финматематика учебно-мет. пособие. ФМ МП. Методическое пособие к практическим занятиям для студентов очной и заочной форм обучения по специальностям

• Название: Методическое пособие к практическим занятиям для студентов очной и заочной форм обучения по специальностям
• Анкор: финматематика учебно-мет. пособие
• Дата: 20.01.2022
• Размер: 0.9 Mb.
• Имя файла: ФМ МП.pdf
• Тип: Методическое пособие; #336871
• страница: 3 из 5

Тема 4. Оценка денежных потоков
4.1 Понятие потоков платежей и финансовых рент, их основные
характеристики; классификация рент
Контракты, сделки, банковские операции часто предоставляются не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений или поток платежей.
Потоки платежей, отдельные платежи (элементы ряда) которых разные по величине и могут быть как поступлениями (положительные), так и выплатами (отрицательными) величинами и осуществляется через разные интервалы времени являются нерегулярными.
Потоки платежей все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами постоянны, называются финансовой рентой или аннуитетом. Представление последовательных платежей в виде финансовой ренты существенно упрощает определение их обобщающих характеристик, дает возможность использовать набор стандартных формул, табулировать значения ряда коэффициентов.
Количественный финансово-экономический анализ потоков платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих эти потоки платежей характеристик: наращенной суммы и современной величины.
Эти показатели представляют собой обобщение потока платежей за весь срок, с учетом моментов времени, в виде одного числа.
Наращенная сумма – сумма всех членов последовательных платежей с начисленными на них процентами к концу его срока. Наращенная сумма может представлять сбой общую сумму задолженности, итоговый объем инвестиций, накопленный на момент оценки денежный резерв и т.д.
Под современной величиной потока платежей понимают сумму его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или упреждающий его. Современная величина потока платежей характеризует приведенные издержки, капитализированный доход, чистую приведенную прибыль и т.д.
Ренты классифицируются по следующим признакам:

34 1) по продолжительности периода ренты:
- годовые – с выплатой раз в год
- p – срочные – с выплатой p раз в году
2) по числу начислений процентов:
- с ежегодным начислением процентов
- с начислением процентов m раз в году
3) по величине членов ренты:
- с переменными членами ренты (изменяются по арифметической или по геометрической прогрессии, или несистематически)
4) по роду членов:
- рента с ограниченным числом членов
- рента с неограниченном числе членов
5) по моменту выплаты платежей:
- выплаты производятся в начале периода начисления – рента пренумерандо
- выплаты производятся в конце периода начисления – рента постнумерандо
6) по вероятности выплаты:
- верные ренты
- условные ренты
4.2 Рента постнумерандо
Наиболее часто в финансовых расчетах используются следующие по условиям формирования ренты:
1
й случай: Платежи осуществляются один раз в год, проценты начисляются один раз в конце года, тогда наращенная сумма определяется
S=R*K n; i,
(4.1) где S – наращенная сумма ренты,
R – размер члена ренты (разового постоянного платежа),
K n; i - коэффициент наращения с параметрами «n» (срок ренты) и «i»
(ставка сложных процентов), является суммой геометрической прогрессии –

35
первый член геометрической прогрессии a =1, а знаменатель геометрической прогрессии g =(1+i), тогда K n; i = (1+i)
n
-1/i, а
i
i
R
S
n
1
)
1
(



(4.2)
2
й случай: Годовая рента с начислением процентов «m» раз в году по номинальной ставке «j»
1
)
1
(
1
)
1
(





m
j
m
j
R
S
mn
или
m
j
RKmn
S
/
;

(4.3)
3
й случай: Рента р-срочная, проценты начисляются один раз в конце года
(m=1)
]
1
)
1
[(
1
)
1
(
1





p
n
i
p
i
R
S
или
i
n
RK
S
p
;
)
(

(4.4)
4
й случай: Рента р-срочная, начисление процентов «m» раз в год (m=р)
(4.5)
5
й случай: Рента р-срочная, (р≈m)
]
1
)
1
[(
1
)
1
(





p
m
mn
m
j
P
m
j
R
S
(4.6)
Современные величины ренты в зависимости от условий формирования определяются по формулам (аналогично перечисленным выше условиям).
1
й случай: Годовая рента с начислением процентов 1 раз в год
i
i
R
A
n




)
1
(
1
или
i
Ran
A
;

(4.7)
i
an
i
i
n
;
)
1
(
1




- коэффициент приведения ренты рассматриваемый, как сумма геометрической прогрессии с параметрами
)
1
/(
1 1
ic
q
a



2
й случай: Годовая рента с начислением процентов «m» раз в году
1
)
1
(
)
1
(
1






m
j
m
j
R
A
mn
или
m
i
Ra
A
mn
;

(4.8)
j
m
j
R
S
mn
1
)
1
(




36 3
й случай: Рента р-срочная с начислением процентов один раз в год
(m=1)
]
1
)
1
[(
)
1
(
1






p
i
n
i
P
i
R
A
или
i
n
Ra
A
p
;
)
(

(4.9)
4
й случай: Рента р-срочная (р=m)
i
m
i
R
A
mn




)
1
(
1
или
m
j
mn
Ra
A
p
;
)
(

(4.10)
5
й общий случай: Рента р-срочная (р≈m)
]
1
)
1
[(
)
1
(
1






p
m
mn
m
i
P
m
i
R
A
или
m
j
mn
Ra
A
p
;
)
(

(4.11)
Некоторые коэффициенты наращения и приведения табулированы и представлены в виде таблиц.
При необходимости определения членов ренты или срока ренты, их можно получить преобразованием формул наращения и дисконтирования относительно интересующих нас величин.
4.3 Рента пренумерандо
В этой ренте платежи производятся в начале каждого периода начисления, то есть количество платежей будет на один больше, чем в ренте постнумерандо.
1
й случай: Годовая рента с начислением процентов 1 раз в год
)
1
(
1
i
S
S


или
)
1
(
1
i
A
A


(4.16)
2
й случай: Годовая рента с начислением процентов «m» раз в году
m
m
j
S
S
)
1
(
1


или
m
m
j
A
A
)
1
(
1


(4.17)
3
й случай: Рента р-срочная с начислением процентов один раз в год
)
1
(
1 1
p
i
S
S


или
)
1
(
1 1
p
i
A
A


(4.18)
4
й случай: Р-срочная рента с начислением процентов «m» - раз
p
m
m
j
S
S
)
1
(
1


или
p
m
m
j
A
A
)
1
(
1


(4.19)

37
4.4 Бессрочный аннуитет
Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются длительное время (50 и более лет). В этом случае прямая задача смысла не имеет, что касается обратной задачи, то ее решение делается так же по формуле 4.7.
Поскольку
i
i
i
n
c
n
1
)
1
(
1
lim






, то
c
i
R
A 
(4.20)
Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения аннуитета.
4.5 Переменные потоки платежей
Встречаются потоки платежей, члены которых изменяются во времени.
Эти последовательности платежей можно представить в виде переменных потоков платежей.
Частный случай такого потока – переменная рента, то есть рента, члены которой изменяются в соответствии с каким либо заданным законом развития.
Если такой закон не задан, то соответствующая последовательность представляет собой нерегулярный поток платежей.
4.6 Нерегулярный поток платежей
Временные интервалы между двумя соседними членами в нерегулярном потоке платежей могут быть любыми. Обобщающие характеристики получают методом прямого счета.
Наращенная сумма (начисление процентов 1 раза в год)
S =



t
t
n
t
i
R
)
1
(
(4.21)
Современная величина
А =

t
t
t
v
R *
(4.22) где t = время от начала потока платежей до момента выплаты

38
R
t
– размер платежа (член ренты)
4.7 Конверсия аннутентов
Под конверсией аннутента понимается такое изменение начальных параметров аннутента, после которого новый аннутент был бы эквивалентен данному.
Два аннутента считаются эквивалентными, если равны их современные величины, проведенные к одному и тому же моменту времени.
На практике необходимость рассчитать параметры эквивалентного аннутента чаще всего возникает при изменений условий выплаты долга, погашение кредита или займа и т.п. При этом конверсия может произойти в момент начала аннутента, так и после выплаты некоторой части аннутента. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.
Наиболее распространенные случае конверсии постоянных аннутентов:
1) Через некоторый промежуток времени (он может быть равен и «0») после начала аннутента весь остаток долга может быть выплачен за один раз
(выкуп ренты). Очевидно, что в том случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннутента, рассчитанной для срока n
2
= n
1
– n
0
(Согласовываются процентные ставки. Выбирается определения современной величины).
2) Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолженность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннутента, и требуется определить один из параметров аннутента при заданных остальных.
Поскольку здесь известна сумма долга, то есть современная величина аннутента, то для нахождения неизвестного параметра используются формулы:
n
c
c
n
i
i
Ai
a
A
R





)
1
(
1
;
(4.23)
)
1
ln(
]
)
/
(
1
ln[
1
c
c
i
i
p
A
n




(4.24)

39 3) Период выплаты долга может быть изменен при сокращении прежней процентной ставки. Величину R
2 платежа для срока n
2 находим, используя уравнения эквивалента (приравниваются современные значения аннутента):
c
n
c
c
n
c
i
i
R
i
i
R
1 2
)
1
(
1
)
1
(
1 1
2







(4.25)
Отсюда
2 1
)
1
(
1
)
1
(
1 1
2
n
c
n
c
i
i
R
R







(4.26)
Очевидно, что если срок аннутента увеличивается, значение R
2 сократится и наоборот.
4) Может возникнуть ситуация, когда величина платежа R
должна быть изменена в ту и другую сторону.
5) Начало выплаты задолженности при заданной процентной ставке может быть отсрочено: а) при сокращении размера платежа; б) при сокращении срока выплаты;
Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок аннутента, а во втором – величина платежа.
Если обозначить через n
0
период отсроки, тогда на момент начала выплаты, сумма долга А
2
, которая должна являться современной величиной нового аннутента, составит по формуле сложного процента
0
)
1
(
1 2
n
c
i
A
A


(4.27)
Отсюда получаем уравнение эквивалентности:
]
)
1
(
1
[
]
)
1
(
1
[
1 2
1 2
n
c
n
c
i
R
i
R







(4.28)
Далее решаются две задачи:
- находим n
1 при R
1
= R
2
- величину платежа R
2 при n
2
= n
1
– n
0 6) В некоторых случаях может потребоваться объединение нескольких аннутентов в один (консолидация аннутентов).
При этом объединяемые аннутенты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметр неизвестен при всех остальных заданных.

40
(4.29)
А – современная стоимость заменяющий ренты
Аq – современная стоимость q –й заменяемой ренты
4.8 Условия задач
1) Сельскому жителю предлагают сдать в аренду участок земли на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты труда: а) 50 тыс. руб. в конце каждого года; б) 135 тыс. руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 12% годовых по вкладам?
2) Фирме предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.) По истечению пяти лет выплачивается дополнительной вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Примет ли она это предложение, если можно
«безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?
3) Определить текущую стоимость бессрочного аннуитета с ежегодными поступлениями 500 тыс. руб., если ставка рефинансирования составляет 8% годовых.
4) Годовая рента постнумерандо R = 400 тыс. руб., n = 5. При дисконтировании по сложной ставке 10% найти современную стоимость ренты и наращенную сумму ренты.
5) В условиях предыдущей задачи рента выплачивается поквартально, p=4. Определить для случаев начисления процентов 1 раз в год и m раз в год
(m= p) современную стоимость и наращенную сумму ренты.
6) Создается фонд, средства поступают в виде годовой постоянной ренты в течение 5 лет, ежегодно по 300 тыс. руб. На поступление суммы начисляются проценты 8,5% годовых. Найти наращенные суммы при годовом начислении и при квартальном начислении.
7) Создается резервный фонд для закупки семян, взносы производятся на протяжении 5 лет 1 раз в конце года по 100 тыс. руб. На собранные средства


q
Aq
A

41
начисляются проценты по ставке 10% годовых. Необходимо найти размер фонда к концу срока.
8) Пусть рента выплачивается в конце года R = 500, ставка 6% годовых.
Найти современную величину ренты при условии, что рента выплачивается
10 лет.
9) Рассчитать величину приведенного денежного потока: 12, 15, 9, 25 тыс. долл. Если процентная ставка – 12%. Расчеты представить в виде таблицы, показать изменение дисконтных множителей и современных величин ежегодных платежей, общую величину приведенного денежного потока.
10) Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год – поступление 50 тыс. руб., второй год поступления – 20 тыс. руб., третий год – выплата 40 тыс. руб., далее в течение следующих семи лет доход по 50 тыс. руб. Ставка дисконтирования
– 6% годовых.
11) Контакт предусматривает порядок использования кредитной линии:
1.07.2000 – 500 тыс. руб., 1.01.2001 – 150 тыс. руб., 1.01.2003 – 1800 тыс. руб.
Необходимо определить сумму задолженности на 01.01.2004 современную стоимость этого потока на начало срока при условии, что проценты начисляются по ставке 10% годовых.
12) График представляет следующий порядок выдачи ссуды по времени:
1.07.1999 – 5 млн. руб., 1.01.2000 – 15 млн. руб., 1.01.2002 – 18 млн. руб.
Найти сумму задолженности на начало 2003 года при ставке 5% годовых.
Определить современную стоимость на момент выплаты первой суммы.
13) График выдачи ссуд: 01.01.2000 – 50 тыс. руб., 1.01.2001 – 150 тыс. руб., 1.01.2003 – 180 тыс. руб. Найти сумму задолженности на 01.01.2004, если кредит выдан под 8% годовых?
14) Малое предприятие, решившие создать специальный фонд в размере
2,5 млн. руб. за 3 года, может выделить на эти цели в настоящее время 1,0 млн. руб. Определить величину годового платежа, если денежные средства можно вложить под 8% годовых.

42 15) Малое предприятие предлагает создать специальный фонд в размере
5,0 млн. руб. и имеется возможность вносить ежегодно в банке по 1,5 млн. руб. под 6% годовых. Определить срок для создания фонда.
16) Фирма предлагает покупателю свою продукцию на сумму 2,0 млн. руб. с условием ее оплаты в рассрочку в течение 2-х лет под 10% годовых платежей должны вноситься ежеквартально, проценты начисляются в конце года. Определить условия конверсии.
17) Фирма по торговле неподвижностью продает объект – 3,0 млн. руб.
При этом предлагаются следующие варианты оплаты: а) единовременная оплата; б) оплата в течение 2-х лет равными платежами, вносимыми в конце года под 9 %; в) оплата с отсрочкой платежа в один год, остальные условия аналогичные предыдущему варианту; г) оплата с отсрочкой в один год, но срок ренты возрастает до 3 лет.
Определить финансовые последствия для 3-х последних вариантов
18) Имеется соглашение о выплате немедленной годовой ренты сроком на 4 года. Величин годового платежа 2,0 млн. руб., процентная ставка 8%. По новому соглашению оплата производится с отсрочкой в два года, при сохранении предыдущего размера годового платежа. Определить срок новой ренты.
19) Предлагается к продаже объект недвижимости – 2,0 млн. руб. продавец выставил условия продажи: стоимость объекта погашается ежегодными равными платежами, вносимыми в конце года; срок погашения
– 4 года; выплаты процентов один раз в год по ставке – 6%. Покупатель предложил свои условия: платежи 2 раза в год, выплата процентов на каждый платеж по ставке - 8%. Срок выплат 6 лет. Определить величину рентного платежа, предложенного продавцом и покупателем.
20) Имеются три годовые ренты (немедленные, начислением процентов в конце периодов):
Параметры рент: R
1
= 200 тыс. руб.; n
1
=2г; i = 9%;

43
R
2
= 250 тыс. руб.; n
1
=4 г; i = 8%;
R
3
= 370 тыс. руб.; n
1
=5л; i = 7%.
Их предложено заменить одной годовой рентой с начислением процентов в конце периода, начало ее срока совпадает с началом срока всех заменяемых рент.
Определить величину рентного платежа консолидированной ренты, если ее срок будет 5 лет, а процентная ставка –
10%.
21) Объединяются три ренты по срокам: n
1
=7, n
2
=4, n
3
= 9 лет; рентные платежи по 500 тыс. руб., процентные ставки одинаковы – 8%. Член консолидированной ренты установлен – 1,5 млн. руб.; процентная ставка –
8%. Определить срок новой ренты.
4.9 Контрольные вопросы
1) Дайте определение:
- потока платежей;
- финансовой ренты
2) Перечислите параметры финансовой ренты (аннунтета)
3) По каким признакам классифицируются финансовые ренты
4) Назовите обобщающие характеристики финансовых рент, их содержание
5) Какова методика определения наращенной суммы аннунтета постнумерандо с ежегодными платежами
6) Содержание методики определения современной величины аннунтета постнумерандо с ежегодными платежами
7) Перечислите другие случаи финансовых рент. Методические особенности определения их наращенной и современной величин
8) В чем отличительные особенности определения наращенный и современной величин аннуитетов пренумерандо
9) Как определить параметры финансовых рент, если известны их обобщающие характеристики

44 10) Что понимается под переменным потоком платежей, особенности определения его обобщающих характеристик
11) Что понимается под нерегулярным потоком платежей, особенности определения его обобщающих характеристик
12) Дайте определение бессрочного аннуитета, какова методика определения его современной величины
13) Что понимается под конверсией аннуитетов, их причины
14)
Какие аннуитеты считаются эквивалентами, на каком методологическом принципе основаны расчеты параметров нового аннуитета
15) Перечислите наиболее распространенные случаи конверсии постоянных аннуитетов

45