Практикум по эконометрике. Эконометрика Рассчитать выборочные дисперсии эмпирических коэффи. Методические указания по решению типовых практических задач, в том числе с помощью пакета прикладных программ ms excel

• Название: Методические указания по решению типовых практических задач, в том числе с помощью пакета прикладных программ ms excel
• Анкор: Практикум по эконометрике
• Дата: 11.10.2019
• Размер: 2.55 Mb.
• Имя файла: Эконометрика Рассчитать выборочные дисперсии эмпирических коэффи.doc
• Тип: Методические указания; #89663
• страница: 9 из 20

2.3. Стандартные ошибки коэффициентов уравнений множественной линейной регрессии

Значения стандартных ошибок позволяет оценивать точность эмпирических коэффициентов уравнений регрессии и проверять выдвигаемые относительно них гипотезы.

Выборочные дисперсии эмпирических коэффициентов множественной регрессии можно определить следующим образом:

, j = 1,2,…,m(2.9)

Здесь z'jj - j-тый диагональный элемент матрицы Z^-1 = (X^TX)^-1.

Рассмотрим пример с m=1, где m - количество объясняющих переменных.

*=

Найдем величину обратной матрицы Z^-1­­. Она будет иметь следующий вид:

При этом:

= (2.10)

где m - количество объясняющих переменных модели.

В частности, для уравнения множественной регрессии:

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂

с двумя объясняющими переменными m=2 используются следующие формулы:

 

, ,

Здесь S_bj- стандартная ошибка коэффициента регрессии; S­₀- стандартная ошибка множественной регрессии (несмещенная оценка).

По аналогии с парной регрессией после определения точечных оценок bj коэффициентов βj (j=1,2,…,m) теоретического уравнения множественной регрессии могут быть рассчитаны интервальные оценки указанных коэффициентов.

Доверительный интервал, покрывающий с надежностью (1-α) неизвестное значение параметра βj, определяется как:

(2.11)

Далее, как и в случае парной регрессии, статистическая значимость коэффициентов множественной регрессии с m объясняющими переменными проверяется на основе t-статистики:

(2.12)

имеющей в данном случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы . При требуемом уровне значимости наблюдаемое значение t-статистики сравнивается с критической точной распределения Стьюдента.

В случае, если , то статистическая значимость соответствующего коэффициента множественной регрессии подтверждается. Это означает, что фактор Xj линейно связан с зависимой переменной Y. Если же установлен факт незначимости коэффициента bj, то рекомендуется исключить из уравнения переменную Xj. Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной.

2.4. Проверка общего качества уравнения регрессии

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии. Для этой цели, как и в случае парной регрессии, используется коэффициент детерминации R², который в общем случае рассчитывается по формуле:

(2.13)

Коэффициент детерминации характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Для множественной регрессии коэффициент детерминации является неубывающей функцией от числа объясняющих переменных. Добавление новой объясняющей переменной никогда не уменьшает значение R².

Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы. Вводится так называемый скорректированный (исправленный) коэффициент детерминации:

(2.14)

Соотношение может быть представлено в следующем виде:

(2.15)

Из чего следует, что < для m > 1. С ростом значения m скорректированный коэффициент детерминации растет медленнее, чем обычный коэффициент детерминации . Другими словами, он корректируется в сторону уменьшения с ростом числа объясняющих переменных. Нетрудно заметить, что = только при . может принимать и отрицательные значения (например, при ).

Доказано, что увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда t – статистика для этой переменной по модулю больше единицы. Поэтому добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.

2.5. Оценка общего качества уравнения множественной регрессии

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью -критерия Фишера:

, (2.16)

где – коэффициент детерминации; – количество объясняющих переменных X (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов); n – число наблюдений.

Частные -критерии F_xi, к примеру в случае m=2, оценивают статистическую значимость присутствия факторов х₁ и х­₂ в уравнении множественной регрессии, целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого, т.е. F_x1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора x₁ после того, как в него был включен фактор x₂. Соответственно F_x2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора х₁. Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут вводиться в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности его введения в модель.

Частный -критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом. В общем виде для фактора частный -критерий определится как

, (2.17)

где – коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором факторов, – тот же показатель, но без включения в модель фактора , – число наблюдений, – число параметров в модели (без свободного члена).

Фактическое значение частного -критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и . Если фактическое значение превышает , то дополнительное включение фактора в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии при факторе статистически значим. Если же фактическое значение меньше табличного, то дополнительное включение в модель фактора не увеличивает существенно долю объясненной вариации признака , следовательно, нецелесообразно его включение в модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

Для двухфакторного уравнения частные -критерии имеют вид:

, . (2.17а)

С помощью частного -критерия можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор вводился в уравнение множественной регрессии последним.