Методические указания для решения контрольных работ и система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10

• Название: Методические указания для решения контрольных работ и система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10
• Дата: 09.01.2022
• Размер: 0.75 Mb.
• Имя файла: metod498.pdf
• Тип: Методические указания; #326485
• страница: 3 из 5

Глава 3 Векторная алгебра
§1 Понятие вектора. Основные понятия. Линейные операции над
векторами и их свойства
Определение. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, одна из граничных точек которого принята за начало, а другая – за конец).
Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается АВ или одной буквой b
a, и т.д.
Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется
нулевым вектором (или нуль - вектором).
Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( || - значок коллинеарности).
Рисунок 3

29
На рисунке 3 AB ||CD , AB || MN , CD || MN , AB AM .
Среди коллинеарных векторов выделяют сонаправленные и противоположно направленные.
Определение. Коллинеарные векторы
AB и CD называются
сонаправленными, если лучи
[
)
AB и
[
)
CD сонаправлены или один из них содержит в себе другой. В противном случае векторы называются
противоположно направленными. Если AB и CD сонаправлены, то пишут
CD
AB
↑↑
. Если они противоположно направлены, то пишут
CD
AB
↑↓
На рисунке 3
MN
AB
↑↑
,
CD
AB
↑↓
,
MN
CD
↑↓
Принято нуль – вектор считать коллинеарным с любым другим.
Каждый вектор характеризуется своим направлением и длиной (модулем или абсолютной величиной).
Определение. Длиной вектора AB называется длина отрезка AB и обозначается AB .
Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется
единичным вектором и обозначается e .
Принято длину нулевого вектора считать равной нулю.
Определение.
Если векторы имеют одинаковую длину и противоположно направлены, то они называются противоположными
векторами. Вектор, противоположный вектору a , обозначается
( )
a
−
Определение. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.
Все нулевые векторы принято считать равными.
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами
Определение. Суммой двух векторов a и b называется вектор
b
a
+
, который направлен из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b отложен из конца вектора a .
Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» и «параллелограмма», проиллюстрированные на рисунках 4 и 5 соответственно.
Рисунок 4 Рисунок 5
Аналогично определяется сумма трех и более векторов. Суммой конечного числа векторов будет вектор, направленный из начала первого в

30
конец последнего вектора, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего (правило «многоугольника»).
Свойства операции сложения векторов
1)
a
b
b
a
+
=
+
(коммутативность),
2)
)
(
)
(
c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+
(ассоциативность),
3)
a
o
a
=
+
,
4)
o
a
a
=
−
+
)
(
Определение. Разностью двух векторов a и b называется такой вектор
b
a
x
−
=
, который в сумме с вектором b дает вектор a , т.е.
x
b
a
=
−
, если
a
x
b
=
+
Чтобы построить разность
b
a
−
двух векторов a и b , нужно отложить их из одной точки и вектор разности будет направлен из конца второго вектора
(вычитаемого) в конец первого вектора (уменьшаемого) (рис. 6).
Рисунок 6 Рисунок 7
Отметим, что
( )
b
a
b
a
−
+
=
−
, то есть разность
b
a
−
равна сумме двух векторов a и
( )
b
−
, где
( )
b
−
- вектор, противоположный вектору b (рис. 7).
Определение. Произведением
0
≠
a
на число
0
≠
α
называется вектор
a
b
α
=
и удовлетворяющий условиям:
1.
a
b
⋅
=
α
,
2.
a
b
↑↑
, если
0
>
α
,
a
b
↑↓
, если
0
<
α
Очевидно, что
0
=
b
, если
0
=
α
или
0
=
a
Из определения следует, что в результате умножения вектора на действительное число получается вектор, коллинеарный с данным, то есть
a
α
║ a .
Свойства умножения вектора на число
1.
( ) ( )
a
a
αβ
β
α
=
(
R
∈
β
α
,
),
2.
,
1
a
a
=
⋅
3.
(
)
a
a
a
β
α
β
α
+
=
+
(
R
∈
β
α
,
),
4.
(
)
b
a
b
a
α
α
α
+
=
+
(
R
∈
α
).
Теорема 3.1.1: Для любых двух коллинеарных векторов a и b , где
0
≠
a
, существует единственное число
α
такое, что
a
b
α
=

31
Из теоремы следует, что
a
b
α
=
- необходимое и достаточное условие коллинеарности двух
векторов a и b .
§2 Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Свойства линейно зависимой системы векторов
Пусть даны векторы
n
a
a
a
...,
,
,
2 1
и действительные числа
n
α
α
α
...,
,
,
2 1
Рассмотрим вектор
n
n
a
a
a
a
α
α
α
+
+
+
=
2 2
1 1
, который называется линейной
комбинацией векторов
n
a
a
a
...,
,
,
2 1
; действительные числа
n
α
α
α
...,
,
,
2 1
называются коэффициентами линейной комбинации.
Очевидно, что, выбирая другую совокупность чисел
n
β
β
β
...,
,
,
2 1
, получим другую линейную комбинацию тех же самых векторов:
n
n
a
a
a
b
β
β
β
+
+
+
=
2 2
1 1
То есть, можно построить бесчисленное множество линейных комбинаций одной и той же системы векторов.
Определение. Система векторов
n
a
a
a
...,
,
,
2 1
называется линейно
зависимой, если существуют действительные числа
n
α
α
α
...,
,
,
2 1
, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что линейная комбинация векторов
n
a
a
a
...,
,
,
2 1
с этими числами равна нулевому вектору, то есть:
0 2
2 1
1
=
+
+
+
n
n
a
a
a
α
α
α
. (1.16)
Если соотношение (1.16) выполняется только при условии
0 2
1
=
=
=
=
n
α
α
α
, то система векторов называется линейно независимой.
Свойства линейно зависимой системы векторов
1. Если один из векторов системы нуль-вектор, то вся система векторов линейно зависима.
2. Если один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов, то вся система векторов линейно зависима (справедливо и обратное утверждение).
3. Если часть системы векторов линейно зависима, то вся система векторов линейно зависима.
4. Система векторов, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
5. Система векторов, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
Замечание. Любые два неколлинеарных между собой вектора образуют линейно независимую систему векторов.
6. Система векторов, состоящая из трех векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда они компланарны.

32 7. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.
Вывод: система векторов, содержащая более чем три вектора в трехмерном пространстве, всегда линейно зависима.
§3 Базис системы векторов. Координаты вектора относительно
базиса. Ортонормированный базис
Пусть задана некоторая система векторов S . Число векторов в системе может быть конечным или бесконечным.
Определение. Подсистема S′ системы S называется максимально
линейно независимой подсистемой, если она удовлетворяет двум условиям:
1. S′ - линейно независима;
2. при добавлении к системе S′ любого вектора системы S она становится линейно зависимой.
Определение. Базисом системы векторов S называется любая максимально линейно независимая подсистема системы S .
Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятых в определенном порядке. Обозначается
{
}
2 1
, e
e
Базисом в пространстве назовем три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Обозначается
{
}
3 2
1
,
,
e
e
e
В трехмерном пространстве существует бесконечное множество базисов.
Рассмотрим в трехмерном пространстве некоторый базис
{
}
3 2
1
,
,
e
e
e
и любой вектор a . Если вектор a представлен в виде линейной комбинации векторов
3 2
1
,
,
e
e
e
, то есть
3 2
1
e
z
e
y
e
x
a
+
+
=
, то говорят, что вектор a разложен по векторам
базиса, а действительные числа
z
y
x
,
,
называются коэффициентами
разложения.
Определение. Координатами вектора a в базисе
{
}
3 2
1
,
,
e
e
e
называются коэффициенты разложения вектора по векторам базиса и обозначают:
{
}
{
}
3 2
1
,
,
,
,
e
e
e
z
y
x
a
Некоторые свойства координат векторов
1. Координаты суммы (разности) двух векторов, заданных своими координатами в некотором базисе, равны сумме (разности) соответствующих координат этих векторов, то есть, если
{
}
{
}
3 2
1
,
,
3 2
1
,
,
e
e
e
a
a
a
a
и
{
}
{
}
3 2
1
,
,
3 2
1
,
,
e
e
e
b
b
b
b
, то
{
}
{
}
3 2
1
,
,
3 3
2 2
1 1
,
,
e
e
e
b
a
b
a
b
a
b
a
±
±
±
=
±

33 2. Координаты произведения вектора на действительное число равны произведению этого числа на соответствующие координаты вектора в некотором базисе, а именно, если
{
}
{
}
3 2
1
,
,
3 2
1
,
,
e
e
e
a
a
a
a
, то
{
}
{
}
3 2
1
,
,
3 2
1
,
,
e
e
e
a
a
a
a
b
α
α
α
α
=
=
3. Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами в некотором базисе.
Пусть относительно базиса
{
}
3 2
1
,
,
e
e
e
даны векторы
{
}
3 2
1
,
,
a
a
a
a
,
{
}
3 2
1
,
,
b
b
b
b
и a ║b , тогда по необходимому и достаточному условию
a
b
α
=
или в координатной форме:





=
=
=
3 3
2 2
1 1
a
b
a
b
a
b
α
α
α
или
3 3
2 2
1 1
b
a
b
a
b
a
=
=
-
условие коллинеарности двух векторов в координатной
форме.
Рассмотрим в пространстве два несонаправленных вектора
b
a,
и отложим их от произвольной точки пространства
(
)
OB
b
OA
a
=
=
,
(рис. 8):
Рисунок 8
Определение. Углом между векторами a и
b
, если особо не оговорено, будем называть угол
AOB
, величина которого не превышает
π
(рис. 8).
Обозначается:
(
)
AOB
b
a
∠
=
;
Принято угол между сонаправленными векторами считать равным нулю, тогда для любых
a
и
b
:
( )
π
≤
≤
b
a
;
0
Определение. Два вектора
a
и
b
, называются
ортогональными
, если угол между ними равен o
90 и обозначаются
b
a
⊥

34
Принято нулевой вектор считать ортогональным с любым другим вектором.
Определение. Базис
{
}
3 2
1
,
,
e
e
e
трехмерного пространства называется
ортонормированным
, если выполняются два условия:
1. все векторы этого базиса единичные,
2. векторы базиса попарно ортогональны, то есть
3 1
,
3 2
2 1
,
e
e
e
e
e
e
⊥
⊥
⊥
Обозначается
{
}
k
j
i
;
;
Пусть относительно ортонормированного базиса
{
}
k
j
i
;
;
в пространстве произвольный вектор a имеет координаты
{
}
3 2
1
;
;
a
a
a
, тогда справедлива теорема 3.3.1.
Теорема 3.3.1
: Длина вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, равна квадратному корню из суммы квадратов его координат, то есть
2 3
2 2
2 1
a
a
a
a
+
+
=
Аналогично сказанному выше будет и на плоскости.
§4 Аффинная и прямоугольная декартова системы координат.
Простейшие задачи
Пусть в пространстве даны точка O и базис
{
}
3 2
1
,
,
e
e
e
Определение. Совокупность точки O и базиса
{
}
3 2
1
,
,
e
e
e
называется
аффинной системой координат в пространстве
(или
аффинным репером
), и обозначается
(
)
3 2
1
,
,
;
e
e
e
O
R
или Oxyz (рис. 9).
Точка O называется
началом координат.
Ось, проходящая через точку O и имеющая направление вектора
1
e , называется
осью
Ox
или
осью абсцисс.
Ось, проходящая через точку O и имеющая направление вектора
2
e , называется
осью
Oy
или
осью ординат.
Ось, проходящая через точку O и
Рисунок 9 имеющая направление вектора
3
e , называется
осью
Oz
или
осью аппликат. Оси
Oz
Oy
Ox
,
,
называются
осями координат.
Плоскости, проходящие через две оси координат, называются
координатными
плоскостями.
Они делят все пространство на восемь частей, называемых
октантами.
Пусть в пространстве задан аффинный репер
(
)
3 2
1
,
,
;
e
e
e
O
R
и любая точка M . Рассмотрим OM - радиус-вектор точки M и пусть
3 2
1
e
z
e
y
e
x
OM
+
+
=

35
Определение.
Координатами точки
M
относительно аффинного
репера
(
)
3 2
1
,
,
;
e
e
e
O
R
называются координаты радиус-вектора этой точки относительно базиса
{
}
3 2
1
,
,
e
e
e
и пишут
(
)
R
z
y
x
M
;
;
Простейшие задачи
1. Нахождение координат вектора, заданного координатами начала и конца.
Пусть в пространстве заданы аффинный репер
(
)
3 2
1
,
,
;
e
e
e
O
R
и точки
(
)
(
)
R
R
z
y
x
B
z
y
x
A
2 2
2 1
1 1
;
;
,
;
;
. Найдем координаты вектора
AB
относительно базиса
{
}
3 2
1
,
,
e
e
e
Чтобы получить координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала, то есть
{
}
{
}
3 2
1
,
,
1 2
1 2
1 2
;
;
e
e
e
z
z
y
y
x
x
AB
−
−
−
=
2. Деление отрезка в заданном отношении.
Определение. Точка M , принадлежащая прямой
2 1
M
M
,
делит отрезок
2 1
M
M
в отношении
λ
(
)
1
−
≠
λ
, если выполняется векторное равенство:
2 1
MM
M
M
λ
=
(рис.10).
Рисунок 10
Если
0
>
λ
,
то
2 1
MM
M
M
↑↑
и говорят, что точка M делит отрезок
2 1
M
M
внутренним образом в отношении
λ
.
Если
0
<
λ
,
то
2 1
MM
M
M
↑↓
и точка M лежит вне отрезка
2 1
M
M
, но на прямой
2 1
M
M
, тогда говорят, что точка M делит отрезок
2 1
M
M
внешним
образом в отношении
λ
.
Пусть относительно аффинного репера
(
)
3 2
1
,
,
;
e
e
e
O
R
даны точки
(
)
(
)
R
R
z
y
x
M
z
y
x
M
2 2
2 2
1 1
1 1
;
;
,
;
;
. Найдем координаты точки M , которая делит отрезок
2 1
M
M
в отношении
λ
. Обозначим
(
)
R
z
y
x
M
;
;
, тогда

36









+
+
=
+
+
=
+
+
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
1 1
1 2
1 2
1 2
1
z
z
z
y
y
y
x
x
x
-
формулы для нахождения координат точки, делящей
отрезок в отношении
λ
В частности, при
1
=
λ
(то есть точка M - середина отрезка
2 1
M
M
), имеем:









+
=
+
=
+
=
2 2
2 2
1 2
1 2
1
z
z
z
y
y
y
x
x
x
- формулы для нахождения координат середины отрезка.
Определение. Совокупность точки O и ортонормированного базиса
{
}
k
j
i
;
;
называется
прямоугольной декартовой системой координат
(или
ортонормированном репером
)
в пространстве
. Обозначается
(
)
k
j
i
O
R
,
,
;
(рис. 11).
Рисунок 11
Очевидно, что прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной системы координат, поэтому рассмотренные выше определения и простейшие задачи справедливы и в прямоугольной декартовой системе координат.
Дополнительно решается задача нахождения расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.
3. Нахождение расстояния между двумя точками.
Пусть относительно
(
)
k
j
i
O
R
,
,
;
заданы точки
(
)
R
z
y
x
A
1 1
1
;
;
и
(
)
R
z
y
x
B
2 2
2
;
;
. Найдем расстояние от точки A до точки B .
(
)
(
) (
) (
)
2 1
2 2
1 2
2 1
2
;
z
z
y
y
x
x
B
A
−
+
−
+
−
=
ρ

37
Замечание. Обозначим через
γ
β
α
,
,
углы между вектором
{
}
{
}
k
j
i
z
y
x
a
,
,
;
;
и осями координат прямоугольной декартовой системы координат, тогда
;
cos
,
cos
,
cos
a
z
a
y
a
x
=
=
=
γ
β
α
γ
β
α
cos
,
cos
,
cos
- называются
направляющими косинусами вектора
a
Аналогично определяются все понятия и формулы этого параграфа на плоскости.