финматематика учебно-мет. пособие. ФМ МП. Методическое пособие к практическим занятиям для студентов очной и заочной форм обучения по специальностям

• Название: Методическое пособие к практическим занятиям для студентов очной и заочной форм обучения по специальностям
• Анкор: финматематика учебно-мет. пособие
• Дата: 20.01.2022
• Размер: 0.9 Mb.
• Имя файла: ФМ МП.pdf
• Тип: Методическое пособие; #336871
• страница: 1 из 5

Министерство сельского хозяйства РФ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н. Прянишникова»
Кафедра финансов, кредита и экономического анализа
Финансовая математика
Методическое пособие к практическим занятиям для студентов очной и заочной форм обучения по специальностям:
080105 «Финансы и кредит»
080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Пермь 2011

2
УДК 658.57
Финансовая математика: задачи, методические указания, контрольные вопросы.
В.Д. Фрезе: ФГОУ ВПО «Пермская ГСХА» - 3-е издание переработанное и дополненное. Пермь: издательство ФГОУ ВПО «Пермская
ГСХА», 2011.-66 с- экз.
Рецензенты:
Г.Г. Зорин, к.э.н., профессор.
В.П. Мехоношина, к.э.н., доцент.
Методические указания подготовлены для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов, контроля знаний по дисциплине, освоения ими методики решения задач по финансовым операциям и коммерческим сделкам. По каждой теме кратко изложены методики расчетов, условия задач, вопросы для текущего контроля знаний.
Методические рекомендации предназначены для практических занятий и самостоятельной работы студентов очной и заочной формы обучения по специальностям «Финансы и кредит» и «Бухгалтерский учет, анализ и аудит».

3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение в финансовую математику ........................................................... 4
Тема 1. Простые проценты ........................................................................... 6
Тема 2. Сложные проценты........................................................................ 17
Тема 3. Финансовая эквивалентность обязательств ................................. 25
Тема 4. Оценка денежных потоков ............................................................ 33
Тема 5. Планирование погашения долгосрочной задолженности ........... 45
Тема 6. Измерение доходности финансовых операций ............................ 51
Тема 7. Измерители финансовой эффективности производственных инвестиций ......................................................................................................... 61
Тема 8. Актуарные расчеты ....................................................................... 64
Учебные пособия по финансовой математике .......................................... 66
Приложение ................................................................................................ 67

4
Введение в финансовую математику
Финансовая математика охватывает определенный круг методов вычислений, необходимость в которых возникает всякий раз, когда в условиях сделки или финансово-банковской операции оговариваются конкретные значения 3 видов параметров, а именно:
- стоимостные характеристики (размеры платежей, договорных обязательств, кредитов);
- временные данные (даты, сроки выплат);
- специфический параметр – процентная ставка.
Эти параметры в рамках одной операции равноправны. Между ними существуют функциональные зависимости.
1) Предмет финансовой математики – изучение функциональных зависимостей между данными параметрами и разработка на их основе методов решения финансовых задач определенного класса.
Финансовая математика позволяет решать многие задачи, которые явно или неявно присутствуют в любой финансово-банковской операции или коммерческой сделке.
2) Время как фактор в финансовых результатах: В финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с моментами времени – сроки, дата, периодичность поступлений средств или выплат денег. Фактор времени играет не меньшую роль, чем сами денежные суммы.
Необходимость учета этого фактора определяется сущностью самого процесса финансирования и кредитования и выражается в виде принципа неравноценности денег, относящихся разным моментам времени. Данная концепция неравноценности денежных средств, относящихся к различным моментам времени использует 2 метода – метод наращивания и метод дисконтирования стоимости.
3) Основные категории в финансовой математике:
- Процентные деньги (проценты) – абсолютная величина дохода от представления денег в долг, в любой ее форме.

5
- Процентная ставка - относительная величина дохода (темп прироста) за фиксированный отрезок времени к первоначальной сумме долга.
- Период начисления – временной интервал, к которому приурочена процентная ставка.
- Интервал начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
- Наращение (рост) – процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов (компаундинг)
- Наращенная сумма – сумма первоначального долга с начисленными на него процентами.
Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные и авансовые.
Обычные (декурсивные) начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Доход на процент выплачивается в конце периодов финансовой операции.
Если же доход, определяемый процентами, выплачивается в момент предоставления кредита, то такая форма расчетов называется авансовый или учетом, а применяемые проценты авансовыми (антисипативными), которые начисляются в начале периода относительно конечной суммы денег.
Учетная ставка – относительная величина снижения дохода (темп снижения) за фиксированный отрезок времени к наращенной сумме долга.
Дисконтирование – процесс определения любой стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит некоторую фиксированную сумму денег.
Современная (приведенная) сумма – величина, найдена дисконтирование наращенной суммы.

6
Тема 1. Простые проценты
1.1 Наращение по простым процентам
Наращение по простым процентам применяется, как правило, при сроке n≤1 года, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются и база для начисления процентов остается постоянной. где P – первоначальная сумма долга;
Процентные деньги J = nPi
(1.1)
Формула наращения простых процентов S = Р+J= Р(1+ ni)
(1.2)
(1+ni) – множитель наращивания, показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы ссуда.
Если срок суды измеряется в днях или месяцах, то n = t / K,
S – наращенная сумма (сумма в конце срока) i – процентная ставка n – срок ссуды, n = 1 … N
J – проценты за весь срок ссуды
К – временная база (12 мес. или 365 дней)
Используется три способа начисления процентов:
1) Обыкновенный (коммерческий) процент с приближенным числом дней суды – год 360 дней, месяц 30 дней.
2) Обыкновенный (коммерческий) процент с точным числом дней ссуды
– год 360 дней и точное число дней, на которые выдана ссуда (по календарю).
3) Точный процент с точным числом дней ссуды – год 365 (366) дней и точное число дней, на которые выдана ссуда (по календарю).
Когда в кредитном договоре предусмотрены переменные во времени процентные ставки, применяется формула:
S = Р (1+ ∑n t i
t
)
(1.3) n – число периодов начислений в году.
При инвестирование средств по простой ставке процента, прибегают к неоднократному повторению операции в пределах заданного срока N, то есть дальнейшему реинвестированию наращенных на каждом шаге операции средств.

7
В этом случае наращенная сумма:
S = Р (1+ ∑n
1 i
1
) (1+ ∑n
2 i
2
) …. (1+ ∑n к i
к
)
(1.4)
В случае, когда периоды n
1
= n
2 = n
m
= n;
Ставка процента i
1
= i
2 = i
к
= i:
S = Р (1+ ∑ni)
m
(1.5)
1.2 Процентные вычисления с использованием постоянного делителя
(дивизора)
Формула (1.1.) может быть преобразована Y =
100
*
*
i
n
P
,
(i в %), если n=1, то получается однопроцентный доход
Когда проценты начисляются ежемесячно, то Y =
100
*
*
i
т
P
, где m – количество месяцев.
Если продолжительность года измерена в днях (360 или 365), то
Y =
36000
*
*
t
i
P
или Y =
36500
*
*
t
i
P
,
Поскольку в практических расчетах величины P, m и t – часто меняются, а продолжительность года постоянна, процентная ставка длительное время остается постоянной, то проценты определяются по формуле:
Y =
i
t
P
/
36000
*
или Y =
i
t
P
/
36500
*
,
(1.6) где P*t - процентное число, а частное от 36000/i или 36500/I – процентный ключ или постоянный делитель (дивизор).
Т. О. общая сумма дохода определяется, как сумма процентных чисел, деленная на дивизор.
1.3 Дисконтирование и учет
Различается два вида дисконтирования: математический и банковский или коммерческий учет.

8
Задача математического дисконтирования состоит в том, чтобы по заданной сумме S, которую необходимо уплатить через n лет, следует определить сумму полученной ссуды, то есть надо решить задачу, обратную задаче наращивания.
Р =
ni
S

1
- по процентным ставкам
(1.7) где 1/ (1+ ni) – дисконтный множитель, показывающий долю Р в величине S.
D = S –P – дисконт суммы S
Суть банковского учета состоит в следующем: банк до наступления срока платежа по векселю приобретает вексель у владельца по цене, меньшей суммы S, указанной на нем, то есть он учитывает вексель с дисконтом.
Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт, то есть получает прибыль. Владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги, хотя и не в полном объеме, но раньше указанного на векселе срока.
По этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.
D =Snd – размер дисконта
Р = S – Snd = S(1-nd),
(1.8) где n – срок от момента учета до даты погашения векселя
(1-nd) – дисконтный множитель n = t /k
Наращение по учетной ставке применяется в тех случаях, когда необходимо определить возможно сумму, которую надо поставить в бланке векселя, когда задана текущая сумма долга Р и учетная ставка d.
S = Р / (1-nd),
(1.9) где 1 / (1-nd) – множитель наращения по учетной ставке.

9
1.4 Определение срока ссуды и величины ставок
Срок ссуды и величину ставок находят решением формул наращения и дисконтирования, относительно неизвестных величин. Сроки ссуды: n =
Pi
P
S 
(1.10) n =
Sd
P
S 
(1.11) t



k
i
P
S
*
1
/
(1.12) t



k
d
P
S
*
/
1
(1.13)
Ставки: i





k
Pt
P
S
Pn
P
S
*
(1.14) d





k
St
P
S
Sn
P
S
*
(1.15)
1.5 Потребительский кредит
Простые процентные вычисления часто используются в потребительском кредите. Возможны различные схемы расчетов, наиболее часто используемые:
- погашение кредита равными частями;
- погашение изменяющимися суммами;
- метод счета « от ста».
При погашении кредита равными частями наращена сумма долга определяется по формуле (1.2), а сумма разового погасительного платежа зависит от числа погасительных платежей в году (m): q = nm
S
(1.16) где q – сумма погасительного платежа; n – срок кредита в годах; m – число погасительных платежей в году.

10
При погашении кредита изменяющимися суммами раздельно определяется единовременная сумма по основному долгу и процентам. Для решения этого вопроса используется, «правило 78» (сумма порядковых номеров месяцев года). Абсолютная величина процентного платежа в каждом платежном периоде будет равна:
J
ti
J
t
t
i
i
*


(1.17) где J - сумма всех процентных платежей; t
i
- порядковый номер месяца;
∑t i
- сумма порядковых номеров месяцев.
Сумма погашенного долга на конец периода (К) равна:
Wk = Vk -




k
t
t
i
i
t
i
n
p
t
1
*
*
(1.18) где Vk – оставшаяся часть непогашенного долга на момент К.
Методов счета «от ста»: для 1-го месяца (периода), процентный платеж рассчитывается на всю сумму долга, а в каждый следующий месяц – на оставшуюся часть долга; основной долг выплачивается равными суммами.
Процентный платеж за любой месяц определяется по формуле:
J
m









m
m
i
p
)
1
(
1
*
1200
*
(1.19)
1.6 Условия задач
1) Сумма в 100 тыс. руб. вложена фермером в банк на 6 месяцев под 15% годовых. Найти величину суммы, которая будет получена через 6 месяцев
2) Определить сумму средств к погашению кредита в размере 2000 тыс. руб., полученного на 30 дней под 12% годовых.
3) В не високосном году аграрное формирование взяло ссуду 3 января и должно отдать ее 13 мая на условиях 10% годовых при простом проценте. Во сколько раз вырастет долг при расчете по варианту:
- коммерческого (обыкновенного) процента с приближенным числом дней ссуды?
- коммерческого процента с точным числом дней ссуды?

11
- точных процентов с точным числом дней суды?
4) Банк выдал ссуду на сумму 100 тыс. руб. клиенту А на срок 2 месяца, затем деньги, полученные от клиента А, клиенту В на срок 3 месяца, деньги полученные от клиента В, выдал клиенту С на 5 месяцев, и наконец от клиента С, клиенту D на 2 месяца. Все ссуды были выданы под 10% годовых
(расчет по варианту простого коммерческого процента). Какую сумму вернет банку клиент D, и под какую реальную процентную ставку банк осуществлял свои операции?
5)Банк обязуется выплачивать по вкладу 2% ежемесячно. Какой годовой процент Вы получите по своему вкладу, если:
- будете забирать проценты ежемесячно, и тратить их на свои нужды;
- будете вкладывать проценты в тот же банк на тех же условиях?
6) Банк продает депозитные сертификаты: сроком на 3 месяца под 15% годовых, на 6 месяцев - под 20% годовых; на год под 25%. Какую из названных ниже стратегий выгоднее выбрать:
- купить сертификат сроком на 3 месяца (или 6мес.), получить проценты и потратить их;
- купить сертификат на год и получить доход по повышенной процентной ставке;
- докупать ежеквартально
(или каждые полгода) депозитные сертификаты па сумму, равную величине полученных процентов.
7) Определите размер ссуды к концу срока тремя способами по каждому варианту:
- коммерческого (обыкновенного) процента с приближенным числом дней ссуды;
- коммерческого процента с точным числом дней ссуды;
- точных процентов с точным числом дней ссуды
№ Первоначальная сумма долга, тыс. руб.
Ставка простого процента,
%
Дата получения ссуды
Дата возврата ссуды
Размер ссуды к концу срока, тыс. руб.
1 100 10 01.06 01.10

12 2
50 12 01.12 21.12 3
120 8
01.04 11.05 8) Определить наращенную сумму долга к концу года, если первоначальная сумма долга, полученного с.-х. предприятием - 1000 тыс. руб., первый квартал предусмотрено увеличение долга на 10 % годовых, каждый следующий квартал ставка повышается па 2 %.
9) 20.05 открыт счет в сумме 200 тыс. руб. под процентную ставку – 8% годовых; 10.07. на счет было дополнительно внесено 50 тыс. руб., 15.10. со счета было снято 75 тыс. руб., а 20.12 счет закрыт. Определить общую сумму полученную вкладчиком при закрытии счета.
10) Известно, что разность между суммой, вложенной в банк на 240 дней под 10% годовых и суммой полученных процентов составляет 300 тыс. руб.
Определить величину сумму, помещенную в банк и сумму процентных платежей.
11) Банк предоставил клиенту кредит на 6 мес. С 15.03. по 15.09. под залог 100 акций, курсовая стоимость которых в день выдачи кредита составляет 80% курсовой стоимости залога, кредит выдается под 10% годовых; за обслуживание долга банк взимает 0,5% от номинальной суммы кредита. Определить размер кредита, полученного клиентом банка.
12) Клиент банка, получивший кредит до 15.09. (задача 11), в установленный срок сумел погасить только 75% основного долга и одновременно получил соглашение банка на отсрочку уплаты оставшейся части долга до 15.12. по ставке 11% годовых. Определить величину остатка основного долга и проценты на него.
13) Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12.05.2009 по
12.11.2011) долг в сумме 10 млн. руб. Кредитор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляются по 10% годовых. Частичные поступления характеризуются следующими данными (тыс. руб.):
12.09.2009 – 500 12.08.2010 – 2000;
30.08.2011 – 5000;

13 12.11.2011 - ?
14) Петров перед выходом на пенсию решил положить некоторую сумму в банк, который начисляет 1% ежемесячно. Какую сумму надо положить в банк, если Петров планирует каждый месяц снимать со счета проценты в размере 500 руб.?
15) Сидорову через год необходима сумма в 200 тыс. руб. Фирма, в которой он работает, согласна предоставить ему беспроцентную ссуду на 1 год. Сидоров намерен эту ссуду внести в банк на 1 год, который начисляет
8% годовых, для того, чтобы через год получить необходимую ему сумму, а также вернуть ссуду в фирму.
16) Через 210 дней с момента подписания контракта приусадебное хозяйство должно уплатить 300 тыс. руб. Кредит предоставлен под 12,0% годовых. Определить, какую сумму получит должник на настоящий момент и сумму дисконта?
17) Векселедержатель - (с.-х. фирма «Колос» предъявила для учета вексель па сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения 28.09. Вексель предъявлен 13.09. Банк согласился учесть вексель с дисконтом 15% годовых.
Определить сумму, которую получит векселедержатель? комиссионные банка?
18) Банк согласился учесть вексель, предъявленный СХПК «Труженик», па сумму 1000 тыс. руб. за 60 дней до срока погашения. Определить сумму вексельного кредита, если ставка дисконта 10% годовых.
19) Предприятие продало товар на условиях., потребительского кредита с оформлением простого векселя. Номинальная стоимость 75 тыс. руб., срок векселя 60 дней.Ставка процента за предоставленный кредит15 % годовых.
Через 45 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке; предложенная банком ставка составляет 10 %.Рассчитать суммы получаемые предприятием и банком?
20) Через сколько дней долг, взятый CXПK «Россия» и равный 10 млн. руб., вырастет до 12,5 млн. руб., при условии, что на сумму долга начисляются простые проценты при ставке 12,0 %?

14 21) Вконтракте предусматривается погашение обязательства через 220 диен в сумме 135 тыс. руб., первоначальная сумма долга 120 тыс. руб.
Необходимо определить доходность операции для кредитора в виде учетной станки и ставки процентов.
22) Кредит для покупки товара в сумме 180 тыс. руб. предоставлен предпринимателю на 1,5 года, процентная ставка 10%, погашение в конце каждого месяца. Каков должен быть ежемесячный погасительный платеж?
23) Сумма долга по кредиту через 2 года составит 200 тыс. руб. Ставка ссудного процента 12%. Погашение кредита ежеквартальное. Каков ежеквартальный погасительный платеж? Каков размер уплаченных процентов?
24) Автомашина стоимостью 400 тыс. руб. продана в кредит под 10% годовых. Погашение задолженности производится ежемесячными платежами в течение 2-х лет. Составит план погашения задолженности, чтобы сумма ежемесячной платы по кредиту оставалась постоянной величиной. Оформить план погашения в виде таблицы, где указать: порядковые номера месяцев, удельный вес каждого процентного платежа в общей сумме процентов, сумму ежемесячных процентных платежей, остаток долга на начало каждого месяца, сумму погашения основного долга каждый месяц.
25) Предоставлен потребительский кредит в размере 25 тыс. руб. На 6 месяцев под 12% годовых с ежемесячным погашением. Составить план погашения кредита (амортизации долга) методом счета «от ста». Оформить план в виде таблицы, в которой указать: порядковые номера месяцев, процентные платежи, месячную выплату основного долга, непогашенную сумму основного долга, сумму месячного погашенного взноса.
1.7 Контрольные вопросы
1) Отличительные особенности начисления простых процентов.
2) Понятие наращения и дисконтирования. Различие логики финансовых операций.
3) Что понимается в финансовых расчетах под:

15
- процентами (процентными деньгами);
- процентной ставкой (формула);
- периодом начисления;
- наращенной суммой.
4)
Какое различие между декурсивными и антисипативными процентами?
5) Формула наращения простых процентов:
- при интервале, заданного в годах;
- при интервале, заданного в месяцах;
- при интервале, заданного в днях;
- при реинвестировании.
6) Способы начисления по простым процентам, содержание каждого из них;
7) Содержание терминов:
- множитель наращения;
- процентное число;
- дивизор;
- метод счета «от ста».
8) Виды дисконтирования, их содержание и различие;
9) Понятие и определение:
- учетной ставки;
- дисконта;
- современной величины.
10) Докажите различие в результатах математического дисконтирования и банковского учета;
11) Докажите различие в результатах наращения по ставке ссудного процента и учетной ставке;
12) Объясните возможность совмещения наращения и дисконтирования
13) Как определить (при прочих заданных условиях):
- продолжительность ссуды;
- величину процентной или учетной ставки.

16 14) Вычисления с использованием основной пропорциональной зависимости;
15) Способы погашения в потребительском кредите, их методическое отличие.

17