Методические указания для решения контрольных работ и система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10
 Скачать 0.75 Mb.
|
|
§5 Скалярное произведение двух векторов и его свойства Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, обозначенное b a ⋅ и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть ( ) b a b a b a , cos ⋅ = ⋅ Заметим, что 0 > ⋅b a , если ( ) 0 , cos > b a , то есть ( ) 2 , 0 π < ≤ b a ; 0 < ⋅b a , если ( ) 0 , cos < b a , то есть ( ) π π ≤ < b a , 2 ; 0 = ⋅b a , если либо 0 = a , либо 0 = b , либо ( ) 0 , cos = b a , то есть b a ⊥ . Таким образом, скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны, то есть b a b a b a ⊥ ⇔ = ⋅ ≠ ≠ 0 : 0 , 0 Теорема 3.5.1 : Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе, равно сумме произведений соответствующих координат, а именно: если { } { } k j i a a a a , , 3 2 1 ; ; = и { } { } k j i b b b b , , 3 2 1 ; ; = , то 3 3 2 2 1 1 b a b a b a b a + + = ⋅ Свойства скалярного произведения векторов 1. a b b a ⋅ = ⋅ (коммутативность); 2. ( ) ( ) R b a b a ∈ ⋅ = ⋅ λ λ λ , ; 3. ( ) c b c a c b a ⋅ + ⋅ = ⋅ + (дистрибутивность). 38 4. Скалярный квадрат вектора есть неотрицательное число, причем, скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой, то есть 0 2 ≥ = ⋅ a a a и 0 0 2 = ⇔ = a a Из свойства 4 следует, что 2 2 2 2 0 cos a a a a a a = ⇒ = ⋅ ⋅ = или 2 a a = Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Найдем угол ϕ между ненулевыми векторами a и b . Пусть { } { } k j i a a a a , , 3 2 1 ; ; = и { } { } k j i b b b b , , 3 2 1 ; ; = Так как ϕ cos ⋅ ⋅ = ⋅ b a b a , то b a b a ⋅ ⋅ = ϕ cos или 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 1 1 cos b b b a a a b a b a b a + + ⋅ + + + + = ϕ §6 Векторное произведение двух векторов и его свойства Определение. Аффинный репер ( ) 3 2 1 , , ; e e e O R называется правым, если из конца вектора 3 e поворот от вектора 1 e к вектору 2 e в плоскости этих векторов на меньший угол виден против часовой стрелки. В противном случае репер называется левым (рис. 12). Рисунок 12 Аналогично определяется правый (левый) ортонормированный репер. Заметим, что если векторы 3 2 1 , , e e e образуют правый (левый) репер, то, поменяв местами два вектора, получим левый (правый) репер. При круговой перестановке векторов получаем реперы одинаковой ориентации, то есть векторы 3 2 1 , , e e e ; 2 1 3 , , e e e ; 1 3 2 , , e e e имеют одинаковую ориентацию. 39 Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов a и b называется вектор, обозначаемый [ ] b a, или b a × и удовлетворяющий трем условиям: 1. [ ] ( ) b a b a b a , sin , ⋅ ⋅ = , 2. [ ] [ ] b b a a b a ⊥ ⊥ , , , , 3. [ ] b a b a , , , - одинаковой ориентации с векторами k j i , , , образующих правый репер ( ) k j i O R , , ; (рис. 13). Рисунок 13 Определение. Векторным произведением двух коллинеарных векторов называется нуль-вектор. Свойства векторного произведения векторов 1. Векторное произведение двух неколлинеарных векторов антикоммутативно, то есть [ ] [ ] a b b a , , − = 2. Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения, то есть [ ] [ ] ( ) R b a b a ∈ = λ λ λ , , или [ ] [ ] ( ) R b a b a ∈ = α α α , , 3. Векторное произведение векторов дистрибутивно, то есть [ ] [ ] [ ] c b c a c b a , , , + = + 4. Векторный квадрат вектора равен нуль-вектору, то есть [ ] 0 , = a a 5. Свойство выражает геометрический смысл модуля векторного произведения двух неколлинеарных векторов. Рассмотрим два неколлинеарных вектора b a, и отложим их от произвольной точки O (рис. 14). 40 Рисунок 14 Построим параллелограмм на этих векторах как на сторонах. Найдем площадь параллелограмма OACB : ( ) [ ] b a b a b a AOB OB OA S OACB , , sin sin = ⋅ ⋅ = ∠ ⋅ ⋅ = Таким образом, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, то есть [ ] b a S пар , = Если векторы a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе { } { } k j i a a a a , , 3 2 1 ; ; = , { } { } k j i b b b b , , 3 2 1 ; ; = , то их векторное произведение вычисляется по формуле: [ ] 3 2 1 3 2 1 , b b b a a a k j i b a = или [ ] = 2 1 2 1 1 3 1 3 3 2 3 2 ; ; , b b a a b b a a b b a a b a §7 Смешанное произведение трех векторов и его свойства Определение. Смешанным произведением трех векторов c b a , , называется число, обозначенное ( ) c b a , , и равное скалярному произведению вектора a на векторное произведение векторов b и c , то есть ( ) [ ] c b a c b a , , , ⋅ = Теорема 3.7.1 : Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Пусть относительно ортонормированного базиса { } k j i , , векторы c b a , , имеют координаты { } { } { } 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ; ; , ; ; , ; ; c c c c b b b b a a a a = = = Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе, равно определителю третьего порядка, составленному из их координат, то есть 41 ( ) 3 2 1 3 2 1 3 2 1 , , c c c b b b a a a c b a = Тогда условие компланарности трех векторов в координатной форме имеет вид: ( ) − c b a , , компланарны 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = ⇔ c c c b b b a a a Свойства смешанного произведения векторов 1. Смешанное произведение векторов не изменяется при круговой перестановке векторов-сомножителей, то есть ( ) ( ) ( ) a c b b a c c b a , , , , , , = = 2. Смешанное произведение меняет знак на противоположный, если поменять местами любые два сомножителя, то есть ( ) ( ) c a b c b a , , , , − = 3. Числовой множитель можно выносить за знак смешанного произведения, то есть ( ) ( ) ( ) R c b a c b a ∈ = λ λ λ , , , , , 4. Смешанное произведение векторов дистрибутивно, то есть ( ) ( ) ( ) d c b d c a d c b a , , , , , , + = + 5. Свойство выражает геометрический смысл модуля смешанного произведения трех некомпланарных векторов, а именно: модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, как на ребрах, то есть ( ) да пар V c b a − = , , ( ) c b a V V да пар призмы , , 2 1 2 1 = = − , 42 ( ) c b a V V да пар тетраэдра , , 6 1 6 1 = = − Замечание. Можно доказать, что [ ] [ ] c b a c b a ⋅ = ⋅ , , , то есть можно переставлять знаки скалярного и векторного произведения местами. Вопросы для самопроверки 1 Что называется вектором? 2 Какие векторы называются коллинеарными? 3 Какие два вектора называются равными? 4 Назовите правила сложения векторов. 5 Является ли вектор 2 1 a a a − = линейной комбинацией системы векторов 3 2 1 , , a a a ? 6 Дайте определение линейно зависимой системы векторов. 7 Верно ли утверждение: любые пять векторов в трехмерном пространстве линейно зависимы? 8 Что является базисом на плоскости; в пространстве? 9 Что называется координатами вектора в базисе { } 3 2 1 , , e e e ? 10 Как сложить, вычесть два вектора, заданных своими координатами в некотором базисе? Как умножить вектор на число? 11 Напишите необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Как оно записывается в координатной форме? 12 Какой базис в пространстве называется ортонормированным? 13 Дайте определение аффинной системы координат, прямоугольной декартовой системы координат. 14 Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца? 15 Запишите формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в отношении λ 16 Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам в ортонормированном базисе? 17 Напишите формулу для определения угла между двумя векторами. Может ли угол между векторами равняться: o o o o 270 ; 180 ; 45 ; 0 ? 18 Дайте определение векторного произведения двух неколлинеарных векторов. Перечислите основные свойства векторного произведения. 19 Чему равно смешанное произведение трех векторов, если известны их координаты в ортонормированном базисе? 20 Сформулируйте условие компланарности трех векторов. 21 Как найти объем тетраэдра, построенного на трех векторах как на ребрах? 43 2 Методические указания к выполнению контрольной работы Задание 1 1.1 Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произвести указанные действия: 3 3 2 2 3 i i + − Решение Представим числа i z 3 1 − = и i z 3 2 2 2 + = в тригонометрической форме. ( ) ( ) 2 3 sin 2 3 cos 3 sin cos 2 3 1 3 3 sin 0 3 0 cos , 3 3 0 , 3 , 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 + = + = = ⇒ − = − = = = = = = − + = + = − = = π π ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ i z i r z r b r a b a r b a ( ) 3 sin 3 cos 4 3 2 3 4 3 2 sin 2 1 4 2 cos , 4 3 2 2 , 3 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = = ⇒ = = = = = + = = = π π π ϕ ϕ ϕ i z r b a Найдем частное 2 1 z z 6 7 sin 6 7 cos 4 3 3 2 3 sin 3 2 3 cos 4 3 3 sin 3 cos 4 2 3 sin 2 3 cos 3 2 1 + = − + − = + + = π π π π π π π π π π i i i i z z Далее, применяя формулу ( ) , 2 sin 2 cos sin cos + + + = + n k i n k r i r n n π ϕ π ϕ ϕ ϕ где , 1 ..., , 2 , 1 , 0 − = n k получим 3 2 6 7 sin 3 2 6 7 cos 4 3 6 7 sin 6 7 cos 4 3 3 2 2 3 3 3 3 + + + = + = + − k i k i i i π π π π π π 44 Полагая 2 , 1 , 0 = k , получим три различных значения искомого корня: ; 18 19 sin 18 19 cos 4 3 : 1 ; 18 7 sin 18 7 cos 4 3 : 0 3 1 3 0 + = = + = = π π π π i z k i z k 18 31 sin 18 31 cos 4 3 : 2 3 2 + = = π π i z k 1.2 Решить уравнение: ( ) 0 7 1 2 1 2 = + + + − i x i x Решение ( ) ( ) ( ) 2 24 7 2 1 24 7 28 4 4 4 1 7 1 4 2 1 7 1 , 2 1 , 1 2 , 1 2 2 i i x i i i i i i D i c i b a − − ± + = − − = − − + + = + − + = + = + − = = Извлечем квадратный корень из комплексного числа i 24 7 − − по формулам: 2 , 2 ; 2 2 x b y b a a x yi x bi a = + ± ± = + = + У нас 24 , 7 − = − = b a ( ) ( ) 4 3 , 4 6 24 2 ; 3 ; 4 3 , 4 6 24 2 ; 3 ; 3 2 24 7 7 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 i i y x x b y x i i y x x b y x x + − = + = − − = = − = − = + − = − = = = ± = − + − + − ± = Итак, ( ) , 4 3 24 7 i i − ± = − − тогда ( ) ( ) 3 1 2 4 3 2 1 ; 2 2 4 3 2 1 , 2 4 3 2 1 2 1 2 , 1 i i i x i i i x i i x + − = − − + = − = − + + = − ± + = Можно сделать проверку по теореме Виета: a c x x и a b x x = ⋅ − = + 2 1 2 1 (самостоятельно). Ответ: 3 1 , 2 2 1 i x i x + − = − = 45 Задание 2 Даны две матрицы A и B . Найти: ; A B B A ⋅ ⋅ − − = − − = 2 0 3 5 8 1 2 0 1 , 5 7 4 1 5 3 0 1 3 B A Решение Определим тип матриц: ( ) ( ) , 3 3 3 3 × × B A Число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B , поэтому произведение B A ⋅ существует, и получим матрицу типа ( ) 3 3 × , а именно ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 17 56 4 33 40 5 1 8 4 2 5 5 7 2 4 0 5 8 7 0 4 3 5 1 7 1 4 2 1 5 5 2 3 0 1 8 5 0 3 3 1 1 5 1 3 2 0 5 1 2 3 0 0 8 1 0 3 3 0 1 1 1 3 2 0 3 5 8 1 2 0 1 5 7 4 1 5 3 0 1 3 − − − = = ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − + − ⋅ = = − − ⋅ − − = ⋅ B A Так как произведение матриц свойством коммутативности не обладает, то A B B A ⋅ ≠ ⋅ Число столбцов матрицы B равно числу строк матрицы A , поэтому A B ⋅ существует, и получим матрицу типа ( ) 3 3 × , а именно ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 17 17 17 76 1 10 13 5 5 2 1 0 0 3 7 2 5 0 1 3 4 2 3 0 3 3 5 5 1 8 0 1 7 5 5 8 1 1 4 5 3 8 3 1 5 2 1 0 0 1 7 2 5 0 1 1 4 2 3 0 3 1 5 7 4 1 5 3 0 1 3 2 0 3 5 8 1 2 0 1 − − − − = = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = = − − ⋅ − − = ⋅ A B Ответ: ; 17 56 4 33 40 5 1 8 4 − − − = ⋅ B A 10 17 17 17 76 1 10 13 5 − − − − = ⋅ A B 46 Задание 3 Вычислить определитель ∆ . 1 2 1 3 4 1 2 2 6 0 3 2 1 4 2 1 − − − − − = ∆ Решение Удобнее всего вычислять определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца, содержащим наибольшее количество нулей. Преобразуем определитель ∆ , используя свойство 8 §2 гл.2. Сделаем нулевыми все элементы определителя, стоящие в третьем столбце (кроме элемента, который стоит на пересечении с третьей строкой). Для этого умножим элементы третьей строки на минус 4 и сложим с элементами первой строки, и на 2 и сложим с элементами четвертой строки, получим: ( ) 7 0 3 7 4 1 2 2 6 0 3 2 15 0 6 9 2 4 1 2 1 3 4 1 2 2 6 0 3 2 1 4 2 1 − − − − = ⋅ − ⋅ − − − − − = ∆ Воспользуемся теоремой 2.2.1 и разложим ∆ по элементам третьего столбца, получим: ( ) 7 3 7 6 3 2 15 6 9 7 3 7 6 3 2 15 6 9 1 1 1 3 3 33 − − − = − − − ⋅ − ⋅ = ⋅ = ∆ + A Воспользуемся свойством 4 §2 гл.2 и вынесем общий множитель 3 из первой строки, получим: 7 3 7 6 3 2 5 2 3 3 − − − ⋅ = ∆ Вычислим определитель 3-го порядка, например, по правилу треугольников. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 74 3 28 54 105 84 30 63 3 7 2 2 3 6 3 7 3 5 7 6 2 3 2 5 7 3 3 3 = ⋅ = − − + + + − ⋅ = = ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ = ∆ Ответ: 222 = ∆ Задание 4 Исследовать систему на совместность и решить ее: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) с помощью обратной матрицы. 47 − = + − = + − = − + 1 2 1 2 8 3 2 z y x z y x z y x Решение Исследуем систему на совместность по теореме Кронекера-Капелли. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками: ( ) ( ) 1 2 1 8 1 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 1 8 2 1 1 1 2 1 1 3 2 * − ⋅ − ⋅ − − − − − − − − = A ( ) 7 6 2 1 3 7 0 1 1 0 1 2 1 2 6 1 1 1 0 3 7 0 1 2 1 − ⋅ − − − − − − ( ) ( ) ( ) 3 , 3 20 2 1 10 0 0 1 1 0 1 2 1 * = = − − − A r строк ненулевых числу A r Так как ( ) ( ) 3 * = = A r A r , следовательно, система совместна. Количество неизвестных r n = = 3 , следовательно, система определенна, то есть имеет единственное решение. а) метод Гаусса В процессе исследования системы на совместность мы привели расширенную матрицу * A к ступенчатому виду. Этой матрице будет соответствовать система уравнений ступенчатого вида, равносильная исходной, а именно: = − − = + = + − 20 10 2 1 2 z z y z y x Из последнего уравнения 2 − = z ; подставив это значение во второе уравнение, находим 0 = y ; подставляя найденные значения в первое уравнение, получим 3 = x Итак, решение системы имеет вид: − = = = 2 0 3 z y x 48 б) по формулам Крамера Запишем формулы Крамера: n j x j j ..., , 2 , 1 , = ∆ ∆ = , где ∆ - главный определитель системы, j ∆ - побочный определитель системы, получающий из определителя ∆ заменой j - столбца на столбец свободных членов системы. Найдем главный определитель системы ∆ , который состоит из коэффициентов при неизвестных. Вычислим его по правилу треугольников. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 2 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 3 2 − = ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − − − = ∆ Так как 0 ≠ ∆ , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Запишем и вычислим побочные определители системы: = − = ⋅ − − − − = ∆ 0 5 15 0 1 9 1 3 8 2 2 1 1 1 2 1 1 3 8 1 (разложим 1 ∆ по элементам третьего столбца) ( ) ( ) ( ) 30 3 9 5 1 3 1 9 5 5 15 1 9 1 1 3 1 − = − ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = + (определитель вычислен по свойствам 8, 4 §2 гл.2 и теореме 2.2.1). ( ) ( ) 1 0 1 2 3 6 1 1 1 2 1 0 0 1 3 6 2 2 1 1 1 1 1 1 8 2 1 2 2 − ⋅ = − − ⋅ − ⋅ = − − = − − = ∆ + (определитель второго порядка имеет две пропорциональные строки). ( ) ( ) 20 2 2 5 2 1 2 1 5 2 1 10 5 1 1 0 0 1 2 1 1 10 5 2 1 1 1 1 2 1 8 3 2 1 3 3 = + ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − = − − − = ∆ + Получим решение системы: − = − = ∆ ∆ = = − = ∆ ∆ = = − − = ∆ ∆ = 2 10 20 0 10 0 3 10 30 3 2 1 z y x 49 в) с помощью обратной матрицы Рассмотрим основную матрицу A из коэффициентов при неизвестных системы, матрицу X из неизвестных и матрицу B из свободных членов: 1 1 8 , , 2 1 1 1 2 1 1 3 2 − = = − − − = B z y x X A Запишем систему в матричном виде: 1 B A X B X A ⋅ = ⇒ = ⋅ − Найдем матрицу 1 − A , обратную к матрице A , по формуле , det 1 33 23 13 32 22 12 31 21 11 1 ⋅ = − A A A A A A A A A A A где ij A - алгебраическое дополнение элемента ij a матрицы A . Так как 0 10 det ≠ − = ∆ = A , то матрица A - невырожденная и для нее существует 1 − A Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A по формуле: ( ) ij j i ij M A ⋅ − = + 1 . Имеем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 2 1 3 2 1 , 5 1 1 3 2 1 , 1 1 1 2 1 1 , 3 1 1 1 2 1 , 5 2 1 1 2 1 , 1 2 1 1 1 1 , 1 1 2 1 3 1 , 5 2 1 1 3 1 , 3 2 1 1 2 1 3 3 33 3 2 23 3 1 13 2 3 32 2 2 22 2 1 12 1 3 31 1 2 21 1 1 11 − = − ⋅ − = = − ⋅ − = = − − ⋅ − = − = − ⋅ − = = − ⋅ − = − = ⋅ − = = − − ⋅ − = − = − − ⋅ − = − = − − ⋅ − = + + + + + + + + + A A A A A A A A A Тогда обратная матрица имеет вид: 7 5 1 3 5 1 1 5 3 10 1 1 − − − − − ⋅ − = − A Можно сделать проверку: E A A A A = ⋅ = ⋅ − − 1 1 (самостоятельно). Находим решение данной системы уравнений: = − ⋅ − − − − − ⋅ − = ⋅ = = − 1 1 8 7 5 1 3 5 1 1 5 3 10 1 1 B A z y x X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = = = ⇒ − = − ⋅ − = − ⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ − = 2 0 3 2 0 3 20 0 30 10 1 1 7 1 5 8 1 1 3 1 5 8 1 1 1 1 5 8 3 10 1 z y x Ответ: ( ) 2 ; 0 ; 3 − 50 Задание 5 Доказать, что векторы c b a , , образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе, если { } { } { } , 1 ; 3 ; 0 , 0 ; 2 ; 1 , 1 ; 0 ; 1 = − = = c b a { } 5 ; 7 ; 2 = d Решение Докажем, что векторы c b a , , образуют базис. Вычислим определитель, составленный из координат этих векторов. ⇒ ≠ = + − = − 0 1 3 2 1 3 0 0 2 1 1 0 1 векторы c b a , , - линейно независимы, значит, они образуют базис. Найдем координаты вектора d в базисе { } c b a , , . Разложим вектор d по векторам базиса { } c b a , , , получим: ( ) * c z b y a x d + + = Найдем коэффициенты разложения, то есть z y x , , , а они, в свою очередь, будут являться координатами вектора d в этом базисе (по определению). Для этого разложим все векторы по векторам ортонормированного базиса { } : , , k j i 3 , 2 , , 5 7 2 k j c j i b k i a k j i d + = − = + = + + = Далее, подставим все разложения в равенство ( ) * , имеем: ( ) ( ) ( ) k j z j i y k i x k j i + + − + + = + + 3 2 5 7 2 или ( ) ( ) ( ) 3 2 5 7 2 k z x j z y i y x k j i + + + − + + = + + Соберем коэффициенты при векторах k j i , , и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными: = + = + − = + 5 7 3 2 2 z x z y y x Решим систему методом Гаусса. ( ) ( ) 1 1 0 0 3 1 1 0 2 0 1 1 2 7 3 2 0 3 1 1 0 2 0 1 1 3 1 1 0 7 3 2 0 2 0 1 1 1 5 1 0 1 7 3 2 0 2 0 1 1 * − − ⋅ − − − − − ⋅ − = A Таким образом, ( ) ( ) 3 * = = A r A r , следовательно, система совместна и r n = = 3 , значит, она имеет единственное решение. Полученной расширенной матрице соответствует система уравнений: 51 = − = = ⇒ = = + − = + 1 2 4 1 3 2 z y x z z y y x Подставим z y x , , в равенство ( ) * , получим: { } 1 ; 2 ; 4 2 4 − = ⇒ + − = d c b a d в базисе { } c b a , , Ответ: { } 1 ; 2 ; 4 − = d Задание 6 Коллинеарны ли векторы 1 c и 2 c , построенные по векторам a и b , если { } { } 5 3 , 5 2 , 4 ; 3 ; 1 , 5 ; 0 ; 2 2 1 a b c b a c b a − = − = − = − = Решение Найдем координаты векторов 1 c и 2 c , используя свойства координат векторов (см. §3 гл.3). { } { } { } { } { } 30 ; 15 ; 1 20 ; 15 ; 5 10 ; 0 ; 4 4 ; 3 ; 1 5 5 ; 0 ; 2 2 5 2 1 − − = − − + − = − ⋅ − − ⋅ = − = b a c { } { } { } { } { } 37 ; 9 ; 7 25 ; 0 ; 10 12 ; 9 ; 3 5 ; 0 ; 2 5 4 ; 3 ; 1 3 5 3 2 − − = − + − = − ⋅ − − ⋅ = − = a b c То есть { } 30 ; 15 ; 1 1 − − = c и { } 37 ; 9 ; 7 2 − − = c Далее воспользуемся условием коллинеарности векторов в координатной форме, а именно: если координаты векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны. Так как 37 30 9 15 7 1 − ≠ − ≠ − − или 37 30 3 5 7 1 − ≠ − ≠ , то координаты непропорциональны, следовательно, векторы 1 c и 2 c неколлинеарны. Ответ: 2 1 c c Задание 7 Найти косинус угла между векторами AB и AC , если ( ) , 6 ; 4 ; 2 − − A ( ) ( ) 10 ; 8 ; 6 , 4 ; 2 ; 0 − − − C B Решение Косинус угла ϕ между векторами AB и AC вычисляется по формуле: ( ) , , cos cos AC AB AC AB AC AB ⋅ ⋅ = = ϕ где AC AB ⋅ - скалярное произведение векторов и AC AB , - длины векторов AB и AC . Найдем координаты векторов AB и AC : ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) { } { } 4 ; 4 ; 4 6 10 ; 4 8 ; 2 6 , 2 ; 2 ; 2 6 4 ; 4 2 ; 2 0 − − = − − − − − − − = − = − − − − − − = AC AB 52 Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений соответствующих координат, то есть ( ) ( ) ( ) 24 4 2 4 2 4 2 − = − ⋅ + ⋅ − + − ⋅ = ⋅ AC AB Найдем длины векторов как квадратный корень из суммы квадратов их координат, то есть ( ) ( ) ( ) 3 4 48 4 4 4 ; 3 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = − + + − = = = + − + = AC AB Тогда косинус угла ϕ равен 1 24 24 3 4 3 2 24 cos − = − = ⋅ − = ϕ Ответ: 1 cos − = ϕ Задание 8 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если ( ) 3 2 , , 1 , 2 ; 2 , 3 2 π = = = − = + = q p q p q p b q p a Решение Воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения двух векторов (см. свойство 5 §6 гл.3), а именно: площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна модулю их векторного произведения: [ ] b a S пар , = Применим свойства 3, 4, 1 §6 гл.3 и вычислим векторное произведение векторов a и b . [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] , 7 0 , 3 , 4 0 , 6 , 3 , 4 , 2 2 , 3 2 , q p q p q p q q p q q p p p q p q p b a − = − − − − = − + − = − + = Вычислим модуль векторного произведения векторов a и b , используя первое условие из определения векторного произведения, а именно: [ ] ( ) , sin , b a b a b a ⋅ ⋅ = Тогда, [ ] [ ] [ ] ( ) 3 7 2 3 14 3 2 sin 1 2 7 , sin 7 , 7 , 7 , = = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = − = = π q p q p q p q p b a S пар Ответ: ( ) 3 7 ед кв S пар = Задание 9 Компланарны ли векторы { } { } 6 ; 7 ; 4 , 3 ; 3 ; 3 − = − = b a и { } 1 ; 0 ; 3 − c ? Решение 53 Если векторы заданы своими координатами { } { } 3 2 1 3 2 1 ; ; , ; ; b b b b a a a a = = и { } 3 2 1 , , c c c c = , то условие компланарности векторов c b a , , имеет вид (см.§7 гл.3): c b a , , - компланарны ⇔ ( ) 0 , , = c b a ⇔ 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = c c c b b b a a a (Если определитель не равен нулю, то векторы некомпланарны.) Вычислим смешанное произведение векторов: ( ) ( ) ( ) 3 , 0 42 42 7 14 3 6 1 1 1 0 0 6 7 14 3 3 6 1 0 3 6 7 4 3 3 3 , , 3 3 ⋅ = − − = ⋅ − ⋅ − = − = − − − = + c b a тогда векторы b a, и c - компланарны. Ответ: c b a , , - компланарны. Задание 10 Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 4 3 2 1 , , , A A A A и его высоту, опущенную из вершины 4 A на грань 3 2 1 A A A , если ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ; 3 ; 4 , 1 ; 0 ; 3 , 2 ; 1 ; 4 , 0 ; 3 ; 1 4 3 2 1 − − A A A A Решение Сделаем чертеж: В соответствии с геометрическим смыслом модуля смешанного произведения векторов (см. свойство 5 §7 гл.3), имеем: ( ) , , 6 1 6 1 4 1 3 1 2 1 A A A A A A V V да пар тет = = − Найдем координаты векторов 4 1 3 1 2 1 , , A A A A A A { } { } , 2 ; 4 ; 3 0 2 ; 3 1 ; 1 4 2 1 − = − − − − = A A { } { } , 1 ; 3 ; 2 0 1 ; 3 0 ; 1 3 3 1 − = − − − = A A { } { } 5 ; 0 ; 5 0 5 ; 3 3 ; 1 4 4 1 − = − − − − = A A 54 Найдем смешанное произведение векторов 4 1 3 1 2 1 , , A A A A A A ( ) 15 40 30 20 45 5 0 5 1 3 2 2 4 3 , , 4 1 3 1 2 1 − = + − + − = − − − = A A A A A A 2 5 6 15 15 6 1 = = − = тет V (куб. ед.). С другой стороны, 3 2 1 3 2 1 3 3 1 4 4 A A A тет A A A тет S V H A H A S V ∆ ∆ = ⇒ ⋅ = Согласно геометрическому смыслу модуля векторного произведения векторов, имеем [ ] , 2 1 3 1 2 1 3 2 1 A A A A S A A A = ∆ Если векторы a и b заданы своими координатами { } { } 3 2 1 3 2 1 ; ; , ; ; b b b b a a a a = = , то [ ] ; ; , 2 1 2 1 1 3 1 3 3 2 3 2 = b b a a b b a a b b a a b a Вычисляем координаты векторного произведения: [ ] { } 1 ; 1 ; 2 3 2 4 3 ; 2 1 3 2 ; 1 3 2 4 , 3 1 2 1 − = − − − − = A A A A и его модуль: [ ] ( ) 6 1 1 2 , 2 2 2 3 1 2 1 = − + + = A A A A Тогда, 2 6 6 2 1 3 2 1 = ⋅ = ∆ A A A S Находим высоту H A 4 : 2 6 5 6 15 2 6 2 5 3 4 = = ⋅ = H A (ед.) Ответ: 2 5 = тет V (куб. ед.), 2 6 5 4 = H A (ед.). |