Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен. Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)
 Скачать 1.04 Mb.
|
|
Федеральное агентство по образованию ___________________________________ Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» _______________________________________ Методы решения задач: техника вычисления производных. Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 2009 УДК 517.22 (077) Методы решения задач: техника вычисления производных: Методические указания к решению задач / Сост.: М. Н. Абрамова, К. Г. Межевич, Е. А. Толкачева. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. 32 с. Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Производная функции». Предназначены для студентов-заочников всех специальностей. Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний © СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2009 Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших курсов самостоятельно научиться решать задачи по теме «Производная функции». Освоение этого раздела математического анализа на первый взгляд не вызывает затруднения у студентов. Но без четкого овладения именно техникой дифференцирования и понятием производной практически невозможно дальнейшее продвижение в освоении курса математического анализа. Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению понятия «производная функции» и основных правил дифференцирования. Во второй части указаний рассматривается применения производной к решению ряда наиболее часто встречающихся задач. Данные методические указания, хоть и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Производная функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» Д. Т. Письменного [1]. 1.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ1.4.Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.П  усть функция  определена в интервале (a;b) и непрерывна в точке  , и пусть  . В окрестности точки выбирается произвольная точка x. Тогда разность  называется приращением аргумента в точке . А разность  – приращением функции. На рисунке рассмотрим секущую, проведенную через точки M и N. Угол  называется углом наклона секущей, а  ее угловым коэффициентом.Из прямоугольного треугольника MPN  . Если точка N будет стремиться к M вдоль данной линии, то есть  , то секущая MN в пределе перейдет в касательную l, а угол наклона секущей – , в угол наклона касательной –  .Определение: Производной функции в точке называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е  .Геометрический смысл производной. Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции при  равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке  , т.е  .Физический смысл производной. Если  – закон прямолинейного движения точки, то  – скорость этого движения в момент времени t.Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной. Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением:  Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока:  В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением:  Если отношение  при  имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными. Односторонние производные в точке обозначаются соответственно  : – производная слева; – производная справа.Очевидно функция, определенная в некоторой окрестности точки , имеет производную  тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой, причем  .Если для некоторого значения x выполняется одно из условий  , то говорят, что в точке x существует бесконечная производная, равная соответственно  .Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Пример ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.1. Пользуясь определением производной найти производную функции  .Решение: Зададим аргументу данной функции приращение  . Тогда приращение функции  . Воспользуемся определением производной:  .Ответ:  . |