МУ Общая электротехника и радиоэлектроника СПГ (1). Методические указания по выполнению контрольной работы 1 для студентов заочной формы обучения по специальности 21. 05. 01 Прикладная геодезия, направлению подготовки 21. 03. 03 Геодезия и дистанционное зондирование
 Скачать 3.2 Mb.
|
|
Электрическая мощность и баланс мощностей Электромагнитное поле обладает энергией. Оно может с большой скоростью передаваться на большие расстояния, и его энергия преобразуется в другие виды энергии (например, тепловую энергию). Скорость преобразования энергии называется мощностью t W P , где W – энергия, P – мощность, t – время. Воспользуемся формулой закона Джоуля-Ленца о тепловом выделении от электрического тока. Rt I W Q 2 Заменив одно R U I и разделив на t , получим: 23 UI P Мощность электрического тока в цепи или на участке цепи определяется произведением силы тока на напряжение. Баланс мощностей Из закона сохранения энергии вытекает баланс электрических мощностей. Источник электрической энергии никогда не создаст мощность больше, чем требуется электрической цепи ЕЙ ПОТРЕБИТЕЛ ИСТОЧНИКОВ P P EI P источников R I P потреб 2 , т.к. UI P , а IR U Сумма мощностей потребления всегда арифметическая Сумма мощностей источников электрической энергии – алгебраическая. Если направление ЭДС и протекающего через неё тока совпадают, то мощность берётся с «плюсом» (это источник энергии), если нет, то источник энергии превращается в потребитель, и должен стоять с «плюсом» на стороне потребителей. Невязка баланса мощностей не может превышать 1% (точность инженерных расчетов). Если невязка больше 1%, то это значит, что Либо расчеты велись с недостаточной точностью. Либо ошибка в расчетах (в том числе и при определении баланса мощностей). Вопросы для самоконтроля 1. Правило знаков для электрических величин во втором законе Кирхгофа? 2. Название электрической мощности в цепях постоянного тока? 3. Суть баланса мощностей? 24 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Принцип получения гармонически изменяющегося тока (синусоидального) В основе получения промышленного гармонически (синусоидально) изменяющегося тока в замкнутой цепи лежит, известный из физики, закон электромагнитной индукции. Blv dt dФ t е ) ( , где е(t) – ЭДС индукции, В – индукция магнитного поля, l - длина проводника, находящегося в магнитном поле, v – линейная скорость движения проводника в постоянном магнитном поле, dt dФ - скорость изменения магнитного потока. Знак «минус» связан с правилом Ленца (смотри страницу 19). Если производная изменения магнитного потока по времени гармоническая функция, то возникнет гармонически изменяющаяся ЭДС, которая создаст гармонически изменяющийся ток в цепи. Представление гармонических колебаний вращением вектора на комплексной плоскости Математически это представляется следующим образом (рисунок 9). Для определённости рассмотрим изменение тока i, представленное на рисунке справа. Рисунок 9. Представление гармонических колебаний вращением вектора на комплексной плоскости 25 Сразу следует отметить особенность комплексной системы координат в электротехнике – ось мнимых значений обозначается буквой j, так как буква i уже занята током. Вектор m I начинает равномерно вращаться против часовой стрелки (это положительное направление вращения) из положения 1. В прямоугольной системе координат, где аргументом является выражение ωt в радианах, угловое положение вектора на комплексной плоскости. Последовательно перенося положение конца вектора m I в точки 1, 2, 3, и т.д. в прямоугольную систему координат ωt, i, получим гармонические колебания тока ) ( t Sin I i m , или ) ( t Cos I i m , где φ начальная фаза, то есть при t=0. Она определяет проекции вектора m I на оси координат в комплексной системе, то есть при t=0 составляющие тока m I будут: Cos I I I m a ьная действител , Sin I I I m p мнимая или в векторной форме: p a m jI I I . Такая форма записи p a m jI I I называется алгебраической формой записи комплексного числа. Её удобно применять при сложении или вычитании векторов. Вектор m I , его положение на комплексной плоскости, можно определить, применив формулу Эйлера: Sin jI Cos I e I m m j m Выражение j m e I называется показательной формой записи комплексного числа. Еёудобно применять при умножении и делении комплексных чисел Переход от показательной формы записи к алгебраической очевиден – формула Эйлера. Обратный переход осуществляют, решая прямоугольный треугольник. Например, для вектора в позиции 8 (смотри рисунок 9, рекомендую сделать необходимую часть рисунка самостоятельно) по теореме Пифагора очень легко найти его длину m I . Начальную фазу удобно отсчитать по часовой стрелке от оси действительных значений, то есть она будет больше 90 0 и отрицательная. Таким образом, решая прямоугольный треугольник, ) arcsin 90 ( 0 мнимая ьная действител I I 26 Обратите внимание на тот факт , что знаки действительной и мнимой частей не учитываются, так как решается треугольник вне комплексной плоскости. Опережение и отставание гармонических колебаний В электротехнике необходимо знать какое гармоническое колебание впереди по сравнению с другими. Это определяет характер электрической цепи, чего больше индуктивности или ёмкости. Внимательно посмотрите на рисунок 9. Колебания распространяются вправо. Определить какая кривая впереди можно только, взглянув на начало координат. При t=0 косинус имеет максимальное значение, следовательно, он начал раньше синуса, то есть косинус опережает синус на 90 градусов. Обратите внимание на знаки начальных фаз. Фаза φ слева от нуля, но она положительна. Начальная фаза для косинуса справа от нуля [ ) 90 ( ] отрицательная. (или в другую сторону - положительная 90+φ). Сопоставьте это с направлением вращения вектора и направлением отсчета начальной фазы всегда от оси действительных значений. Понятие комплексных амплитуд Рассмотрим показательную форму записи комплексного числа для вращающегося вектора, когда получаются гармонические колебания: t j j m t j m e e I e I ) ( Сомножитель t j e является циклической составляющей, говорящей о вращении вектора. Сомножитель j m e I - остановленный вектор в положении начальной фазы. Эта векторная величина используется при расчете цепей переменного тока. Она получила название «комплексная амплитуда» и обозначается с точкой наверху. m I = j m e I Точка показывает, что это векторная величина на комплексной плоскости. Принцип расчета цепей переменного тока Переменная ЭДС t Sin E t e m ) ( создаёт в цепи гармонически меняющийся ток, поэтому расчет можно вести только для какого-то конкретного значения времени t. Это конкретное время задаётся начальной фазой ЭДС, то есть вместо вращающегося вектора имеем остановленный, заданный для расчета значением комплексной амплитуды или комплексным действующим значением Ė=Е j e . 27 Индуктивность и ёмкость в цепи переменного тока Вспомним явление самоиндукции. ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения магнитного потока, созданным электрическим током в самой катушке индуктивности. dt dФ t е ) ( Магнитный поток создан движущимися электрическими зарядами, то есть током. Изменяется ток, изменяется магнитный поток, полностью повторяя изменение тока, создавая ЭДС самоиндукции, ток от которой будет иметь такое направление, чтобы своим магнитным полем препятствовать изменению магнитного поля в катушке, то есть навстречу току в катушке (правило Ленца). С точки зрения электрических мощностей ЭДС самоиндукции является потребителем электрической энергии (её направление не совпадает с направлением электрического тока в катушке). Она создаёт препятствие (сопротивление) току. Это сопротивление получило название «индуктивное сопротивление», и обозначается оно L x . Нетрудно заметить, что ЭДС самоиндукции будет возрастать с увеличением частоты ω, так как при этом возрастает скорость изменения магнитного потока. Напряжение на индуктивности равно по модулю ЭДС самоиндукции, но имеет противоположное направление. Считая, что ток в индуктивности t ISin i L , для напряжения на индуктивности получим: t ICos L dt di L u L L ) ( Круглые скобки в этом выражении имеют логическое значение, подчеркивая, что это сопротивление в законе Ома, следовательно L x L Следует также отметить, что ток в индуктивности изменяется по закону синуса, а напряжение на индуктивности – по закону косинуса, то есть L u опережает L i на 90 0 . Такое опережение могло внести только сопротивление L x , следовательно, это сопротивление имеет положительную начальную фазу равную 90 0 , и в векторной записи 0 0 90 90 j L j L e x Le L j x 28 Точку над комплексными значениями сопротивлений и проводимостей не ставят, понятно и так, когда это вектор, а когда модуль вектора. Ёмкость во всём противоположна индуктивности. Рассуждая аналогично, получим: T UCos C dt du C i C C ) ( То есть на ёмкости напряжение C u отстаёт от тока C i на 90 0 . Опираясь на закон Ома, выражение C является проводимостью ёмкости, и, соответственно, C x C 1 Напомним, что в электротехнике фаза отсчитывается всегда от тока и положительное направление вращения – против часовой стрелки, тогда в векторной форме: C j C j e x jx e C x j C C j C 1 1 1 0 0 90 90 Закон Ома для цепей переменного тока Для цепей переменного тока применяют закон Ома в комплексной форме: Z I U , Где jx R Z - комплексное сопротивление. «-jx», если преобладает ёмкостное сопротивление, оно имеет фазу «минус 90 градусов». «+jx», если в сопротивлении Z преобладает индуктивность. Комплексное сопротивление — это вектор на комплексной плоскости. Точка над Z не ставится. Начертание заглавной буквы Z без чёрточки посредине говорит, что это вектор. Модуль комплексного сопротивления обозначается малой буквой z. (малая «зет» с черточкой посередине) Из всего выше изложенного следует , что синусоидально изменяющийся ток возникает при наличии синусоидально изменяющейся ЭДС, а сами цепи постоянноготока являются частным случаем цепей синусоидального тока, когда угловая частота ω равна нулю, следовательно, индуктивное сопротивление постоянного тока равно нулю, а ёмкостное сопротивление – равно бесконечности, то есть ёмкость представляет собой разрыв в цепи постоянного тока. 29 Для расчета цепи синусоидального тока нужно перейти от исходной схемы к комплексной и определить все комплексные значения параметров, после этого для расчета можно воспользоваться всеми правилами цепей постоянного тока. Затем, после завершения расчета, сделать обратный переход по формуле: действительная часть от комплексного значения найденного тока Пример расчета цепи переменного тока. Рассмотрим схему простой электрической цепи. Рисунок 10. Электрическая цепь переменного тока в комплексных параметрах (об этом говорят точки над величинами, то есть это вектора на комплексной плоскости) Приложенное к цепи напряжение: ) 30 314 ( 0 t Sin U u m . Здесь 1 314 c , 10 R Ом. U m =100 Bольт. В комплексной форме записи 0 30 2 1 100 j e U Коэффициент 2 1 необходим для перехода от заданного амплитудного значения 100В к действующему значению. Определим реактивные сопротивления, если L=0,1 Гн, а С=65 мкф: 50 10 * 65 * 314 1 6 C x Ом, 4 , 31 L x Ом. Это найдены модули сопротивлений. Их комплексные значения: 0 90 50 50 j C e j x Ом , 0 90 4 , 31 4 , 31 j L e j x Ом . Таким образом, у нас есть все данные в комплексной форме записи для определения тока в цепи. По второму закону Кирхгофа: 0 U U U U C L R 30 Раскрыв все значения напряжений по закону Ома U jx jx R I C L ) ( или Z U I , где C L jx jx R Z - полное сопротивление цепи, записанное в комплексной (векторной) форме Или в числах 74 , 31 74 , 61 30 30 30 0 0 0 0 0 35 , 3 1 , 21 7 , 70 6 , 18 10 7 , 70 50 4 , 31 10 2 100 j j j j j e e e j e j j e I (А). Переход от алгебраической формы 6 , 18 10 j Z к показательной для производства деления был рассмотрен в разделе «Представление гармонических колебаний вращением вектора на комплексной плоскости» 74 , 61 10 6 , 18 2 2 0 1 , 21 6 , 18 10 6 , 18 10 j jarctg e e j , так как вектор ( 6 , 18 10 j ) , заданный проекциями на оси комплексной системы координат находится в четвёртой четверти и прилегает к оси мнимых значений (рисунок сделайте сами), полученный результат является промежуточным. Для завершения расчета нужно найти мгновенное значение полученного тока как функцию времени. Обратите внимание на тот факт, что при расчете мы пользовались значением 0 t для приложенного напряжения 0 30 100 0 Sin u , но с синусом, как видно из рисунка 9, связана мнимая составляющая приложенного напряжения, а работает составляющая, связанная с косинусом. Поэтому общее правило перехода к мгновенному значению: 2 1 , 21 Re I t i ) 74 , 31 314 ( 0 t Cos Но в нашем случае приложенное напряжение было задано именно мнимой частью, поэтому у нас 2 1 , 21 ) ( t i ) 74 , 31 314 ( 0 t Sin . Коэффициент 2 - обратный переход от действующего значения (по которому велся расчет) к амплитудному. Ещё одно замечание. Полученный результат 6 , 18 10 j Z имеет отрицательную мнимую часть, как и 0 90 j C C C e x jx x , то есть Z имеет ёмкостной характер, цепь в целом ёмкостная, а для ёмкости характерно 31 отставание напряжения от тока. На самой ёмкости это 90 градусов, а по отношению к входному напряжению(рисунок 11). Рисунок 11. Векторная диаграмма электрической цепи с ёмкостным характером Сдвиг между током и напряжением по фазе произошёл из-за наличия в полном сопротивлении Z реактивной составляющей. Если бы не было ( 6 , 18 j ), ток и напряжение совпали по фазе (-30 0 ). Начальная фаза Z «минус 61 градус и 74 сотых градуса». Чтобы получить «минус» (смотри рисунок 9) нужно угол отсчитывать по часовой стрелке, то есть от тока. Фазовые углы всегда отсчитываются от направления тока. |