Главная страница
Навигация по странице:

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.15.

  • Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.16.

  • Определение

  • Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.17.

  • Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен. Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)


    Скачать 1.04 Mb.
    НазваниеМетодические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)
    Дата05.06.2020
    Размер1.04 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаДифференциальное исчисление функций одной действительной перемен.doc
    ТипМетодические указания
    #128289
    страница5 из 7
    1   2   3   4   5   6   7

    1.9.Производные высших порядков.


    Производной второго порядка, или второй производной, функции называется производная от ее производной (которую называют первой производной).

    Обозначения второй производной:

    .

    Механический смысл второй производной.

    Если – закон прямолинейного движения точки, то – ускорение этого движения в момент времени x.

    Аналогично определяются производные третьего, четвертого и более высоких порядков:

    .

    Производная n –ого порядка обозначается и так: .

    Если функция задана параметрически: , то ее вторая производная определяется формулой:

    .

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.15. Найти для функции .

    Решение. Для того, чтобы вычислить значение третьей производной функции в точке , необходимо найти первую и вторую производные этой функции.

    .

    .

    . [Подставляем в найденное выражение третьей производной значение ]

    .

    Ответ: {-6}.

    Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.16. Найти вторую производную функции, заданной параметрически: .

    Решение. Найдем первую и вторую производные для функций .

    .

    .

    Воспользуемся формулой, приведенной выше:



    [воспользуемся тождеством, ] .

    Ответ: .

    2.ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

    2.4.Дифференциал функции.


    Пусть функция , определенная в некотором промежутке имеет производную в точке x.

    .

    Тогда можно записать , где при

    Следовательно:

    , где – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с .

    Определение: Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. или .

    Вычислим: . Следовательно

    (2.1)

    Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.17. Найти дифференциал данной функции:

    a) ,

    b)

    Решение: Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

    a) ;

    b)

    .

    Геометрический смысл дифференциала.

    Д ифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение .

    Действительно на рисунке PN это приращение функции, а PT это приращение по касательной, или дифференциал.

    Отметим, что может быть ,или – это зависит от направления выпуклости функции. тогда когда , т.е функция равна постоянной.

    Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

    1   2   3   4   5   6   7


    написать администратору сайта