Методичні вказівки для самостійної роботи студентів Частина 3 Теорія ймовірностей Математична статистика Житомир 2014

• Название: Методичні вказівки для самостійної роботи студентів Частина 3 Теорія ймовірностей Математична статистика Житомир 2014
• Дата: 22.10.2022
• Размер: 2.83 Mb.
• Имя файла: Ч.3.doc
• Тип: Методичні вказівки; #748890
• страница: 7 из 8

Математична статистика

Приклад 1. Дано вибірку: 1, 3, 4, 5, 1, 3, 4, 3, 5, 1, 3, 4, 1, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3.

Потрібно:

1. 
   побудувати варіаційний ряд;
   
2. 
   побудувати статистичний розподіл вибірки;
   
3. 
   побудувати полігон відносних частот;
   
4. 
   знайти емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.
   

Розв’язання.

1) Побудуємо варіаційний ряд

1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5.

2) Порахуємо частоти з якими варіанти x_i входять у вибірку та запишемо статистичний розподіл вибірки:

xi	1	3	4	5
ni	4	8	6	2

3) Знайдемо відносні частоти. Оскільки об’єм вибірки n =4+8+6+2=20, то w₁ =4/20=0,2; w₂ =8/20=0,4; w₃ =6/20=0,3; w₄ =2/20=0,1.

Отже розподіл відносних частот має вигляд:

xі	1	3	4	5
wі	0,2	0,4	0,3	0,1

На площині (х_і; w_і) зобразимо точки з координатами (1;0,2), (3;0,4), (4;0,3), (5;0,1) та з’єднаємо їх відрізками. Отримаємо шуканий полігон відносних частот.

4
) Емпіричну функцію розподілу знаходимо за формулою:

, де – об’єм вибірки ; - число варіант, які менші . В даній задачі = 20.

При , оскільки найменша варіанта х₁=1. Тому , при .

При лише варіанта х₁=1< х, причому =4. Тому , при .

При варіанти х₁ =1 і х₂ =3 менші х, причому =4+8=12. Тому при .

При варіанти х₁ =1, х₂ =2 і х₃ =4 менші х, причому =4+8+6=18. Тому при .

При x >5 =20 і отже .
Таким чином емпірична функція розподілу має вигляд:

.
Будуємо графік цієї функції.


Приклад 2. Дано інтервальний варіаційний ряд

	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11
ni	7	10	20	8	5

Побудувати гістограму відносних частот.
Розв’язання. Об’єм вибірки , довжина часткового інтервалу h =2.

Знаходимо щільності відносних частот w_i за формулою :

; ; ; ; .

Відкладемо на осі абсцис часткові інтервали і проведемо над цими інтервалами відрізки, які паралельні осі абсцис і знаходяться від неї на відстанях рівних відповідно w_i /h. Отримаємо шукану гістограму відносних частот.


Приклад 3.

1) Задано статистичний розподіл вибірки

xi	1	2	5	6
ni	2	3	4	1

Знайти вибіркове середнє , вибіркову дисперсію , виправлену вибіркову дисперсію і вибіркове середнє квадратичне відхилення .

2) Задано інтервальний варіаційний ряд

	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12
ni	42	73	154	205	26

Знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію .

Розв’язання. 1) Об’єм вибірки n =2+3+4+1=10.

Вибіркове середнє знаходимо за формулою: .

Отримаємо : .

Вибіркову дисперсію знаходимо за формулою:

.

Отримаємо: .

Знаходимо та : ,

.

2) Знаходимо середини часткових інтервалів: х₁=3, х₂=5, х₃=7, х₄=9, х₅=11. За формулами отримаємо: ;

.
Приклад 4. Побудувати надійний інтервал для оцінки з надійністю невідомого математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності Х, якщо , і .

Розв’язання. Шуканий надійний інтервал має вигляд

,

(1)

де – значення аргументу функції Лапласа , при якому . Знаходимо із співвідношення .

За таблицею значень функції Лапласа знаходимо . Підставляючи , , , в (1), отримаємо надійний інтервал: 14,06   16,64.
Приклад 5. Побудувати надійний інтервал для оцінки з надійністю невідомого середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої генеральної сукупності Х, якщо і .

Розв’язання. Шуканий надійний інтервал має вигляд:

, при q1; , при q1;

(2)

де знаходиться за таблицею по заданих і . При і за таблицею знаходимо q =0,37.

Підставляючи , , в (2), отримаємо надійний інтервал: 0,441 ,
Приклад 6. Знайти вибіркове рівняння прямої регресії за даними шести спостережень (x_i ; y_i): (1,5;1,3), (2;2), (3;2,1), (3,5;2,7), (4,5;2,6), (5;3,3). Зробити малюнок, на якому вказати експериментальні дані та побудувати пряму регресії.

Розв’язання. Невідомі параметри регресії і b знаходять із системи рівнянь

.

(3)

З умови задачі знаходимо: , , , , ,

Підставляючи в (3), отримаємо систему:

.

Звідки, розв’язуючи систему, отримаємо і .

Запишемо шукане рівняння прямої лінії регресії:

.

Зробимо малюнок, на якому вкажемо експериментальні дані та побудуємо пряму лінію регресії.


Приклад 7. Використовуючи критерій Пірсона, при рівні значущості перевірити, чи узгоджується гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності Х з статистичними даними, які подані у вигляді інтервального варіаційного ряду (в першому рядку вказано часткові інтервали , в другому – відповідні їм частоти ).

;

	–20-(–10)	–10-0	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
	20	47	80	89	40	16	8

Розв’язання. Знайдемо середини часткових інтервалів та складемо таблицю

	–15	–5	5	15	25	35	45
	20	47	80	89	40	16	8

Обчислимо вибіркове середнє та вибіркове середнє квадратичне відхилення (див. приклад 3, КР № 2.):

об’єм вибірки ;

вибіркове середнє ;

вибіркова дисперсія

і вибіркове середнє квадратичне відхилення .

Перейдемо до випадкової величини та обчислимо кінці інтервалів : ; , причому найменше значення покладемо рівним , а найбільше значення покладемо рівним .

Обчислимо теоретичні ймовірності потрапляння випадкової величини в інтервали за формулою , де – функція Лапласа, та теоретичні частоти (тут – об’єм вибірки). Для цього заповнимо розрахункову таблицю:

1		–0,5000	–0,4319	0,0681	20,43
2		–0,4319	–0,2764	0,1555	46,65
3		–0,2764	–0,0120	0,2644	79,32
4		–0,0120	0,2580	0,2700	81,00
5		0,258	0,4236	0,1656	49,68
6		0,4236	0,4846	0,0610	18,30
7		0,4846	0,5000	0,0154	4,62

Обчислимо вибіркове значення критерію . Для цього заповнимо наступну розрахункову таблицю:

1	20	20,43	–0,43	0,1849	0,0091
2	47	46,65	0,35	0,1225	0,0026
3	80	79,32	0,68	0,4624	0,0058
4	89	81,00	8,00	64,0000	0,7901
5	40	49,68	–9,68	93,7024	1,8861
6	16	18,30	–2,30	5,2900	0,2891
7	8	4,62	3,38	11,4244	2,4728
	300	300

За таблицею критичних точок розподілу по рівню значущості та числу ступенів свободи знаходимо критичну точку правосторонньої критичної області .

Оскільки , то немає підстав відхилити нульову гіпотезу. Отже, статистичні дані узгоджуються з гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.