Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен. Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)
![]()
|
2.5.Применение дифференциала в приближенных вычислениях.Формулу можно записать так: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это приближенное равенство применяется для приближенных вычислений , так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее приращения. Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.18. Вычислить приближенное значение ![]() Решение: Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляя найденные значения в формулу (2.2) получаем: ![]() ![]() Ответ: 0,77. 2.6.Уравнения касательной и нормали к графику функции.Уравнение касательной к линии ![]() ![]() ![]() Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Если в точке ![]() ![]() ![]() ![]() Угол между двумя пересекающимися кривыми ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.19. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции ![]() ![]() Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную данной функции: ![]() Найдем значение производной в точке ![]() ![]() Ответ: 2. Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.20. Найти угол между касательной к графику функции ![]() ![]() Решение. Тангенс угла между касательной к графику функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.21. Записать уравнение касательной к графику функции ![]() ![]() ![]() Решение. Найдем производную заданной функции и ее значение в данной точке: ![]() ![]() Найдем значение заданной функции в точке ![]() ![]() По формуле (2.3) запишем уравнение касательной: ![]() ![]() Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.22. Составить уравнение касательной и нормали к параболе ![]() ![]() Решение: Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу касания ![]() ![]() Для определения углового коэффициента касательной ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.23. Найти угол, под которым пересекаются прямая ![]() ![]() Решение: Для того, что бы найти точку в которой пересекаются кривые надо совместно решить уравнения параболы и прямой: ![]() ![]() ![]() ![]() Далее находим угловые коэффициенты касательных к прямой и параболе: ![]() ![]() Подставляя в найденные производные координаты точек пересечения, получаем угловые коэффициенты касательных: ![]() ![]() Согласно формуле (2.5) получим: ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() |