Анализ экспериментальных данных показывает, что большие по значению погрешности наблюдаются реже, чем малые. Отмечается также, что при увеличении числа наблюдений одинаковые погрешности разного знака встречаются одинаково часто. Эти и некоторые другие свойства случайных погрешностей описываются нормальным распределением или уравнением Гаусса:
(4.1) где – плотность вероятности; х – значение случайной величины; μ – генеральное среднее (математическое ожидание); σ2 – дисперсия.
Равные по площади кривые нормального распределения приведены на рис. 4.1. Как видно, чем больше стандартное отклонение (дисперсия), тем более пологой становится кривая.
![](18160_html_18acc126.jpg) Рис. 4.1. Кривые нормального распределения при различной средней квадратичной погрешности Величины и называют параметрами распределения. Уравнение (4.1) описывает плотность вероятности. Коэффициент выбран так, чтобы вероятность попадания случайной величины Х в интервал – <X< была равна единице:
(4.2) При любых значениях и площадь, ограниченная кривой (4.1) и осью абсцисс, равна единице. Очевидно, если через Х1и Х2провести ординаты, то случайная величина Х попадает в интервал Х1 < Х < Х2 с вероятностью: 1 Х2 _(х - )2
![](18160_html_m71ed5b72.gif)
Расчеты показывают, что интеграл (4.2) в пределах от – до + составляет 68,3 % общей площади, в пределах уже 95 % ее, а при интеграл равен практически всей площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс (99,7 %). Интеграл (4.2), равный на рис. 4.2 заштрихованной площади, показывает вероятность Р появления результата в указанной области значений (от до ). Эту величину вероятности называют доверительной вероятностьюили статистической надежностью, интервал от до – доверительным интервалом, а границы интервала – доверительными границами.
а б в
![](18160_html_29203c96.jpg) Рис. 4.2. Интегрирование уравнения Гаусса в пределах:
а – (68,3 %); б – (95,0 %); в – (99,7 %) Таким образом, можно сказать, что доверительная вероятность получения результата в пределах от до составляет 68,3 %, т.е. в этих пределах лежит 2/3 всех результатов. Внутри пределов будет находиться 95 % всех значений, а диапазон в охватывает 99,7 %, т.е. практически все значения. Вероятность получения результата анализа, который будет находиться вне пределов интегрирования, равна α:
α = 1 – Р
Эту величину называют уровнем значимости.
Классическая теория погрешностей, основанная на нормальном распределении, нашла широкое применение в астрономии, геодезии и других областях, где выполняется большое число измерений одной величины. Однако при обработке данных по анализу вещества она оказалась недостаточно эффективной, так как обычно приводила к заниженным, слишком оптимистичным значениям погрешности. Действительно, в соответствии с законом нормального распределения вероятность появления малых погрешностей значительно больше, чем вероятность появления больших, поэтому при небольшом числе наблюдений (параллельных проб) большие погрешности обычно не появляются, что и приводит к занижению погрешности, если небольшое число результатов обрабатывать в соответствии с нормальным распределением. Более корректная величина погрешности получается при использовании статистики малых выборок, развивающейся с начала ХХ в. (t-pacпределение, так называемое распределение Стьюдента и др.).
![](18160_html_29203c96.jpg)
![](18160_html_29203c96.jpg)
![](18160_html_29203c96.jpg)
|