финматематика учебно-мет. пособие. ФМ МП. Методическое пособие к практическим занятиям для студентов очной и заочной форм обучения по специальностям
 Скачать 0.9 Mb.
|
|
Тема 5. Планирование погашения долгосрочной задолженности 5.1 Планирование погашения долгосрочной задолженности Важное практическое приложение теории аннутентов – составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана погашения возникает необходимость в определение размеров платежей заемщика – выплаты процентов и выплаты по погашению основного долга при различных условиях погашения (амортизации, такие платежи носят название срочных уплат). В практике финансовых отношений заемщика и кредитора возможны следующие варианты погашения задолженности: 1) Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. В данном случае необходимо определить размер платежа при заданной процентной ставке (случай вечного аннутента). Размер платежа определяется из формулы современной величины вечного аннутента R = A *i c (5.1) 2) Погашение долга в один срок Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразнее бывает создание погасительного (амортизационного) фонда, для чего вносятся в банк определенные суммы, на которые начисляются проценты. Для дальнейшей записи формул введем обозначения: D – Основная сумм долга; g c – ставка процентов по займу, g - льготная процентная ставка, по которой предоставлен кредит; J – сумма процентов по займу; R – разовый взнос в погасительный фонд (годовые расходы по погашению основного долга) i c – ставка процентов на взносы в погасительный фонд; - срочная уплата, - величина срочной уплаты по льготной ставке; Общая сумма долга по формуле сложных процентов составит: ] 1 ) 1 /[( * ) 1 ( n c c n i i g D R (5.2) 46 3) погашение основго долга равными суммами (проценты периодически выплачиваются). Тогда на погашение постоянно идут платежи размером Д/n, а процентные выплаты ежегодно сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга. Для определения размера срочной уплаты и процентного платежа после любого (к-ого) года: n D g n k D к / * ] / ) 1 ( 1 [ (5.3) 4) Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат t R J cos n В данном варианте со временем составляющая «J» будет уменьшаться, так как уменьшается основная сумма задолженности. Соответственно составляющая «R» будет увеличиваться. Периодическая выплата постоянной суммы « » при заданной процентной ставке «g» в течение «n» лет является аннутентом с соответствующими параметрами. Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле: n g a D ; / (5.4) n g a ; - коэффициент приведения ренты) 5) Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уплаты могут изменяться в соответствии с некоторой закономерностью или задаваться графиком погашения. 6) На практике часто встречается случай, когда заранее задаются размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода. 7) Возможно изменение условий погашения кредитов (конверсия займа). При этом могут изменяться срок погашения займа, процентная ставка, порядок годовых выплат и т.д. При любом методе конверсии первоначально определяется сумма выплаченного основного долга и величина непогашенной его части. Непогашенная часть долга рассматривается как новый долг, подлежащий уплате на новых условиях. 47 8) В финансовой практике может возникнуть ситуация, когда кредитору, предоставившему несколько займов одному заемщику, удобно объединить эти займы в один, то есть произвести их консолидацию. Первым шагом при консолидации займов является нахождение величин остатков каждого долга. Рассчитав остатки долгов и просуммировав их, получают объединенный долг, на который составляется новый план погашения. 9) Иногда долгосрочные кредиты выдаются на льготных условиях (политические, социальные или иные соображения). Как правило, в данном случае кредит предоставляется по ставке значительно ниже рыночной на данный момент. В результате предоставления подобной льготы заемщик фактически получает субсидию. Кредитор же теряет определенную сумму в результате этой сделки. Эта добровольно упущенная выгода кредитора называется грант – элементом. Он может быть подсчитан в виде абсолютной или относительной величины. Абсолютный гран-элемент определяется по формуле: i i i W n n * ) 1 ( 1 ) 1 ( * ) ( 1 (5.5) где абсолютный грант-элемент может быть определен как разность между номинальной суммой (D) кредита и современной величиной погасительных платежей и выплаченных процентов (G), то есть: G D W (5.6) Относительный гран элемент равен: G W (5.7) 10) Погашение ипотечной ссуды. При составлении плана погашения ипотечной ссуды решаются задачи, аналогичные погашению долгосрочных займов, - определение размеров срочных уплат и остатка задолженности на любой момент времени. Например, погашение равными ежемесячными срочными уплатами: 1 ) 1 ( ) 1 ( * * m j m j m j D mn (5.8) где D – сумма долга, р=m число выплат и начисления процентов; 48 n – число лет, на которые предоставлен кредит. Расчет оставшейся суммы основного долга в любой (к-й) расчетный период можно произвести по формуле: 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( * 1 mn k mn k m j m j m j D D (5.9) 5.2 Условия задач 1) Кредит в размере 2 млн. руб. выдан на 5 лет под 8% годовых. По условиям контракта погашение основного долга должно производиться равными платежами, начисление процентов на остаток долга в конце года. Составить план погашения кредита в виде таблицы, в которые указать календарные периоды, величину основного долга на начало каждого года, процентные платежи, годовые расходы по погашению основного долга, годовую срочную уплату. 2) Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 3 млн. руб. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Начисление процентов производится раз в год. Составить в виде таблицы план погашения долга. 3) Кредит размером 4 млн. руб. выдан на 5 лет под 5% годовых с начислением процентов в конце каждого расчетного периода (года). Выплаты основного долга должны возрастать ежегодно на 100 тыс. руб. Составить план погашения кредита. 4) Долг в размере 5 млн. руб. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года: 0,5 млн. руб., 1,0 млн. руб.; 2 млн. руб., 1,0 млн. руб. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка – 5% годовых. План погашения долга оформить в виде таблицы. 5) Кредит в сумме 40 млн. руб., выданный на 5 лет под 6% годовых, подлежит погашению равными ежегодными выплатами в конце каждого 49 года. Проценты начисляются в конце года. После выплаты третьего платежа между кредитором и заемщиком достигнута договоренность о продлении срока погашения займа на 2 года и увеличении процентной ставки с момента конверсии до 10%. Необходимо составить план погашения оставшейся суммы долга. 6) Банком предприятию было предоставлено два кредита. Первый – в размере 2,0 млн. руб. под 8% годовых, должен погашаться равными полугодовыми выплатами в течение 6 лет, начисление процентов по полугодиям. Второй – 1,5 млн. руб. со сроком погашения 4 года, ставка 12%, капитализация ежегодная. После выплаты в течение двух лет два долга объединяются в один на следующих условиях: консолидированный долг имеет срок погашения 8 лет, погашение производится равными полугодовыми срочными выплатами, процентная ставка – 14%, капитализация полугодовая. Определить величину полугодовой срочной уплаты. 7) Фирма получила кредит 5,0 млн. руб. на 4 года под 8% в банке «А». Кредитный контракт предусматривается погашение долга разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма начала создавать погасительный фонд, для чего открыла счет в банке «Б». На размещенные средства банк «Б» начисляет 10% годовых. Определить ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при условии, что в погасительный фонд вносятся ежегодно равные суммы. План погашения кредита оформить в виде таблицы. 8) Фирма получила кредит в сумме 60 тыс. долл. сроком на 4 года под 6% годовых (простые проценты). Для погашения долга решено создать фонд, взносы в который должны поступать в конце каждого года, причем каждый взнос должен возрастать на 0,5 тыс. дол. На взносы погасительного фонда начисляются сложные проценты по ставке 7% годовых. Составить план погашения долга в виде таблицы. 9) Льготный заем в размере 10 млн. руб. выдан на 10 лет под 4% годовых. Предусматривается погашение долга равными срочными уплатами. 50 Известно, что обычная рыночная ставка для того срока займа равна 8%. Определить относительный и абсолютный грант элемент. 10) Под залог недвижимости выдана на 10 лет ссуда в размере 100 млн. руб. Погашение ежемесячное постнумерандо, на долг начисляются проценты по номинальной ставке 12%. Составь план погашения долга. 5.3 Контрольные вопросы 1. Задачи и содержание количественного анализа долгосрочной задолженности 2. Понятие срочной уплаты, условия влияющие на определение размера 3. Цель и методы создания погасительного фонда 4. Перечислите способы погашения долгосрочной задолженности 5. Методика погашения займа равными выплатами основного долга 6. Погашение долга равными срочными уплатами 7. Погашение займа переменными выплатами основного долга 8. Реструктурирование займа (конверсия, консилидация) 9. Особенности и показатели расчета льготных займов и кредитов 10. Виды и особенности погашения ипотечных ссуд. 51 Тема 6. Измерение доходности финансовых операций Доходы от финансово-кредитных операций и различных коммерческих сделок имеют различную форму: проценты от выдачи ссуд, комиссионные, дисконт при учете векселей, доходы от облигаций и других ценных бумаг и т. д. Абсолютная величина дохода еще не свидетельствует об эффективности финансовой операции. Само понятие «доход» определяется конкретным содержанием операций, в одной операции может быть два, а то и три источника дохода. Измерение и сравнение степени доходности финансово-кредитных операций заключается в разработке методик расчета условной годовой ставки для каждого вида операций с учетом особенностей соответствующих контрактов и условий их выполнения. Условная (расчетная) ставка получила различные названия. В простых депозитных и ссудных операциях она называется «эффективной», в расчетах по оценке облигаций - «полной доходностью». В анализе производственных инвестиций применяется термин внутренняя норма доходности или внутренняя норма процента. Для всех финансовых операций под полной доходностью следует понимать расчетную ставку процента, при которой капитализация всех видов доходов от операции равна сумме инвестиций или начисления процентов на вложения по ставке, равной полной доходности, обеспечивает выплату всех предусмотренных платежей. 6.1 Доходность ссудных, учетных операций и финансовых инструментов Без учета комиссионных удержаний доходность ссудных операций измеряется эквивалентной годовой ставкой сложных процентов. Однако кредиторы из суммы выдаваемой ссуды удерживают различные выплаты. В силу этих причин плата за кредит для заемщика повышается, а доходность кредитора возрастает. Возможны следующие варианты определения доходности: 52 1) 1 1 1 1 n n э g ni i (6.1) i э – доходность в виде сложной процентной ставки i п – ставка простых процентов g– относительная величина комиссионных в сумме кредита n – срок выдачи ссуды 2) доходность в виде ставки простых процентов при выдаче ссуды под простые проценты 1 1 1 n n эп g ni i (6.2) 3) доходность по сложной процентной ставке, если ссуда выдается под сложные проценты (i с ) 1 1 1 n c э g i i (6.3) 4) доходность по сложной процентной ставке в учетные операции по простой учетной ставке (d) 1 1 1 n э g nd i (6.4) n – срок, определяемый при учете долгового обязательства. 5) показатель полной доходности в виде простой ставки: 1 1 1 n g nd i эп (6.5) Краткосрочные финансовые инструменты денежно-кредитного рынка (векселя, депозиты, сертификаты и др.) могут быть проданы до наступления срока их оплаты. Владелец при этом получает некоторый доход (а иногда и убыток). Доходность купли-продажи векселя (в виде ставки простых процентов) определяется по формуле: 2 1 1 1 2 * t t k P P P i эп (6.6) или 53 2 1 1 1 2 2 * 1 1 1 t t k k d t k d t i эп (6.7) где Р1 – цена в момент покупки Р2 – цена продажи векселя d 1 и t 1 – учетная ставка и количество дней покупки векселя до наступления срока; d 2 и t 2 – количество дней до погашения векселя, когда он был продан по ставке d 2 Доходность купли-продажи в виде сложной процентной ставки: 1 ) ( 365 1 2 2 1 t t э P P i (6.8) или 1 ) ( 365 1 1 2 2 2 1 t t э d t k d t k i (6.9) Доходность владения сертификатом за какой либо период в случае, если он покупается по номиналу, а продается за t 2 дней до погашения определяется формулой (6.6), если расчет исходит из цен сертификата. В случаях, когда в качестве исходных параметров взяты процентные ставки, то 2 1 2 2 1 1 * 1 * 1 * 1 t t k i k t i k t i п э (6.10) В случаях, когда измерителем эффективности выступает сложная процентная ставка и заданы цены – формула (6.3), если расчет основан на уровнях процентных ставок, то 1 ) /( 365 2 2 1 1 2 1 t t э i t k i t k i (6.11) Если сертификат покупается после выкупа и погашается в конце срока, по формулам: 2 2 1 1 1 * 1 1 t k P i k t P i эп (6.12) 54 1 1 2 / 365 2 1 1 t э p i k t P i (6.13) Если сертификат покупается и продается в пределах объявленного срока по формулам 6.6 и 6.11 Возможны упрощенные метода измерения доходности для долгосрочных ссуд по формуле: 1 Т э P D i (6.14) где D – номинальная сумма долгового обязательства Р – цена его покупки Т – средний срок обязательства 6.2 Доходность облигаций Облигация – ценная бумага, удостоверяющая отношения займа между кредитором – владельцем облигации и должником – эмитентом облигации. Облигация удостоверяет внесение ее владельцем денежных средств и подтверждает обязательство возместить ему номинальную стоимость облигации в заранее установленный срок с уплатой фиксированного процента. Методика расчета доходности облигаций зависит от их вида: а) облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов: - текущая доходность 100 * k P N i t или 100 * k P N i t (6.15) где P – рыночная цена облигации N – номинал облигации – курс облигации δ – норма доходности по купонам ρ – количество выплат по купонам в течении года 55 - полная доходность (ставка помещения): 1 1 1 100 * 1 t m i k i (6.16) б) облигации без выплаты процентов - в конце срока обращения 1 1 100 1 n m k i (6.17) - выкупная цена облигации отличается от номинала 100 * 100 k n k i m (6.18) в) облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока (i t =0) 1 100 1 k i m (6.19) г) облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока (приближенная оценка) 2 100 1 100 1 k n k i m (6.20) д) средний арифметический срок поступление средств n n T 1 1 2 1 (6.21) е) средний срок дисконтированных платежей 100 * k t D n t i i (6.22) где ν - коэффициент дисконтирования 6.3 Кривые доходности Для решения практических вопросов (т.е. эффективного вложения денежных средств) важно представить себе закономерность изменения величины доходности (процентных ставок) в зависимости от факторов 56 финансового рынка. Наиболее важным из них является риск невозврата вложенных средств. Очевидно также, что подобного рода риск существенно зависит от срока ссуды. Компенсировать риск владельцу денег может повышение ожидаемой доходности (т.е. договорной процентной ставки). Таким образом, зависимость «доходность-риск» приближенно можно охарактеризовать с помощью зависимости «доходность-срок», определить которую для практических целей существенно проще. Такую зависимость, предоставленную в виде графика, называют кривой доходностью. Кривые доходности обычно строятся раздельно для кратно, средне и долгосрочных операций и финансовых инструментов. Наблюдаемые значения доходности обычно находятся около кривой или непосредственно на ней. Конкретная кривая доходности отвечает реальной ситуации сложившейся на денежно кредитном рынке, и характерна для короткого временного периода. Изменение ситуации меняет форму кривой и ее положение на графике. В финансовых изданиях приводятся такие кривые. Кривые доходности получили широкое распространение как инструмент анализа, помогающий при решении рода инвестиционных проблем, при сравнении доходности ценных бумаг в зависимости от срока, остающегося до их погашения. При использовании кривой доходности ценных бумаг различают спотовую (текущую) и форвардную процентные ставки. Спотовая процентная ставка для периода в N лет – это ставка для бескупонной облигации, до погашения которой остается N лет. Форвардная процентная ставка - это ставка для периода в будущем, которая определяется ставкой спот. 6.4 Условия задач 1) При выдаче ссуды на 210 дней под 12% годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? 57 2) Вексель учтен по ставке 10% за 120 дней до его оплаты. При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5%. Какова эффективность операции в виде годовой ставки сложных процентов? (с комиссионными и без них). 3) Вексель куплен за 150 дней до его погашения, учетная ставка 5%. Через 30 дней его реализовали по учетной ставке 4,5%. Определить эффективность в виде простой и сложной годовой ставки процентов, допустимый предел для учетной ставки, приемлемой для продажи векселя? 4) Выдан кредит на 5 лет под 5% годовых (сложные проценты). При выдачи кредита удержаны комиссионные в размере 0,5% от суммы кредита. Определить повышение стоимости кредита для заемщика в результате взимания комиссионных платежей. 5) Куплен сертификат за 1200 тыс. руб. за 150 дней до его выкупа. Через 90 дней он был продан за 1250 тыс. руб. Какова доходность в виде простой и сложной ставок? 6) Сертификат, приносящий постоянные проценты, куплен за 210 дней до срока его погашения и продан через 90 дней. В момент покупки ставка на рынке была – 9%, в момент продажи 8,5%. Какова доходность операции купли-продажи в виде годовой ставки сложных процентов? 7) Сертификат с номиналом 200 тыс. руб. с объявленной доходностью 10% годовых (простые проценты) сроком 540 дней. Куплен за 210 тыс. руб. за 210 дней до его оплаты. Какова доходность операции в виде сложной ставки процентов? 8) На два года выдана ссуда 1 млн. руб. по 8% годовых, проценты выплачиваются ежегодно. При выдаче суды сделана скидка в пользу владельца денег в размере 3%. Определить доходность операции для кредитора в виде годовой ставки сложных процентов. 9) Определить значение ставки по данным предыдущей задачи, если задолженность погашается равными платежами. 10) Операция характеризуется следующими данными: долговое обязательство – 1 млн. руб., покупается по цене 750 тыс. руб., срок долгового 58 обязательства 5 лет. Оценить доходность погашения задолженности для двух вариантов: постнумерандо и пренумерандо. 11) По облигации номинальной стоимостью 10,0 тыс. руб. в течение 10 лет (срок до его погашения) будут выплачиваться ежегодно в конце года процентные платежи в сумме 1,0 тыс. руб. (σ = 6%), которые могут быть помещены в банк по 8% годовых. Определить цену облигации при разных процентных ставках: 6% и 5%. 12) По данным задания 1 определить показатели текущей и полной доходности. 13) Корпорация выпустила облигации с нулевым купоном с погашением через 5 лет. Курс реализации 50. Определить доходность на дату погашения. 14) Облигация, приносящая 6% годовых относительно номинала, куплена по курсу 70, срок до погашения 3 года. Какова полная доходность облигации, если номинал и проценты выплачивают в конце срока? 15) Банк выпустил облигации со сроком погашения 10 лет. Начисление на номинал составляет 6% годовых. Проценты и номинальная стоимость выплачиваются при погашении. Определить доходность облигации (ставку помещения), если ее курс при первоначальной реализации составил: 110; 90. 16) Допустим инвестор должен инвестировать некоторую сумму денег на 4 года. В силу ряда причин у него есть только два варианта для этого: разместить эту сумму на депозита сразу на весь срок или сначала на 3 года, а затем на 1 год. Пусть уровни ставок следуют нормальной кривой доходности: по 3-х летним данным – 10%, по 4-х летним 10,5% сложных годовых. Размер ставки для депозита на последний год в момент принятия решения неизвестен. Какой вариант размещения средств должен выбрать инвестор? 17) Ставка спот на один год составляет 10%, на два -11%. Купонная облигация с номиналом 8% до погашения которой остается три года продается по цене 916 руб. Определить ставку спот для трех лет. 18) Ставка спот на один год составляет 8% на два – 10%. Определить форвардную ставку для второго года, т.е. ставку спот, которая будет на 59 рынке через год для бескупонной облигации выпущенной на год (например, номиналом 5 тыс. руб.). 19) Облигация со сроком 5 лет, проценты по которой выплачиваются раз в год по норме 5%, куплена по курсу 80. Определить текущую и полную доходность облигации. 20) Облигация номиналом 1000 руб. выпущена со сроком погашения через 4 года. Ежегодно по купонам выплачивается 6% от номинала. Определить средний срок облигации при выплате по купонам 1 раз и дважды. 21) Найти средний арифметический срок для облигаций с выплатами по купонам 5 и 6% от номинала, срок облигаций 10 лет. 22) Облигация выпущена сроком на 4 года. Ежегодно выплачивается по купонам 6% годовых. Рыночная процентная ставка 7%. Курс облигации 95. Определить средний срок дисконтированных платежей. 23) По данным задачи 9 рассчитать показатель изменчивости. Определить как изменится цена облигации если рыночная процентная ставка возрастет с 7 до 8%. 6.5 Контрольные вопросы 1. Что понимается под доходностью, какие формы могут иметь доходы? 2. Как измеряется степень доходности, название ставок доходности? 3. Назовите варианты определения доходности ссудных операций, формулы расчета. 4. Формулы расчета доходности учетных операций 5. Методика расчета доходности финансовых инструментов 6. Упрощенные формулы измерения доходности 7. Перечислите показатели доходности облигаций, их содержание 8. Как различаются методики расчета доходности облигаций в зависимости от их вида? 60 9. Раскройте содержание среднего арифметического срока платежей, формула расчета 10. Особенности расчета среднего срока дисконтированных платежей 11. Каково понятие кривой доходности, ее использование 12. Дайте определение ставки спот и форвардный ставки, их назначение |