2.3.1, разделив равенство (1.11) на число A det , неравное нулю. 21 Получим: E A C A C A A = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ det 1 det 1 или E A C A C A A = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ det 1 det 1 , следовательно, по определению обратной матрицы, матрица C A ⋅ det 1 является обратной для матрицы А , т.е. C A A ⋅ = − det 1 1 В процессе доказательства теоремы получили формулу для нахождения матрицы, обратной данной: det 1 2 1 2 22 12 1 21 11 1 ⋅ = − nn n n n n A A A A A A А А А A A Теорема 2.3.3 : Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица. Замечание. Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства: 1 , 1 1 tА de A t de = − 2 ( ) , 1 1 A A = − − 3 ( ) 1 1 1 − − − ⋅ = A B AB §4 Ранг матрицы Рассмотрим матрицу A типа ( ) n m × : 2 1 2 22 21 1 12 11 = mn m m n n a a a a a a a a a A Определение. Выберем в матрице A произвольно s различных строк и s различных столбцов, причем ( ) n m s , min 1 ≤ < , где ( ) n m , min - меньшее из 22 чисел m и n . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу порядка s . Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы А . Пример 20. Дана матрица − − − 8 6 3 7 1 7 2 1 4 0 5 4 3 2 1 Взяв первую и вторую строку, третий и четвертый столбец, получим матрицу второго порядка 2 1 4 3 , и ее определитель 2 1 4 3 является минором второго порядка для исходной матрицы. Аналогично можно получить и другие миноры второго порядка, а также миноры третьего порядка. Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю. Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы равен нулю. Обозначается ранг матрицы А следующим образом: ( ) A r Из определения ранга получаем следующие утверждения: 1. Ранг матрицы выражается целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел m и n , т.е. ( ) n m r , min 0 ≤ ≤ 2. Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица является нулевой. 3. Для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная. Пример 21. Найти ранг матрицы: 0 10 0 5 0 6 0 3 0 2 0 1 = А Среди миноров первого порядка этой матрицы (ее элементов) есть отличный от нуля, следовательно, 0 > r . Из элементов данной матрицы можно составить миноры второго и третьего порядков, но все они равны нулю, поэтому, ( ) 1 = A r Замечание. Указанный способ нахождения ранга матрицы не всегда удобен, так как часто связан с вычислением большого числа определителей. Теорема 2.4.1 : Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы. (То есть элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.) Эту теорему удобно использовать при вычислении ранга. 23 Итак, с помощью элементарных преобразований матрицу ( ) n m А × приводят к ступенчатому виду: B a a a a a a a a a a a a a a mn mr n r n r n r = 0 0 0 0 0 0 3 3 33 2 2 23 22 1 1 13 12 11 Так как ее минор с главной диагональю mr а а а ..., , , 22 11 равен произведению mr a a a ⋅ ⋅ ⋅ K 22 11 , отличному от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки), то по определению ранг матрицы В равен m (то есть числу ненулевых строк). Так как матрица В получена из матрицы А путём элементарных преобразований, то по теореме 2.4.1 m A r = ) ( Пример 22. Найти ранг матрицы: ( ) ( ) ( ) − − − − − − − ⋅ − − − − − − − ⋅ − ⋅ − − = 17 5 7 0 5 3 2 1 0 0 0 0 17 5 7 0 5 3 2 1 1 17 5 7 0 17 5 7 0 5 3 2 1 5 3 8 10 3 5 2 4 1 3 5 3 2 1 A Отсюда следует, что 2 ) ( = A r §5 Системы m–линейных уравнений с n–неизвестными. Метод Крамера для решения систем n–линейных уравнений с n–неизвестными Рассмотрим систему m –линейных уравнений с n –неизвестными: = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 , (1.12) где n x x x ,..., , 2 1 - неизвестные, mn a a a ,..., , 12 11 - коэффициенты при неизвестных, m b b b ,..., , 2 1 - свободные члены. Определение. Решением системы (1.12) называется упорядоченный набор действительных чисел ( ) n α α α ..., , , 2 1 таких, что при подстановке их вместо неизвестных n x x x ,..., , 2 1 все уравнения системы (1.12) обращаются в верные равенства. 24 Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение. Совместная система называется неопределённой, если она имеет бесчисленное множество решений. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Определение. Решить систему – это значит, выяснить совместна она или нет, и если да, то найти все её решения. Метод Крамера Рассмотрим систему n –линейных уравнений с n –неизвестными: = + + + = + + + = + + + n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 . (1.13) Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы (1.13). Обозначим его ∆ : nn n n n n a a a a a a а а а K K K K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 = ∆ и назовём его главным определителем системы (1.13). Предположим, что 0 ≠ ∆ и пусть система совместна и имеет следующее решение: ( ) n α α α ..., , , 2 1 Обозначим через j ∆ определитель, полученный из определителя ∆ заменой j - столбца столбцом из свободных членов системы (1.13). j ∆ называется побочным определителем системы (1.13), n j ,..., 2 , 1 = Можно доказать, что если главный определитель системы (1.13) отличен от нуля, то система (1.13) имеет единственное решение, а именно: ∆ ∆ = j j α - формулы Крамера ( ) n j ,..., 2 , 1 = Таким образом, по формулам Крамера можно решить систему, у которой число уравнений и число неизвестных совпадают, и главный определитель не равен нулю. Если 0 = ∆ , то систему нужно решать другим методом (методом Гаусса). 25 Пример 23. Решить в общем виде методом Крамера систему двух уравнений с двумя неизвестными: = + = + 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a 22 21 12 11 a a a a = ∆ - главный определитель. Пусть 0 ≠ ∆ , тогда система имеет единственное решение. 22 2 12 1 1 a b a b = ∆ , 2 21 1 11 2 b a b a = ∆ - побочные определители. Формулы Крамера имеют вид: ∆ ∆ = ∆ ∆ = 2 2 1 1 x x §6 Матричная запись системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Критерий совместности системы линейных уравнений Рассмотрим систему: = + + + = + + + = + + + n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1.14) Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и назовем ее основной матрицей системы (1.14); матрицу из неизвестных и матрицу из свободных членов: = nn n n n n a a a a a a а а а А 2 1 2 22 21 1 12 11 , = n x x x X 2 1 , = n b b b B 2 1 Пусть 0 det ≠ A 26 Имеем ( ) ( ) ( ) 1 1 , , × × × n n n n B X A , поэтому можно найти произведение: + + + + + + + + + = ⋅ n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a X A 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 Элементами этой матрицы являются левые части уравнений системы (1.14), поэтому на основании определения равенства матриц, имеем B X A = ⋅ (1.15) Уравнение (1.15) называется матричным уравнением. Таким образом, система (1.14) записана в виде одного матричного уравнения (1.15). Эта запись системы называется матричной. Воспользуемся обратной матрицей к матрице А для решения матричного уравнения (1.15) (она существует, так как 0 det ≠ A ). Умножив обе части равенства (1.15) слева на матрицу 1 − А , получим B A X А А ⋅ = ⋅ ⋅ − − 1 1 Так как X X E E A A = ⋅ = ⋅ − , 1 , то B A X ⋅ = − 1 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) Этот метод применим к любой системе линейных уравнений. Рассмотрим систему m -линейных уравнений с n -неизвестными: = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Составим А - основную матрицу системы и матрицу * А , которая получается из матрицы А приписыванием столбца из свободных членов, и назовем ее расширенной матрицей системы. 27 = mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 , = m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 * Суть этого метода состоит в том, что с помощью элементарных преобразований над строками, приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Далее этой матрице будет соответствовать система уравнений ступенчатого вида, из которого решение усматривается непосредственно. Теорема Кронекера – Капелли. (Критерий совместности системы линейных уравнений): Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то есть ( ) ( ) * A r A r = Следствия из теоремы Кронекера – Капелли: 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных ( ) n r = , то система имеет единственное решение, (то есть она определенная). 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных ( ) n r < , то система имеет бесчисленное множество решений, (то есть она неопределенная). В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные r n − неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, будем получать бесчисленное множество решений, каждое из которых будем называть частным решением системы. Вопросы для самопроверки 1 Что называется матрицей? 2 Напишите единичную матрицу третьего порядка. Приведите пример симметрической матрицы того же порядка. 3 Чем определяется тип матрицы? 4 Как определяются основные действия над матрицами? 5 Если матрицы А и B можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать? 6 Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков? 28 7 Дайте определения минора и алгебраического дополнения элемента определителя. 8 Может ли определитель изменить знак на противоположный при транспонировании матрицы? 9 Как изменится определитель третьего порядка, если его строки переставить следующим образом: первую– на место второй, вторую– на место третьей, третью – на место первой? 10 Запишите формулу для нахождения обратной матрицы к невырожденной матрице 3-го порядка. 11 Как проверить правильность нахождения обратной матрицы? 12 Может ли ранг матрицы быть равным нулю? меньше нуля? равным 2,5? 13 Дайте определение решения системы линейных уравнений. 14 Какую систему можно решать методом Крамера? Запишите формулы Крамера. 15 Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса. 16 Опишите матричный метод решения системы линейных уравнений. 17 Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли. 18 Может ли множество решений системы линейных уравнений состоять ровно из одного решения? из двух решений? из 17-ти решений? |