Черкесов Г. Н. Надежность аппаратно-программных комплексов.. Надежностьаппаратнопрограммных
 Скачать 2.81 Mb.
|
|
Теорема П Для любого рекуррентного потока событий справедливо предельное соотношение (П4.22) Доказательство. По теореме упреждения операционного исчисления При малых с учетом (П) имеем: Отсюда непосредственно следует (П4.22). Теорема П (Смита). Для любой монотонно невозрастающей и интегрируемой на (0, оо) функции и любого рекуррентного потока событий Доказательство. Согласно тауберовой теореме и теореме о свертке функций (П1.2), Теорема доказана. П4.4. Вывод формул обобщенного пуассоновского потока Пусть известно, что вероятность (П4.23) где — функция распределения случайного параметра стационарного пуассоновского потока событий. Найдем выражение для вероятностей через функцию Используя правило дифференцирования интеграла по параметру, преобразуем (П) к виду (П4.24) Начальные моменты распределения числа событий потока в интервале (0, Отсюда следует, что начальные моменты ОПП можно получить путем осреднения по плотности (рандомизации) соответствующих начальных моментов Отсюда, в частности, находим среднее значение и дисперсию числа событий: (П4.25) Из (П) следует, что параметр потока событий (П4.26) есть величина постоянная, что свидетельствует о стационарности потока. Сравнивая (Пи видим, что параметр потока связан с функцией соотношением Введем нулевую функцию (П4.27) Интегрируя здесь справа и слева по интервалу (0, со, находим: Подставляя (П) в (П, получим выражение вероятностей через функцию (П4.28) Из формул (П, (Пи (П) следует, что существует три эквивалентных способа задания ОПП: через функции или многих случаях второй и третий способы оказываются более предпочтительными, так как функции и легче измерить. Заметим, что обобщенный поток является ординарным по построению, так он получается путем рандомизации ординарного стационарного потока, а рандомизация не может изменить свойство ординарности. Что касается последействия, то ОПП имеет сложное последействие, то есть он не может быть отнесен ник потокам без последействия, ник потокам с ограниченным последействием. Покажем это. Введем для потока типа Пальма, который является потоком с ограниченным последействием, нулевую функцию в соответствии с (П. Используя (3.38), найдем: Вероятность наступления ровно одного события за время t (П4.29) Для обобщенного потока, согласно (П4.28), (П4.30) Приравнивая вероятности из (Пи (П, получим интегральное уравнение, решение которого определяет те функции когда ОПП будет иметь ограниченное последействие: Единственное решение этого уравнения = (= Xt). Это значит, что простейший поток является частным случаем и потока типа Пальма, и обобщенного пуассоновского потока. В этом случае ОПП является потоком без последействия. Во всех остальных случаях он имеет сложное последействие. П5. Модифицированный логико- вероятностный метод. Основные теоремы Логико-вероятностный метод, изложенный в главе 6 и применяемый для анализа надежности двухполюсных сложных структур, содержит три этапа запись логической функции работоспособности (ЛФРС), преобразование логической функции к форме перехода к полному замещению ( Ф П П З ) и полное замещение всех логических переменных вероятностями и логических операций — арифметическими операциями. Модифицированный логико-вероятностный метод содержит еще один промежуточный этап — частичное замещение логических переменных вероятностями [6.3]. Поэтому вместо ФППЗ логическая функция преобразуется к форме перехода к частичному замещению (ФПЧЗ), а в результате частичного замещения появляется так называемая смешанная форма функции вероятностей, содержащая одновременно и вероятности, и логические переменные, арифметические и логические операции. После некоторых преобразований в С Ф Ф В выполняется постепенное (многошаговое) замещение остальных логических переменных с целью перехода к искомой развернутой форме функции вероятностей РФ Ф В ) . Запись С Ф Ф В по заданной функции алгебры логики (ФАЛ) проводится на основании следующих теорем Теорема П Пусть. задана функция алгебры логики вида (П5.1) где v и & — логические операции дизъюнкции и конъюнкции X векторные аргументы логических функций / и соответственно а, — постоянные коэффициенты, равные нулю или единице = х при при = 1; — бесповторные логические переменные j К - — функции алгебры логики произвольного вида. события независимы в совокупности, причем вероятности = = есть форма перехода к частичному замещению, и ей соответствует теоремы можно найти в [7.2, с. Пример Ш Пусть — беспо- вторные переменные. Надо найти вероятность = 1 ) Решение. Согласно (П, бесповторные логические переменные заменяем вероятностями, алогические операции конъюнкции и отрицания арифметическим операциями умножения и вычитания. Поскольку здесь а, = то а, = = 1 - a поэтому (П5.3) Дальнейшая развертка (П) к РФ Ф В проводится путем разрезания по незамещенным логическим переменным в соответствии с теоремой разложения. Теорема П (первая теорема разложения. Пусть задана некоторая С Ф Ф В х зависящая от логических переменных и пусть события = = о) независимы в совокупности. Тогда Утверждение теоремы следует непосредственно из формулы полной вероятности. Теорема П. Пусть заданы две логические функции Составим третью функцию: (П5.4) Тогда: 1) если и ортогональны, то есть = 0 для i = \...n, то (П) является формой перехода к частичному замещению и ей соответствует СФФВ 2) если если и неортогональны, то формой перехода к частичному замещению является выражение и ему соответствует СФФВ (П5.5) Доказательство теоремы можно найти в [7.2, с. Пример П Пусть Найти = Решение. Здесь Функции и ортогональны. Поэтому ортогонализация необходима лишь для и Используя (П5.5), получим: Здесь проведем разрезание сначала по а затем по Теорема П Дизъюнкция и конъюнкция ФАЛ где — логические функции вида (П, в — бесповторные переменные для всех являются формой перехода к частичному замещению, и им соответствуют СФФВ Вероятности = 1) находят по формуле (П. Если в дизъюнкции все слагаемые ортогональны, то достаточна бесповторность лишь в пределах одной функции Данная теорема является обобщением теоремы П. При ее доказательстве используется основной прием — сведение рассматриваемой задачи к схеме независимых событий путем замещения бесповторных переменных и перевода логических функций с повторяющимися переменными в показатели степени вероятностей. В следующих трех теоремах рассматриваются производящие полиномы дискретных распределений, содержащие в качестве коэффициентов смешанные формы функции вероятностей. Теорема П (вторая теорема разложения. Пусть производящий полином некоторого дискретного распределения с коэффициентами, записанными в смешанной форме и зависящими от логических переменных х Тогда Данная теорема является одним из следствий теоремы П5.1. Пример ПЗ. Пусть Необходимо найти производящий полином распределения. Решение. Составим формулу (П5.6) Проведем сначала разрезание по В каждом из слагаемых проведем разрезание пои получим окончательно: Теорема П (третья теорема разложения. Пусть Тогда Доказательство теоремы можно найти в [7.2, с. Пример П Пусть полином определен формулой (Па полином Надо найти 1, Решение. Возведение в степень полинома (П) дает (П5.7) Непосредственно из (П) имеем: С другой стороны, по теореме П имеем 1, 1) = (q + pqz + pz 2 ) 2 . Нетрудно убедиться, что обе формулы совпадают. Теорема П (четвертая теорема разложения. Пусть Тогда Теорема легко доказывается путем изменения порядка суммирования. Пример П Пусть Надо найти Решение. Разрезанием пои непосредственно из (П) находим: С другой стороны, по теореме П имеем: Нетрудно убедиться в том, что обе формулы дают одинаковый результат. П6. Методы математической статистики П6.1. Точечное оценивание параметров распределений Точечной оценкой параметра а распределения F(x, а называют скалярную величину, зависящую от выборки ..., хи удовлетворяющую установленным требованиям 4 5 4 Математическое приложение П6.1.1. Свойства точечных оценок Состоятельность. Оценка параметра а называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру: (П6.1) С использованием второго неравенства Чебышева практически состоятельность устанавливается по поведению дисперсии оценки Вместо сходимости по вероятности (П) устанавливается сходимость в сред- неквадратическом Несмещенность. Оценка несмещенной, если математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру при любом конечном, в том числе малом, объеме выборки: Свойство несмещенности позволяет устранить систематическую ошибку в оценке параметра, оставляя только статистическую ошибку. Если оценка смещенная, но величина смещения известна, то следует устранить смещение введением поправочного коэффициента. Эффективность. Точечная оценка параметра а называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех возможных точечных оценок. Определение трудно применить непосредственно для установления свойства эффективности, так как оно требует знания всех возможных оценок, вычисления дисперсий всех оценок и выбора одной из них с минимальной дисперсией. Решение задачи о свойстве эффективности существенно упрощается благодаря неравенству Рао — Крамера. Согласно этому неравенству, дисперсия любой точечной оценки не менее априорно вычисляемой величины, называемой дисперсией эффективной оценки: где — число испытаний fix, a) — функция плотности распределения непрерывной случайной величины X или функция общего члена ряда распределения дискретной случайной величины ха Р(Х х Согласно неравенству (П6.2), правило установления эффективности сводится к трем действиям. По а еще до построения конкретного вида точечной оценки параметра находят дисперсию эффективной оценки 2. По виду функции fix, находят дисперсию оценки. Если = то оценка эффективная. Если же D(a)> то вычисляют коэффициент эффективности КВ последнем случае, когда неуда- ется найти эффективную оценку, предпочтение отдают оценке с наибольшим коэффициентом эффективности. Коэффициент эффективности зависит от объема выборки п Если < 1, но предел при п оо равен 1, то оценку называют асимптотически эффективной. Если же предел < 1, то коэффициент называют коэффициентом асимптотической эффективности. П6.1.2. Методы получения точечных оценок Метод моментов. Метод К. Пирсоном в 1894 г. Основная идея метода состоит в том, что приравнивается определенное количество теоретических и эмпирических начальных и центральных моментов распределения. Количество уравнений должно быть равно количеству оцениваемых параметров: Решение системы уравнений (П) относительно неизвестных ..., дает значение оценок а ..., Для однопараметрических распределений = система (П) сводится к одному уравнению Для двухпараметрических распределений = 2) составляют два уравнения: а (П6.4) Метод моментов сравнительно прости предлагает состоятельные оценки. Состоятельность непосредственно следует из сходимости по вероятности эмпирических начальных и центральных моментов к соответствующим теоретическим моментам. Оценки, как правило, являются смещенными. Можно показать [1], что при общих условиях оценки распределены асимптотически нормально со средним значением Ма, отличающимся от а на величину порядка и дисперсией вида Смещение нетрудно устранить введением поправки. Однако метод имеет более серьезный недостаток. Получаемая этим методом оценка часто имеет коэффициент асимптотической эффективности значительно меньше единицы При оценке четырех и более параметров метод моментов не применяется, так как резко возрастает дисперсия оценок. В самом деле, для начального момента порядка дисперсия выборочного момента Аналогично дисперсия выборочных центральных моментов Отсюда, в частности, дисперсии оценок параметров нормального распределения, получаемых решением системы уравнений (П, имеют вид Дисперсия выборочного момента второго порядка выражается через теоретический момент четвертого порядка. Метод квантилей. Основная идея метода состоит в том, что для выбранных значений вероятностей приравниваются эмпирические и теоретические квантили: (П6.5) где — решение уравнения F(x, a) = В частности, для нормального распределения система уравнений (П) имеет вид (П6.6) где и у — квантили стандартного нормального распределения с параметрами и — эмпирические квантили по уровням вероятностей и Решение (П) имеет вид (П6.7) Обе оценки (П) несмещенные. В этом легко убедится, если учесть, что хр = + Чтобы найти дисперсии оценок, надо использовать выражение для дисперсии выборочной квантили Отсюда следует, что дисперсия минимальна там, где плотность распределения максимальна. Это можно учесть при выборе значений вероятностей Метод максимального правдоподобия. Метод предложен Р. А. Фишером в 1912 г. Основная идея метода состоит в допущении, что наблюдаемая реально выборка является наиболее вероятным исходом статистического эксперимента. Если в полной или усеченной выборках получим выборочные значения ..., х„), то в качестве оценки неизвестного параметра а надо выбрать такое значение которое обеспечивает максимум плотности вероятности распределения случайного вектора ..., (П6.8) Если а = ..., — векторный параметр, то с помощью метода градиентов оценки находят как решение системы уравнений (П6.9) На практике вместо плотности /„ удобнее пользоваться логарифмом этой функции. Такое допустимо, так как логарифм является возрастающей функцией своего аргумента и поэтому достигает максимума в той же точке что и плотность Функция L - называется функцией правдоподобия. После перехода от к L условие (П) приобретает вид Система уравнений (П) заменяется новой системой уравнений (П6.10) Оценки максимального правдоподобия (МП-оценки) обладают следующими свойствами. Они состоятельны. Если существует эффективная оценка, то метод дает именно эффективную оценку. Оценка имеет асимптотически нормальное распределение со средним значением аи дисперсией D(a)= где А(а) определяется по формуле (П6.2). 4. Оценка инвариантна относительно преобразования параметра. Это значит, что оценка некоторой функции параметра а совпадает с этой же функцией оценки параметра, то есть g(a) = 5. Оценки являются несмещенными или асимптотически несмещенными. К недостаткам метода максимального правдоподобия следует отнести необходимость знания распределения f(x, аи сложность уравнений (П6.10). Для нормального распределения точечные оценки максимального правдоподобия для параметров m и по полной выборке ..., х находят с помощью следующей функции правдоподобия (П6.11) Уравнения правдоподобия Отсюда Характеристики оценок Оценка s2 — смещенная. Для устранения смещения вводим поправку и получаем несмещенную МП-оценку дисперсии: (П6.12) П6.1.3. Метод наименьших квадратов Метод используется для аппроксимации зависимости реализации случайных величин и Y с помощью некоторой функции у = Метод является частным случаем метода максимального правдоподобия. Пусть имеется п выборочных значений двухмерной случайной величины у = п Полагаем, что истинная зависимость определяется функцией ), а отклонения от нее суть ошибки измерения, которые подчиняются нормальному закону со средними дисперсией = Полагая различные измерения независимыми, найдем многомерную плотность распределения вектора в виде Тогда условие приобретает вид (П6.13) Поскольку первые два слагаемых на зависят от вида функции то условие (П) эквивалентно условию (П6.14) Поиск минимума происходит в задаваемом параметрически классе функций а Из (П) вытекает и название метода. Уравнения правдоподобия (П6.10) приобретают вид При полиномиальной аппроксимации могут, в частности, использоваться линейная и параболическая аппроксимации. Линейная аппроксимация. Функция представляет собой прямую линию = ах + Подставляя ее в (П, получим два уравнения: (П6.16) Разделив (П) почленно на пи преобразуя, находим оценки максимального правдоподобия для параметров прямой линии: Параболическая аппроксимация. Функция представляет собой квадратиче- скую параболу = + + с. Из (П) получим три уравнения: (П6.17) Система (П) сводится к трем алгебраическим уравнениям относительно параметров а, Ь и с: (П6.18) Систему уравнений (П) решают методом определителей. Аппроксимация с помощью линейной формы. Функцию представляют в форме Тогда система приобретает вид Отсюда получим систему алгебраических уравнений (П6.19) Решение (П) дает оценки максимального правдоподобия для неизвестных параметров = \...r. В качестве функций можно использовать гармонические, экспоненциальные функции и пр. П6.2. Интервальное оценивание параметров распределений Интервальное оценивание параметров применяют при малых выборках, когда точечные оценки имеют неприемлемо большие дисперсии. П6.2.1. Постановка задачи Двусторонним доверительным интервалом для параметра распределения F(x, называют интервал со случайными границами и зависящими от выборки и обладающими следующим свойством вероятность накрыть этим интервалом неизвестное, но неслучайное значение параметра а не менее заданной величины, называемой доверительной вероятностью или коэффициентом доверия: Пусть параметра имеет область допустимых значений а. Вполне возможно, что доверительный интервал не накроет значение параметра аи тогда < а < или а < Вероятности этих событий Сумму этих вероятностей называют уровнем значимости: Односторонним (нижним или верхним) доверительным интервалом называют интервал с одной фиксированной и одной случайной границами — такими, что Уровни значимости в этих случаях таковы: П6.2.2. Принцип и уравнения Для определения доверительных границ вводят критериальную функцию или критерий зависящий от выборки и оцениваемого параметра. К критерию и предъявляются следующие требования. Должен быть известен вид распределения критерия a). 2. Функция распределения а не должна иметь других неизвестных параметров, кроме оцениваемого параметра. Принцип Клоппера — Пирсона состоит в следующем. В семействе функций а построенных путем вариации параметра а выбираются две кривые, проходящие через точки у) и 1 - у, где — значение критерия, полученное по выборке. Одна из этих кривых имеет параметра другая — параметр В соответствии с этим принципом записывают уравнения Решение уравнений (П) дает значения доверительных границ. |