Дифференциальное исчисление функций одной действительной перемен. Методические указания к решению задач СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2009 удк 517. 22 (077)
 Скачать 1.04 Mb.
|
2.7. Правило Лопиталя – Бернулли.При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби  , числитель и знаменатель которой при  стремятся к нулю или бесконечности. Для нахождения таких пределов бывает удобно воспользоваться следующим правилом:Теорема. Если функции  и  дифференцируемы в окрестности точки  , обе или обращаются в нуль в этой точке, или стремятся к бесконечности и существует предел отношения  при , тогда существует предел отношения самих функций, равный предел отношения производных. .Замечание 1. Теорема верна и в том случае, когда функции и не определены в точке , но  или  .Замечание 2. Теорема верна и в случае  , т.е. когда  или  Другими словами правило Лопиталя – Бернулли применяется для раскрытия неопределенностей типа  и  .С помощью тождественных преобразований к основному виду и можно свести неопределенности других видов, таких как  .При выполнении соответствующих условий правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз. Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.24. Найти  .Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при  : . .Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли. [Подставим в получившиеся в числителе и знаменателе функции  ,  ] = –1.Ответ: {–1}. Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.25. Найти  .Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при  : . .Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли. ; [ Подставим в получившиеся в числителе и знаменателе функции  ,  ]. Так как неопределенность сохранилась, и функции получившиеся в числителе и знаменателе опять удовлетворяют условиям теоремы (2.1), то можно применить правило Лопиталя – Бернулли еще раз. .Ответ: {2}. Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.26. Вычислить  .Решение. Проверкой убеждаемся, что функции, стоящие в числителе и в знаменателе обращаются в нуль при  . Так ак они обе непрерывно дифференцируемы, то применяем правило Лопиталя – Бернулли: .Ответ:  .2.8.Формула Тейлора.Одной из важнейших формул математического анализа несомненно является формула Тейлора, которая широко применяется и как инструмент теоретического исследования и как средство решения многих практических задач. Формула Тейлора позволяет приближенно представить произвольную функцию в виде многочлена и вместе с тем позволяет оценить возникающую при этом погрешность  , которая может быть сделана сколь угодно малой.Вычисление значений функции при этом сводится к вычислению значений многочлена, что можно сделать, производя только простейшие арифметические действия. Теорема Тейлора. Функция  , дифференцируемая  раз в некотором интервале, содержащем точку , может быть представлена в виде суммы многочлена n-ой степени и остаточного члена , а именно: , где  – остаточный член в форме Пеано, бесконечно малая величина по сравнению с  .Напомним, что операция факториал определяется следующим образом:  ; ; ;0!=1 Если  , то формула принимает вид: и называется формулой Маклорена, однако для многих функций она неприменима, так как сами функции или их производные не существуют при (например:Ф  ).Напомним, что частный случай замены функции многочленом был уже рассмотрен в п (1.5), где рассматривалось применение дифференциала к приближенным вычислениям. Именно там функция заменялась многочленом первой степени, т.е линейной функцией. Однако эти результаты носят очень ограниченный характер, так как не дают возможность оценивать точность такой замены. Остаточный член в формуле Тейлора можно записывать и в других формах, например Коши или Лагранжа. И выбор формы его записи обычно диктуется условиями конкретной задачи. Пример ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.27. Разложить в ряд Маклорена функцию  .Решение. Вычислим значение данной функции и ее производных при : Формула Тейлора для некоторых элементарных функций. Список литературы 1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2006. Ч. 1. 2. Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. Содержание 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 4 1.4. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. 4 1.5. Техника дифференцирования основных элементарных функций. 6 1.6. Основные правила дифференцирования. 7 1.7. Дифференцирование показательно – степенной функции. 12 1.8. Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически. 13 1.9. Производные высших порядков. 15 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 16 2.4. Дифференциал функции. 16 2.5. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 18 2.6. Уравнения касательной и нормали к графику функции. 18 2.7. Правило Лопиталя – Бернулли. 22 2.8. Формула Тейлора. 24 Список литературы 3 Редактор И. Г. Скачек __________________________________________________________________ Подписано в печать Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 2.0. Гарнитура «Times». Тираж 250 экз. Заказ __________________________________________________________________ Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 197376, С.-Петербург, Проф. Попова, 5 |