Практикум по эконометрике. Эконометрика Рассчитать выборочные дисперсии эмпирических коэффи. Методические указания по решению типовых практических задач, в том числе с помощью пакета прикладных программ ms excel
 Скачать 2.55 Mb.
|
1.1. Линейная модель парной регрессии и корреляцииРассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду явной экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия имеет теоретическое уравнение вида: . (1.1) Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора . Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – b0и b1. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров b0и b1,при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна: . (1.2) Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2): Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров b0и b1 и приравнять их к нулю. Обозначим через , тогда: . (1.3) После несложных преобразований получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров b0и b1: (1.4) Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров b0и b1. Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.4): , , (1.5) где ; ; ; – ковариация признаков и , – дисперсия признака . Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности. Параметр b1 называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях. Формально b0 – значение при . Если признак-фактор не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена b0 не имеет смысла, т.е. параметр b0 может не иметь экономического содержания. 1.2. Нелинейные модели регрессии и их линеаризацияПри нелинейной зависимости признаков, приводимой к линейному виду, параметры множественной регрессии также определяются по МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходной информации, а к преобразованным данным. Так, рассматривая степенную функцию , мы преобразовываем ее в линейный вид: , где переменные выражены в логарифмах. Далее обработка МНК та же: строится система нормальных уравнений и определяются неизвестные параметры. Потенцируя значение , находим параметр b0 и соответственно общий вид уравнения степенной функции. Вообще говоря, нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Эта оценка определяется, как и в линейной регрессии, МНК, рассмотренным выше. . 1.4. Показатели качества уравнения парной регрессииУравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который рассчитывается по следующей формуле: (1.6) Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной. Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую уравнением регрессии, в общей дисперсии результативного признака: (1.7) где , . Соответственно величина характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов. После того как оценено уравнение линейной регрессии, проводится проверка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров. Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации: . (1.8) Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%. Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»: , где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов. Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.1 ( – число наблюдений, – число параметров при переменной ). Таблица 1.1
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера: . (1.9) Расчетное значение – критерия Фишера (1.9) сравнивается с табличным значением при уровне значимости α (зафиксированное значение ошибки I рода, состоящей в том, чтобы на основании данных выборочного исследования принять альтернативную гипотезу) и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение – критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом. Для парной линейной регрессии , поэтому . (1.10) Величина -критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле: . (1.11) Оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: Sb0, Sb1. Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле: = , (1.12) где – остаточная дисперсия на одну степень свободы. Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение -критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . Поскольку знак коэффициента регрессии указывает или на рост результативного признака при увеличении признака-фактора (), или на уменьшение результативного признака при увеличении признака-фактора (), или его независимость от объясняющей переменной () (рис. 1.3), то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, . Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть. Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра b1 Стандартная ошибка параметра определяется по формуле: = . (1.13) Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется -критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при степенях свободы. Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции Sr: . (1.14) Фактическое значение – критерия Стьюдента определяется как . Существует связь между – критерием Стьюдента и -критерием Фишера: . (1.15) В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при , т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки , т.е. , и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения : , где – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения: . (1.16) Доверительный интервал для условного математического ожидания рассчитывается по формуле: , где средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения определяется следующим образом: . |