Мет[1].указ. Новикова В.В. РТА. Мет[1].указ. Новикова В.В. Методические указания по выполнению семестрового домашнего задания по дисциплине Статистика Раздел Общая теория статистики

• Название: Методические указания по выполнению семестрового домашнего задания по дисциплине Статистика Раздел Общая теория статистики
• Анкор: Мет[1].указ. Новикова В.В. РТА.docx
• Дата: 02.09.2018
• Размер: 3.2 Mb.
• Имя файла: Мет[1].указ. Новикова В.В. РТА.docx
• Тип: Методические указания; #23945
• страница: 20 из 22

2.2. Показатели центра распределения

Средняя арифметическая взвешенная:

(16)

где - значения j-ой середины интервалов;

- частости j-го интервала.

Мода и медиана относятся к структурным средним. Их значения находятся из выражений:

(17)

(18)

где - нижние границы модального и медианного интервалов;

- ширина модального и медианного интервалов;

- частость модального интервала;

- частость интервала, предшествующего модальному;

- частость интервала следующего за модальным;

- половина суммы накопленных частостей (равна 0,5);

- накопленная частость до медианного интервала;

- частость медианного интервала.
2.3. Показатели вариации

1. 
   Размах вариации (формула 15).
   
2. 
   Среднее линейное отклонение:
   

. (19)

3. Дисперсия:

. (20)

4. Среднее квадратическое отклонение:

. (21)

6. Линейный коэффициент вариации:

. (23)

7. Коэффициент вариации:

. (24)

8. Относительный показатель квартильной вариации:

, (25)

где - среднее квартильное расстояние;

; (26)

; (27)

- соответственно первая и третья квартили распределения;

- нижние границы интервалов, в которых находятся первая и третья квартили;

- ширины интервалов первой и третьей квартили;

и - сумма накопленных частостей в интервалах предшествующих интервалам, в которых находятся первая и третья квартили;

- частости интервалов, в которых находятся первая и третья квартиль.
2.4. Показатели дифференциации

1. 
   Коэффициент фондовой дифференциации
   

, (28)

где - средние значения для 10% фирм с наибольшими и для 10% с наименьшими значениями ВТО.

2. 
   Коэффициент децильной дифференциации
   

, (29)

где - максимальное значение у 10% фирм с наименьшими значениями ВТО;

- минимальное значение ВТО у 10% фирм с наибольшими значениями ВТО;

; (30)

; (31) - нижние границы интервалов, в которых находятся первая и девятая децили;

- ширины интервалов первой и девятой децили;

- сумма накопленных частостей в интервалах, предшествующих интервалам, в которых находятся первая и девятая децили;

- частости интервалов, в которых находятся первая и девятая децили.

Следует отметить что оба показателя являются ненормированными. Вследствие этого одно и тоже значение каждого из них можно толковать по-разному. Для устранения указанной неопределенности условимся вычислять значения и по формулам:

<sub>(32)

(33)</sub>

Оценку степени дифференциации можно осуществить по шкале Чеддока.

В соответствии со шкалой Чеддока степень дифференциации фирм по ВТО является слабой.
Шкала Чеддока

Таблица 3

Степени дифференциации	Значение коэффициентов
Слабая	0,1 – 0,3
Умеренная	0,3 – 0,5
Заметная	0,5 – 0,7
Высокая	0,7 – 0,9
Весьма высокая	0,9 – 0,99

5. 
   Показатели концентрации
   

1. 
   Кривая Лоренца
   

В статистике для изучения степени неравномерности распределения определенного суммарного показателя между единицами отдельных групп вариационного ряда используется кривая Лоренца (или кривая концентрации). Для ее построения распределение единиц совокупности (числа банков) и распределение суммарного показателя (суммы прибыли в банках) должны быть представлены в долях или процентах, а затем для обоих распределений рассчитываются накопленные (кумулятивные) итоги.

2. 
   Коэффициент Джини
   

Рассчитывается на основе кривой Лоренца



Рис. Кривая Лоренца

, (34)

где , .

При построении графика на горизонтальной линии нанесена шкала для ряда накопленных частостей, а на вертикальной линии — шкала для накопленных относительных величин размера изучаемого признака (графы 5 и 7 табл.2 соответственно).
2.6. Показатели формы распределения

Показатель асимметрии для сгруппированных данных находится из выражения

, (35)

а показатель эксцесса:

(36)

2.7. Проверка соответствия эмпирического распределения внешнеторгового оборота фирм нормальному распределению с помощью критериев согласия Пирсона, Романовского и Колмогорова

Критерий Пирсона

(37)

где — эмпирические частоты (частости) в интервале;

— теоретические частоты (частости) в интервале.

Значения теоретических частот (графа 9 табл. 2) рассчитаны с помощью функции плотности нормального распределения ОКРУГЛ(n*h*НОРМ.РАСП(X, Среднее, Стандартное – откл, Интегральный);0),

где n=48 – объём выборки;

h=69,92 – ширина интервала;

X – средние значения ВТО в интервалах, (графа 2 табл. 2);

Среднее = 72,29;

Стандартное_ откл = 82,592;

Интегральный = 0 - логическое значение, определяющее форму функции (ноль соответствует плотности распределения);

0 – количество знаков после запятой в функции округления.

Расчётное значение критерия сравнивается с критическим , которое определено с помощью функции ХИ2ОБР ПХ(0,05; 2) EXCEL, где 0,05 - уровень значимости, а 2 - количество степеней свободы (Ксс) для данного примера, определяемое из выражения Ксс=m-Кp-1. Здесь Кр – количество параметров в законе распределения случайной величины. Для нормального закона распределения Кр=2 (). Формула = ХИ2ОБР ПХ(0,05; 2) рассчитывает значение 5,99, задающее правостороннюю критическую область (5,99; +∞). Так как выполняется условие , то отклонения теоретических частот от эмпирических являются случайными и распределение ВТО фирм не противоречит нормальному.


Критерий Романовского

, (38) где - число степеней свободы;

— число групп;

—количество параметров в теоретическом законе распределения (для нормального закона распределения);

_{В данном примере расчётное значение меньше 3, следовательно можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.}

Критерий Колмогорова ()

Основан на определении максимального (по модулю) расхождения между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределений (d) ,графа 11 табл. 2:
. (39)

По известному значению определяется вероятность (П.2 табл. 1), если она близка к 1, то расхождение между частотами случайны.

График эмпирических и теоретических частот приведен на рис. 3.
Рис.3 График эмпирических и теоретических частот

Анализ результатов расчета позволяет сделать следующие выводы:

1. 
   В качестве характеристики центра распределения необходимо использовать среднюю арифметическую, т.к. совокупность является однородной (коэффициент вариации равен 10,62%, что менее 33%).
   
2. 
   Степень дифференциации ВТО фирм слабая.
   
3. 
   Концентрация ВТО фирм практически отсутствует.
   
4. 
   Распределение ВТО фирм плосковершинно и имеет правостороннюю асимметрию. Отклонения эмпирических частот от теоретических носят случайный характер, следовательно, эмпирическое распределение ВТО фирм не противоречит нормальному.
   

3. Определение доверительного интервала для средней величины внешнеторгового оборота фирм в генеральной совокупности

Величина доверительного интервала (предельная ошибка выборки) находится из выражения

, (40)

где t – коэффициент доверия;

- средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка бесповторной выборки:

, (41)

где - дисперсия генеральной совокупности;

- объем выборочной совокупности;

N – объём генеральной совокупности.

В случае малой выборки (n<100) средняя ошибка бесповторной выборки находится из выражения:

(42)

где

Коэффициент доверия в распределении Стьюдента является функцией доверительной вероятности и функцией объема выборки. Его значение получим с помощью функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х (0,05; 47), где 0,05 – уровень значимости, n-1=47- количество степеней свободы.

.

Выборка считается репрезентативной, если величина ее относительной ошибки составляет не более 5%, т.е.

(43)

Учитывая, что , выборку следует признать представительной.
4. Анализ зависимости таможенных платежей от внешнеторгового оборота фирм

4.1 Построение групповой таблицы.
Для построения групповой таблицы вычисляются средние значения результативного признака в каждой группе фирм (графа 6 табл. 5.2). Сравнив их значения, можно предположить о наличии прямой корреляционной зависимости между признаками, что иллюстрируется рис. 4.
Рис. 4. Зависимость средних перечислений в бюджет

от среднего значения ВТО фирм

4.2. Проверка правила сложения дисперсий и оценка степени влияния факторного признака на величину результативного.

Правило сложения дисперсий заключается в равенстве общей дисперсии сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий, т.е.:

, (44)

где, (45)

— общая средняя арифметическая результативного признака;

_ среднее значение результативного признака в - ой группе;

- cредняя из внутригрупповых дисперсий;

—дисперсия в j-ой группе (графа 13 табл. 5.2), вычисляемая по формуле:

;

- межгрупповая дисперсия;

Как следует из выражения (44) правило сложения дисперсий выполняется.

Разделив левую и правую части выражения (44) на общую дисперсию получим следующее тождество:

доли средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий в сумме равны единице.

Второе слагаемое именуется эмпирическим коэффициентом детерминации (причинности) и обозначается

(46)

Квадратный корень из коэффициента детерминации принято называть корреляционным отношением:

(47)

Изменяется корреляционное отношение от 0 до 1.

При недостаточном количестве данных в выделенных группах к рассчитанной величине корреляционного отношения вносится поправка:

, (48) где m — число выделенных групп.

Для оценки значимости корреляционного отношения можно применить однофакторный дисперсионный анализ. Его логика рассуждений сводится к следующему:

Пусть - математическое ожидание результативного признака, соответственно в группах . Если при изменении уровня фактора групповые математические ожидания не изменяются, то результативный признак не зависит от фактора А - в противном случае такая зависимость имеется.

В связи с тем, что числовые значения математических ожиданий неизвестны, то возникает задача проверки гипотезы



Проверить данную гипотезу можно при соблюдении следующих требований при каждом значении уровня фактора:

1. наблюдения независимы и проводятся в одинаковых условиях;

2. результативный признак имеет нормальный закон распределения с постоянной для различных уровней генеральной дисперсией.

Для ответа на второй вопрос вычислим значения относительных показателей асимметрии и эксцесса для зависимой переменной. Учитывая, что каждый из них меньше 1,5 эмпирическое распределение таможенных платежей в бюджет не противоречит нормальному.

Проверим выполнение гипотезы:

(49)

с помощью критерия Бартлетта:



где остаточная дисперсия, что является синонимом средней из внутригрупповых выборочных дисперсий;

выборочная дисперсия в ой группе (графа 14 табл. 5.2); ;

;

.

При выполнении гипотезы о равенстве дисперсий, величина w имеет распределение близкое к сстепенями свободы.

При соблюдении условия

гипотеза (7.14) подтверждается.

Здесь - правосторонняя критическая точка при заданном уровне значимости , определяющая критический интервал ().

Далее можно приступить к проверке гипотезы . Для этого сформируем массив значений результативного признака по группам (табл. 4).
Массив значений результативного признака

Таблица 4



Обратимся к режиму работы «Однофакторный дисперсионный анализ».

Однофакторный дисперсионный анализ
ИТОГИ				Таблица 5
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
Столбец 1	5	72,29	14,46	1,566
Столбец 2	12	202,05	16,84	0,721
Столбец 3	14	272,83	19,49	0,780
Столбец 4	11	238,77	21,71	1,210
Столбец 5	6	146,02	24,34	1,892
Дисперсионный анализ						Таблица 6
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Между группами	405,746	4	101,437	95,066	9,022E-21	2,589
Внутри групп	45,882	43	1,067
			102,504
Итого	451,628	47	9,609

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий основывается на сравнении оценок факторной и остаточнойдисперсий. В математической статистике доказывается, что если гипотеза о равенстве математических ожиданий подтверждается, то величина

имеет F – распределения с числом свободы и , т.е.

, где ;

При использовании F – критерия строится правосторонняя область (), т.к. обычно . Если расчетное значение F – критерия попадает в указанный интервал, то гипотеза о равенстве групповых математических ожиданий отвергается, т.е. считаем, что фактор А влияет на результативный признак Y и можно измерить степень этого влияния с помощью корреляционного отношения.