Практикум по эконометрике. Эконометрика Рассчитать выборочные дисперсии эмпирических коэффи. Методические указания по решению типовых практических задач, в том числе с помощью пакета прикладных программ ms excel
 Скачать 2.55 Mb.
|
2.6. Решение типовых задачЗадача 2.6.1. Рассмотрим в качестве примера множественной регрессии двухфакторную линейную модель. Исходные данные представлены в таблице 2.6.1. Таблица 2.6.1
Необходимо: по МНК определить параметры множественной линейной регрессии ; оценить статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессииb1, b2; сравнить влияние факторов на результат при помощи средних коэффициентов эластичности; построить 95-% доверительные интервалы для найденных коэффициентов; вычислить коэффициент детерминации R2 и оценить его статистическую значимость при α = 0,05; Проверить качество построенного уравнения регрессии с помощью F-статистики Фишера. Оценить целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого с помощью частных F-статистик Фишера. Решение: Определим по МНК коэффициенты уравнения регрессии. Для этого нам необходимо рассчитать следующую таблицу: Для вычисления коэффициентов уравнения регрессии необходимо определить значения 6-ти сумм: 1. == 2. == 3. = = 4.== 5. = = 6. = = Подставим полученные значения 6-ти сумм в формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии (m=2): или ==0,072; ==343,293; == -190,63. Таким образом, мы получили эмпирические значения параметров множественной линейной регрессии, которая имеет следующий вид: = - 190,63+0,072x1+343,293x2 Рассмотрим матричный вид определения вектора оценок коэффициентов регрессии а. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения: B = (XTX)-1XTY
Матрица XT
б. Умножаем матрицы, (XTX) в. Умножаем матрицы, (XTY) г. Находим определитель det (XTX)T = 7865492387 д. Находим обратную матрицу (XTX)-1 е. Вектор оценок коэффициентов регрессии равен: B = (XTX)-1XTY Таким образом, мы получили уравнение регрессии: y = -190,6301 + 0,072x1 + 343,293x2 2. оценим статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии b1, b2 с помощью t-статистики Стьюдента. Для этого сначала необходимо определить стандартные ошибки коэффициентов корреляции: ==2207,582 или ==0,0000169 ==719,75304 Определим значения t-статистик для каждого из коэффициентов: =17,5 =12,7 Сравним полученные расчетные значения t-статистики Стьюдента с соответствующим критическим значением (см. таблица Распределение Стъюдента): = == =2,365 Так как , мы делаем вывод о том, что оба коэффициента сильно значимы для построенной модели. 3. Рассчитаем средние коэффициенты эластичности для коэффициентов , входящих в уравнение множественной регрессии по следующей формуле: Таким образом, в случае изменения фактора X1 (доход семьи) на 1% зависимая переменная Y (расходы на питание) изменится на 0,326%, а если фактор X2 (количество человек в семье) изменится на 1%, то значение параметра Y изменится на 0,826%. Следовательно, большей чувствительностью модель обладает по фактору количество человек в семье. 4. Построим 95-% доверительные интервалы для найденных коэффициентов: Таким образом, если по другим выборкам мы получим значение коэффициентов, принадлежащие этим интервалам, то мы можем утверждать, что уравнение регрессии покажет такое же поведение для Y как определенное по выборке. 5. Определим коэффициент детерминации R2 и оценим его статистическую значимость при α = 0,05 = = 0,995 Следовательно, учтенные в модели факторы на 99,5% определяют поведение зависимой переменной Y. 6. Проверим качество построенного уравнения регрессии с помощью F-статистики Фишера: ==696,5 Сравним полученные расчетные значения F-статистики Фишера с соответствующим табличным значением (см. таблица Распределение Фишера): = == =19,4 Следовательно, так как, мы делаем вывод о том, что модель имеет хороший уровень качества. 6. Оценим целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого с помощью частных F-статистик Фишера = = В нашем случае = 160,2173; = 300,0869; = 23,68 (для числа степеней свободы 7 и 1 соответственно и уровня значимости 0,05) Сравнивая значения и (300,0869 > 23,68), делаем вывод о том, что включение в модель фактора X2 после фактора X1 улучшает модель. Сравнение и (160,2173 > 23,86) также показывает, что включение в модель дополнительного фактора X1 после того, как фактор X2 уже включен в уравнение улучшает модель, но не на столько как в первом случае. Поэтому приходим к выводу о целесообразности включения фактора X2 после X1 и что оба фактора одинаково значимы для построенной модели. Рассмотрим решение задачи с помощью Excel Ехсеl позволяет при построении уравнения линейной регрессии большую часть работы сделать очень быстро. Важно понять, как интерпретировать полученные результаты. Воспользуемся надстройкой Пакет анализа. Сервис — Анализ данных — Регрессия — ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Входной интервал Y: указывается ссылка на ячейки, содержащие значения результативного признака у. В графе Входной интервал Х: указывается ссылка на ячейки, содержащие значения факторов х1,..., хm (m≤16). Если первые из ячеек содержат пояснительный текст, то рядом со словом Метки нужно поставить «галочку» Уровень надежности (доверительная вероятность) по умолчанию предполагается равным 95%. Если исследователя это значение не устраивает, то рядом со словами Уровень надежности нужно поставить «галочку» и указать требуемое значение. Поставив «галочку» рядом со словом константа-ноль, исследователь получит b0 =0 по умолчанию. Если нужны значения остатков еi и их график, то нужно поставить «галочки» рядом со словами Остатки и График остатков. ОК. Появляется итоговое окно. Если число в графе Значимость F превышает 1 — Уровень надежности, то принимается гипотеза R2 = 0. Иначе принимается гипотеза R2 ≠ 0. Р-значение — это значения уровней значимости, соответствующие вычисленным t-статистикам. Р-значение = СТЬЮДРАСП (t -статистика; n-m-1) (статистическая функция мастера функций ƒx). Если Р-значение превышает 1 — Уровень надежности, то соответствующая переменная статистически незначима и ее можно исключить из модели. Нижние 95% и Верхние 95% — это нижние и верхние границы 95-процентных доверительных интервалов для коэффициентов теоретического уравнения линейной регрессии. Если исследователь согласился с принятым по умолчанию значением доверительной вероятности 95%, то последние два столбца будут дублировать два предыдущих столбца. Если исследователь вводил свое значение доверительной вероятности p, то последние два столбца содержат значения соответственно нижней и верхней границы p-процентных доверительных интервалов. Таким образом, при определении зависимости расходов на питание (Y) от размера дохода (X1) и от количества человек в семье (X2) было обнаружено, что при неизменном значении параметра количество человек в семье и изменения на 1 у.е. размера дохода семьи, расходы на питание вырастут на 0,07 у.е. В то же время, если не измениться доход семьи, а количество человек станет на одного больше, то расходы в семье вырастут на 343, 29 у.е. Поскольку > нулевая гипотеза отклоняется, то есть можно сделать вывод о статистической значимости уравнения в целом. Все выше обозначенные выводы позволяют сделать, что двухфакторная модель зависимости расходов на питание от душевого дохода и размера семьи является статистически значимой, надежной и может использоваться для прогнозов. |