финматематика учебно-мет. пособие. ФМ МП. Методическое пособие к практическим занятиям для студентов очной и заочной форм обучения по специальностям
 Скачать 0.9 Mb.
|
|
Тема 2. Сложные проценты В долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяется к сумме долга, для определения суммы долга, как правило применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов ( в отличии от простых) не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени, и процесс роста первоначальной суммы ссуды ( ее наращение) происходит с ускорением. Происходит вычисление «процента на процент» или капитализация процентов. 2.1 Наращение и дисконтирование по сложным процентным ставкам: - число периодов наращения целое число лет расчет ведется по формуле: S= P(1+i) n (2.1) где (1+i) n – множитель наращения (декурсивный коэффициент, показывающий конечную стоимость одной денежной единицы); - меняющиеся во времени, но фиксированные процентные ставки: S=P(1+i 1 ) n1 * (1+i 2 ) n2 …(1+i k ) nk (2.2) где i 1, i 2 …i k – последовательные значения ставки процентов; n 1, n 2 …n k - периоды, в течении которых действуют соответствующие ставки; - когда число периодов дробное число лет, то расчет ведется по формуле (2.1) или смешанным методом: S=P(1+i) a *(1+bi) (2.3) где n = a+b; a – целое число лет, b - дробная часть года; - если число периодов начисления в году несколько(m 1 ), то расчет ведется по номинальной ставке: S=P(1+j/m) mn (2.4) где j – годовая ставка при «m» - разовом начислении в году (номинальная ставка); или по эффективной ставке S=P(1+i э ) n (2.5) 18 где i э – эффективная (эквивалентная номинальной) ставка, дающая тот же финансовый результат, что и «m» - разовое наращение в год по ставке j/m: i э =(1+j/m)-1 (2.6) Формулы математического дисконтирования выводятся путем решения формул наращения (2.1; 2.4) относительно величины «P». P= S/(1+i) n (2.7) P=S/(1+j/m) mn (2.8) Где 1/(1+i) n и 1/(1+j/m) mn – дисконтные (учетные) множители, Д=S-P – дисконт суммы «S» 2.2 Дисконтирование и наращение по сложным учетным ставкам Процесс дисконтирования по сложной учетной ставке (в отличие от простой) происходит с замедлением, так как на каждом шаге во времени учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, а к сумме уменьшенную на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге. P=S (1-d c ) n (2.9) где d c – сложная учетная ставка, (1-d c ) n – дисконтный множитель, показывающий какую часть первоначальная сумма составляет в наращенной сумме. Если дисконтирование производится «m» раз в году применяют номинальную учетную ставку (f) P=S (1-f/m) mn (2.10) или эффективную учетную ставку эквивалентную номинальной при заданном значении «m» d c =1-(1-f/m) m (2.11) Наращение по сложным процентам учетным ставкам ведется по формулам: S=P/(1-d c ) n (2.12) и S=P/(1-f/m) mn (2.13) 19 полученным в результате решения зависимости (2.9 и 2.10) относительно «S» (сложные антисипативные проценты). 2.3 Непрерывное наращивание и дисконтирование Для адекватного описания сложных, непрерывных производственных и хозяйственных явлений, для их финансово-экономического анализа применяют непрерывное наращение и дисконтирование. При непрерывном наращении применяются особый вид процентной ставки – сила роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечном малом промежутки времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени. Наращенная сумма определяется: S = P e бп (2.14) где б – постоянная сила роста которая представляет собой номинальную (j) ставку процентов при m = ∞; e – основание натурального логарифма или число Эйлера равное – 2.73 Современная величина платежа определяется путем решения уравнения (2.14) относительно «Р»: Р =S e _ бп (2.15) 2.4 Определение срока платежа и процентных ставок При разработке финансовых операций возникает необходимость решения обратных задач относительно наращения и дисконтирования – определение продолжительности ссуды, числа периодов наращения, ставки процентов или учетной ставки. Для этого необходимо решить уравнения, связывающие величины S и Р, относительно неизвестных в каждом случае величин. ) 1 ( / i oq P oqS n - при наращении по сложной годовой ставке; (2.16) ) / 1 ( / m j oq m P oqS n - при наращении по номинальной ставке; (2.17) 20 ) 1 ( / dc oq S oqP n - при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке; (2.18) ) / 1 ( / m f oq m S oqP n - при дисконтировании по номинальной учетной ставке; (2.19) P nS n / - при наращении по постоянной ставке непрерывных процентов; (2.20) Соответственно определяются ставки: Ic = (S/P) 1/n – 1 (2.21) j = m ((S/P 1/mn -1)) (2.22) dc = 1- (P/S 1/n ) (2.23) f = m (1-P/S 1/mn ) (2.24) σ = n P nS / (2.25) 2.5 Наращение процентов и инфляция В приведенных выше формулах (2.1; 2.2; 2.3; 2.4) все величины измерялись по номиналу, не принималось во внимание реальная покупательная способность денег, то есть последствия инфляции. В финансовых расчетах используются два способа учета инфляции: 1) Корректировка первоначальной суммы на индекс инфляции: J u = (1 + L) n (2.26) где L – прирост инфляции; С = P (1 + i) n (1+ L) -n = P n L i 1 1 (2.27) где С – реальная наращенная сумма, [(1 + i) / (1+ L)] n – множитель наращения с учетом инфляции. 2) Индексация ставок процентов: Z = I + L + I + i (2.28) где Z - брутто-ставка с поправкой на инфляцию. 21 2.6 Условия задач 1. В какую сумму обратиться долг СХПК «Труженик», равный 100 тыс. руб. через 5 лет при росте в сложной ставке 6%. 2. Определять будущую стоимость капитала, если первоначальная его стоимость 10 млн. руб., срок инвестирования 5 лет, ставка процента5 % годовых. 3. Кредит в размере 300 тыс. руб. выдан агрофирме «Труд» на срок 2 года и 90 дней. Обусловлена ставка 5 % и смешанный способ начисления процентов. Какой будет сумма долга к концу срока контракта? 4. Инвестор располагает свободным капиталом в 1200 т.р. и желает положить эту‚ в банк на депозит сроком на 2 года. Имеются 2 варианта размещения денег: 1) банк «Ост» предлагает условия на 2 года депозитного срока начисляется ежегодно доход из расчета 10 годовых; 2) банк «Вест» предлагает вариант - срок депозита 2 года, доход начисляется ежеквартально из расчета 8% годовых. Какой вариант следует выбрать инвестору? 5. Первоначальная сумма ссуды, выданной фирме «Колос», составляет 200 тыс. руб., срок 5 лет, проценты начисляются в конце каждого квартала, номинальная ставка 5%. Определить наращенную сумму ссуды. 6. Необходимо определить современную величину 500 тыс. р., которые будут выплачиваться через 3 года. При расчете применяется ставка сложных процентов, равная 6%. 7. Определить сумму вклада сегодня, чтобы через 2 года иметь накопления в размере 10000 руб. Годовая ставка рефинансирования ЦБ 10%. 8. Какова сумма дисконта при продаже ценных бумаг на сумму 500 тыс. руб., если срок их погашения 3 года. Применяется сложная годовая учетная ставка равная 4%. 9.Обязатсльство, взятое приусадебным хозяйством «Бекон», равное 200 тыс. руб. должно быть через 5 лет, учетная ставка – 6%, начисление дисконта поквартальное. Найти современную величину обязательства и эффективную учетную ставку. 22 10. Найти наращенную сумму долга, взятого фирмой «Рожь», первоначальная сумма которого составляет 100 тыс. руб. Срок погашения 2,5 года, наращение по учетной ставке ежеквартальное, ставка – 6%. 11. Первоначально выданная агрофирме «Колос» сумма ссуды равна 100 тыс. руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 10% годовых. Решить этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно. 12. Первоначальная сумма долга, выданная банком предприятию «Сыродел», равняется 200 тыс. руб. Определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способа начисления процентов. Годовая ставка 10%. 13. За какой срок первоначальный капитал в 50 тыс. руб. увеличится до 200 тыс. руб., если: а) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 10% годовых; б) проценты будут начисляться ежеквартально? 14. Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал вырос в 1,5 раза за 2 года? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям. 15. В условиях выпуска сертификата Сбербанка 100 тыс. руб. предусмотрен выкуп суммы, зависящей от срока хранения. При пятилетнем сроке выплачивается 1,4; при десятилетнем 2,6 первоначальной суммы. Каковы значения годовых сложных ставок процентов, дающих такое наращение? 16. Вексель выписан на срок 2 года. Какая должна быть учетная ставка, чтобы при учете векселя владелец получил 90% его суммы? 17. Кредит в размере 2 млн. руб. выдан на 2,5 года; реальная доходность должна составляет 8% годовых; предполагаемых уровень инфляции 10 % в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, наращенную сумму. 18. Определить недостающие показатели финансовых сделок, в которых применялись сложные проценты: 23 № варианта первоначальная величина вклада, тыс. руб. процентная ставка за период, % количество период начисления величина вклада в конце срока 1 300 2 12 ? 2 500 6 5 ? 3 500 5 ? 4650 4 400 ? 20 13300 5 250 ? 9 2650 6 ? 10 30 8725 19. Кредит в 5 млн. руб. выдан на 2 года под реальную годовую ставку 8%, прогноз прироста инфляции 12% в год. Какова наращенная сумма долга с учетом инфляции. 20. Петров через один год оканчивает школу и намерен получить образование в высшем учебном заведении. На каждый год учебы (5лет) ему необходимо 50 тыс. руб. Родители Петрова намерены поместить некоторый капитал в банк под 8% годовых с тем, чтобы в конце каждого года снимать со счета проценты в размере требуемой суммы. Определить величину первоначального капитала. 2.7 Контрольные вопросы 1) Каковы отличительные особенности начисления сложных процентов по сравнению с простыми? 2) Обоснование формулы наращивания сложных годовых процентов 3) Как определить наращенную сумму при меняющихся во времени фиксированных ставках? 4) Каково соотношение между множителями наращения простых и сложных процентов 5) Способы определения наращенной суммы при дробном числе лет 6) Понятие годовой номинальной и эффективной ставок процентов. Соотношение между номинальной и эффективными ставками. 7) Формулы наращения по номинальной ставке процентов при полном и неполном числе периодов. 8) Математический учет по сложным процентным ставкам 9) Понятие годовой, номинальной и эффективной учетных ставок. Соотношение между номинальной и эффективной учетной ставками. 24 10) Как производится дисконтирование (формулы) по различным учетным ставкам; 11) Почему (доказать) учетная ставка отражает фактор времени более «жестко» 12) Особенности наращения и дисконтирования по непрерывным процентным ставкам 13) Определение срока платежа при прочих заданных условиях 14) Определение размера процентной ставки при прочих заданных условиях 15) Способы учета инфляции при наращении процентов. 25 Тема 3. Финансовая эквивалентность обязательств 3.1 Эквивалентность ставок Если разнородные процентные ставки в конкретных условиях сделки приводят к одному в тому же финансовому результату, то в этом случае они являются эквивалентными. Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Соотношения между ставками определяется на основе уравнения эквивалентности (приравнивание множителей наращения) Эквивалентность простых ставок: i = d / (1-nd) (3.1) d = i / (i+ni) (3.2) Эквивалентность простых и сложных процентных ставок: i n =[(1+i c ) n -1]/n (3.3) i c =[(1+ni) 1/n -1 (3.4) i c =[(1+j/m) mn -1]/n (3.5) j =m [(1+ni) 1/mn -1] (3.6) i n =[(1+nd) -1/n -1 (3.7) d = 1/n [1-(1+i) -n ] (3.8) j =m (1- nd) -1/mn -1 (3.9) d = 1/n [1-(1+j/m) -mn ] (3.10) Эквивалентность сложных ставок: Количество периодов наращения в данном случае (в отличие от предыдущих) не оказывает влияние на эквивалентность ставок. i c =d c / (1- d c ) (3.11) d c = i c / (1+ i c ) (3.12) Эквивалентность ставок при разных начальных условиях (Р 1 ≠Р 2 ) i c = 2 1 2 1 ) 1 )( / n n c d P P -1 (3.13) d c = 1- 1 2 2 1 ) 1 )( / n n c i P P (3.14) 26 i o = 1 2 2 1 / n n S S -1 (3.15) где i o - уравнивающая ставка, когда Р 1 =Р 2 3.2 Средние процентные ставки Когда процентные ставки изменяются во времени, тогда эквивалентная им ставка представляет собой среднюю ставку, приносящую за определенный период тот же доход. Пусть за периоды n 1 , n 2 , …. Начисляются простые проценты по ставке i 1 , i 2 …… Тогда - по средней арифметической взвешенной i = N i n t t * (3.16) При начислении процентов по ставке d 1 , d 2 , …. - по средней арифметической взвешенной 1 d = N d n t t * (3.17) Если начисление производится на основе последовательных фиксированных ставок сложных процентов i 1 , i 2 …, которые начисляются в интервалах, равных n 1 , n 2 , …, то расчет ведется по средней геометрической взвешенной. c i = [(1+i 1 ) n1 (1+i 2 ) n2 ….(1+i k ) nk ] 1/N - 1 (3.18) 3.3 Изменение условий контрактов Иногда возникают случаи, когда необходимо заменить одно финансовое обязательство другим (например, с более отдаленным сроком платежа), объединить несколько обязательств в одно (консолидировать платежи). Условия контракта должны изменяться исходя из принципа финансовой эквивалентность обязательств, которая предполагает неизменность (эквивалентность) финансовых отношений до и после изменения условий. 27 Общий метод решения: разработка уравнения эквивалентности, в котором сумме заменяемых платежей, приведенных к какому-либо одному моменту времени, приравнена сумма платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. 2 постановки задач по изменению условий контрактов: 1)консолидирование задолженности (объединение) 2) сбалансированное изменение сроков платежей Постановка 1: пусть платежиS 1 , S 2 , …. S m со сроками n 1 , n 2 , …. n m , объединяются в один в сумме S o в сроком n o . Тогда в общем случае S o находим как сумму наращенных или дисконтированных платежей S o = ∑Sj (1+t j i) + ∑S k (1+t k i) -1 (3.19) где S o – сумма нового платежа; Sj – суммы объединяемых платежей со сроками n j , n j S k – суммы объединяемых платежей со сроками n k , n k >n 0 t i = n 0 - n j t k = n k - n 0 Консолидировать платежи можно и на основе учетной ставки (при объединении векселей): j k k k j j d t S d t S S 1 1 1 0 (3.20) Консолидация на основе сложной ставки процента j k t c k t c j k i S j t S S 1 1 0 (3.21) Постановка 2: определение срока консолидированного платежа при заданной сумме. 1) на основе простой ставки процента: n o = 1/i (S 0 /P 0 -1), S 0 >P 0 (3.22) 2) на основе учетной ставки процента: n o = 1/d (1- P 0 / S 0 ) (3.23) 3) на основе сложной ставки процента: ) 1 lg( ) / lg( 0 i Q S n o (3.24) 28 где P 0 , Q - современные величины объединяемых платежей При общем случае изменения условий контракта Расчет S 0 определяется на основе уравнения эквивалентности, в котором сумма приведенных платежей по старым условиям контракта равна сумме приведенных на тот же момент времени платежей по новому (измененному) соглашению. ∑S q *V nq = S q * V nk (3.25.) S q *V nq = S q * V nk S k - ряд заменяемых платежей со сроками n k S q - платежи со сроками n q , предусматриваемые новыми условиями V - дисконтный множитель. 3.4 Учет инфляционного обесценения денег Инфляция - потеря покупательской способности денег. Влияние инфляции различно для участвующих в сделке сторон: если кредитор теряет часть дохода за счет обесценения денежных средств, то заемщик имеет возможность погасить задолженность деньгами сниженной покупательской способности. Учет инфляции в финансовых расчетах в основном производится при помощи корректировки процентных ставок на индекс инфляции (J u ): - простая процентная ставка n u ni i 1 ) 1 ( (3.26) - учетная ставка un nd u d 1 (3.27) - сложная ставка процента i cα = (1+i c ) u 1/n - 1 (3.28) 29 - номинальная ставка процента j α =m[(1+j/m) u 1/mn – 1] (3.29) - сложная учетная ставка n с c u d d / 1 1 1 (3.30) - номинальная учетная ставка с начислением m раз в год mn u m f m f / 1 / 1 1 (3.31) Зная процентную ставку с учетом инфляции, можно определить реальную процентную ставку: - простая процентная ставка un u ni i 1 (3.32) - сложная ставка процента n с c u i i / 1 1 (3.33) - номинальная ставка процента mn mn u u m j / 1 / 1 ) 1 ( j (3.34) 3.5 Условия задач 1) Срок уплаты по долговому обязательству - полгода, учетная ставка 10%. Какова доходность данной операции,измеренная в виде простой ставки ссудного процента? 2) Определить эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка равна 16% и начисление процентов происходит ежемесячно. 3) Определить под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 100 тыс. рублей на пять лет: а) под простую ставку процентов 20% годовых б) под сложную ставку 10% при ежеквартальном начислении? 30 4) Рассчитать номинальную ставку процентов. которая обеспечивала бы годовую доходность в 16%, если начисление происходит ежемесячно. 5) Капитал взят в кредит под сложную ставку ссудного процента 20% годовых. Для расчета с кредиторами необходимо выплатить 300 тыс. руб. через два года или 450 тыс. руб. через три года. Какой вариант предпочтительнее? 6)В контракте предусматривается начислять простые проценты 10%, 12%, 15% за интервалы времени (в годах) 0.5, 1.0, 0.5. Какова реальная средняя ставка? 7) Найти среднюю ставку при условии, что процентные ставки по ссуде определены в 10% первые три года, 7% следующие два года, 5% один год? 8) Решено консолидировать 3 платежа со сроками 15.05, 15.06, 15.08. Суммы платежей 10, 20, 15 тыс. руб. Обусловлено применение простой процентной ставки – 20%. Срок консолидированного платежа 1.08. Определить размер консолидированного платежа. 9) Два векселя со сроками 10.06 (10 тыс. руб.) и 01.08. (20 тыс. руб.) заменяются одним с продлением срока до 01.10. Определить сумму нового векселя, если при объединении векселей применена учетная ставка 10%. 10) Платежи в размере 10, 20, 15 тыс. руб. уплачиваются через 50, 80, 150 дней после некоторой даты. Решено заменить их одним платежом равным 50 тыс. руб. Найти срок консолидированного платежа, при условии i = 10%. 11) Имеются платежи 100, 200, 150 тыс. руб., сроки этих платежей 2, 3, 5лет; объединяются в один в размере 500 тыс. руб. по ставке - 10%. . Определить срок нового платежа. 12) Существует обязательство произвести платеж через 5 лет, первоначальная сумма долга 1000 тыс. руб. Проценты начисляются ежегодно по ставке - 5%. Стороны согласились пересмотреть соглашение. Обязательство будет погашено следующим образом: через два года производится выплата 30 тыс. руб., а остальной долг гасится через 4 года после выплаты 300 тыс. руб. Необходимо определить сумму окончательного 31 платежа. Для решения задачи использовать четыре варианта уравнений эквивалентности, когда в качестве момента на которые приводятся платежи приняты: а) начало срока обязательства; б) момент уплаты 300 тыс. руб.; в) момент платежа по старому обязательству; г) конец срока нового обязательства. 13) Кредит в размере 50 тыс. руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 10 % годовых по сложной ставке. Ожидаемый прирост инфляции составляет 3% в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму. 14) Первоначальный капитал в размере 200 тыс. р. выдается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 10% годовых. Определить номинальную ставку процентов и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый годовой прирост инфляции составляет 5%. 15) При выдаче кредита должна быть обеспечена реальная доходность операции, определяемая учетной ставкой 5% годовых. Кредит выдается на полгода, за который предполагаемый индекс инфляции составит 1.2. Рассчитать значение учетной ставки, компенсирующий потери от инфляции. 16)Определить реальную доходность финансовой операции, если при уровне инфляции 3% в месяц выдается кредит на два года по номинальной ставке сложных процентов 25% годовых. Проценты начисляются ежеквартально. 17)Определить какой реальной эффективностью обладает финансовая операция, если при росте инфляции 15%в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 40% при ежемесячном начислении. 3.6 Контрольные вопросы 1) Понятие эквивалентной процентной ставки. 32 2) Практическое использование эквивалентных ставок. 3) Вывод формул для определения значений эквивалентных ставок. 4) Условия, определяющие величину эквивалентных процентных ставок. 5)Определение эквивалентных ставок, если начальные условия полностью или частично не совпадают. 6) Понятие уравнивающей ставки. 7) Виды средних для определения средней простой процентной (учетной) ставки. 8) Вид средней для определения средней сложной процентной ставки. 9) Содержание принципа финансовой эквивалентности обязательств. 10) Содержание уравнения эквивалентности. 11)Определение суммы консолидированной задолженности на основе: а) простой процентной ставки; б) простой учетной ставки; в) сложной процентной ставки. 12) Определение срока консолидированного платежа при заданной его сумме. 13) Уравнение эквивалентности для общего случая изменения условий контракта. 14) Понятие и методика определения брутто-ставки 15) Методика определения размера ставок, учитывающих инфляцию. |