Пример 11.14. Построить план последовательного контроля вероятности безотказной работы изделий, в котором хорошей считается партия с вероятностью P(t) > 0,99, а плохой — партия с P(t) < 0,88. Риск поставщика а = 0,08, риск заказчика р 0,06. План представить в графической и табличной формах дот и принять решение для = (1; 46), (4; 60), (5; Решение Сначала находим А =
= -2,73;
В =
=
=
= 2,485; ln[(l - Со = 0,1177;
= -1,049, Л, = 0,947,
= 0,0452. Отсюда точки пересечения координатных осей = —21;
по ним строятся границы зон (рис б Результаты расчетов по формуле приведены в табл.
Таблица
Табличная форма представления плана последовательного контроля вероятности отказа 0
23 45 68 90 112 134 156 178 200 222 244
- 1 23 45 . 68 90 112 134 156 178 На основании составленного плана выносим решение при = (1; 46) принять партию, при (4; 60) забраковать партию, при (5; 100) продолжить испытания.
Контроль
отказов по суммарной наработке Пусть контролю подвергается партия изделий с экспоненциальным распределением наработки одного изделия между отказами = 1 -
Партия считается хорошей, если <
и плохой, если
В 11.5 было показано, что в планах типов В Б количество отказов всех изделий контролируемой партии дополучения суммарной наработки распределено по закону Пуассона. Поэтому отношение правдоподобия приобретает вид
(11.42)
Подставляя (11.42) в (11.37), находим:
Таблица
Табличная форма контроля вероятности отказа
т 0
23
-представления плана последовательного 112 68 5
134 90 6
156 112 7
178 134 8
200 156 9
222 178 10 244 200
Отсюда
(11.43)
(11.44)
Как и раньше, партия принимается при <
бракуется при т >
и испытания продолжаются при < т <
Вместо этого правила иногда удобнее пользоваться другим правилом, в котором участвуют граничные значения суммарной наработки и соответствующие точкам пересечения прямых (11.43) и (с горизонтальными прямыми т = 0, 1, 2... Принимая в и = т
и = m, получаем:
Партия принимается, если >
бракуется, если <
и испытания продолжаются, если < Пример В опытной эксплуатации находятся 100 непрерывно и одновременно работающих восстанавливаемых устройств. Необходимо построить план последовательного контроля их надежности, обеспечивая риск поставщика не более 10%, риск заказчика не более 3% и полагая, что устройства восстанавливаются практически мгновенно, а закон распределения наработки одного устройства экспоненциальный. Хорошими считаются устройства со средней наработкой ч, плохими — устройства со средней наработкой < 200 ч. План представить в табличной форме до = Решение По исходным данным находим = 2,5 •
= 5 А = 3,4,
В = 4,57,
/
= 0,693. Поскольку восстановление мгновенное,
вместо суммарной наработки можно контролировать время t =
Тогда =
= 13,6 + 2,772m;
=
= -9,09 +
Результаты расчетов приведены в табл. Таблица Табличная форма представления плана последовательного контроля средней наработки до отказа 0
1 0 13,6 16,4 19,14 21,92 24,69 27,46 30,23 33,00 35,78 38,55 41,22
- - - - 2,00 4,77 7,54 10,32 13,09 Экономичность планов оценивают по среднему числу испытываемых изделий. Для метода однократной выборки объем партии — неслучайная величина,
определяемая по формуле =
параметр распределения Пуас-
Таблица
средней
т 0
13,
Табличная форма представления плана последовательного наработки до отказа 2 3 6 16,4 19,14 21,92 4
24,69 2,00 5
27,46 4,77 6
30,23 7,54 7
33,00 10,32 8
35,78 контроля 38,55 10 41,22 18,63
сона, вычисленный по уровню вероятности 1 - а при значении варианты = с. Для. последовательного контроля средний объем партии вычисляется по формуле, заимствованной из си приводимой здесь без доказательства: Расчеты по этой формуле показывают, что последовательный контроль дает в среднем экономию от 30 до 50% по сравнению с контролем по однократной выборке. Причем отношение уменьшается при сближении границ уменьшении риска поставщика и заказчика. Так, при аи отношение = 0,64, при аи том же оно уменьшается до 0,59, а при = = 1,25 - до Выигрыш в среднем вовсе не означает, что выигрыш будет при каждом испытании, так как количество испытываемых изделий до принятия решения о приемке или браковке не ограничено сверху. Поэтому выигрыш в среднем иногда обращается в большой проигрыш в некоторых испытаниях. Чтобы устранить этот недостаток, применяют усеченный последовательный контроль. Усеченный последовательный контроль заключается в том, что одновременно составляются два плана план последовательного контроля и план контроля по однократной выборке. В первом плане определяются параметры прямых линий,
являющихся границами зон, во втором плане — объем партии и приемочный норматив с. Если представить оба плана графически, то образуется ограниченная со всех сторон зона продолжения испытаний с двумя границами с зоной приемки и зоной браковки (рис а).Рис. Графическая форма плана усеченного последовательного контроля Согласно процедуре усеченного последовательного контроля, испытания проходят в соответствии с обычным планом последовательного контроля до тех пор, пока < Если ко времени достижения значения испытания еще не закончены, тогда в силу вступает решающее правило контроля по однократной выборке и партия принимается или бракуется в зависимости от соотношения Таким образом, объем испытаний становится случайной величиной с известной верхней границей = Следует отметить, что риск поставщика и риск заказчика в усеченном контроле отличаются от вероятностей аи, по которым параметры плана рассчитываются отдельно при последовательном контроле и при контроле по однократной выборке. Однако при изложенном способе усечения такое отличие невелико и им можно пренебречь. Пример 11.16. Построить план усеченного последовательного контроля вероятности отказа невосстанавливаемых изделий при аи представить его графически. Решение. По исходным данным определяем В = A = 9 = 2,1972; = = /Qo =0,693; ln[(l - - = 0,1177; A, = = 2,71; = = 0,1447. Кроме того формуле (11.25) находим = 1,29 • 2,414 = 3,12, откуда = 97. Теперь по формуле (11.35) определяем с = 13. Результаты расчетов представлены на рис б. Список литературы Pearson E. S., Clopper C.J. The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial // Biometrica. — 1934. — № 26. — P. 404.
2. Шор Я. Б, Кузьмин ФИ Таблицы для анализа и контроля надежности. — М.
Сов. радио, 1968. - 284 с Большее Л. Н, Смирнов Н. В Таблицы математической статистики. — М. Наука. - 464 с Гнеденко Б. В, Беляев Ю. К, Соловьев АД Математические методы в теории надежности. — М. Наука, 1965. — 524 с. Справочник по вероятностным расчетам / Г. Г. Абезгауз, А. П. Тронь, ЮН. Ко- пенкин, И. А. Коровина. — М. Воениздат, 1970. — 528 с Шор Я. Б Статистические методы анализа и контроля качества и надежности М Сов. радио, 1962. — 564 с. ГОСТ 16504-79. Качество продукции. Контроль и испытания. Основные термины и определения. — М Изд-во стандартов, 1979. — 22 с. ГОСТ 17510-79. Надежность изделий машиностроения. Система сбора и обработки информации. Планирование наблюдений. — М Изд-во стандартов с. ГОСТ 17509-72. Надежность изделий машиностроения. Система сбора и обработки информации. Методы определения точечных оценок показателей надежности по результатам наблюдений. — М Изд-во стандартов, 1972.
52 с. ГОСТ 18049-72. Надежность в технике. Испытания ограниченной продолжительности с заменой отказавших изделий. — М Изд-во стандартов. - 13 с
11. ГОСТ 18333-73. Надежность в технике. Испытания ограниченной продолжительности без замены отказавших изделий. —
Изд-во стандартов с. ГОСТ Надежность в технике. Испытания с ограниченным числом отказов. — М Изд-во стандартов, 1974. — 15 с. ГОСТ 27.504-84. Надежность в технике. Методы оценки показателей надежности по цензурированным выборкам. — М Изд-во стандартов, 1984. — 41 с. ГОСТ 27.410-87. Надежность в технике. Методы контроля показателей и планы контрольных испытаний на надежность. — М Изд-во стандартов. - 109 с. ГОСТ 17331-71. Надежность в технике. Метод последовательных испытаний М Изд-во стандартов, 1971. — 27 с. ГОСТ 20736-75. Качество продукции. Статистический приемочный контроль по количественному признаку при нормальном распределении контролируемого параметра. — М Изд-во стандартов, 1975. — 91 с. ГОСТ Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров экспоненциального распределения и распределения Пуассона М Изд-во стандартов, 1974. — 29 с. ГОСТ Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения. — М Изд- во стандартов, 1974. — 20 с. ГОСТ 27.411-81. Надежность в технике. Одноступенчатые планы контроля по альтернативному признаку при распределении времени безотказной работы по закону Вейбулла. — М Изд-во стандартов, 1981. — 20 с. ГОСТ 11.009-79. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров логарифмически нормального распределения М Изд-во стандартов, 1979. — 52 с Фишер Р. А Статистические методы для исследователей. — М Госстатиздат,
1958. - 3 4 2 с.
Вопросы для самоконтроля. В чем состоит назначение испытаний на надежность Приведите пример планов испытаний. В чем заключаются задачи определительных испытаний. Перечислите свойства точечных оценок показателей надежности. Перечислите точечные оценки средней наработки на отказ и их характери-
5. В чем заключается принцип интервального оценивания показателей надежности. В чем состоит постановка задачи контрольных испытаний на надежность? Прямая и обратная задачи. Как выбирается объем испытаний по рискам заказчика и изготовителя при однократной выборке. Каковы табличная и графическая формы плана последовательного контроля надежности. Каковы табличная и графическая формы плана усеченного последовательного контроля надежности Математическое приложение П 1 . Преобразование Лапласа—Карсона иПреобразование функции F(t) осуществляется с помощью интеграла а преобразование — с помощью интеграла(П1.1) Интегрированием по частям в формуле можно убедиться, что при ДО) = О оба преобразования дают один и тот же результат: В теории вероятностей и теории надежности таким свойством обладают функции распределения непрерывных случайных величин. Поэтому для них без особых оговорок можно пользоваться любым из указанных преобразований. По этой же причине далее приводятся формулы только для преобразования Лапласа — Карсона. Основные функциональные соотношения (П1.2) Знак означает операционное соответствие оригинала во временной области и изображения в комплексной частотной области. Он заменяет интеграл, отражающий интегральное преобразование Лапласа. Формулы преобразования некоторых функций: П2. Вычисление вычетовВычет в простом полюсе вычисляется по формуле а вычет в полюсе порядка — по формуле
(П2.2)
Формулы (Пи (П) можно использовать для обратного операционного преобразования. Если F*(s) — дробно-рациональная функция 5, имеющая корни знаменателя s,,
..., кратности ...,
соответственно и неравная нулю при s = 0, то оригинал этой функции находится по формуле
(П2.3)
Как видно из (П в круглых скобках имеет нулевой корень = О,
так как 0. Если же = 0, то такой корень отсутствует.
ПЗ. Тауберовы теоремы
Теорема П Для любого операционного соответствия F(t) F'(s) имеем:
то есть из существования предела при оо в области изображений следует существование предела при области оригиналов, причем эти пределы равны.
Теорема П (для действительной области. Для операционного соответствия) F'(s) (Re s > 0) достаточным условием справедливости соотношения
(П3.1)
является существование положительной постоянной при которой
В (П +0 только вдоль действительной оси. Если функция F(t) оказывается монотонной для t > 0, то допустимо преобразование правой части (П) по правилу Лопиталя, и тогда
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема ПЗ.З. Для операционного соответствия F(t)
s > 0) достаточным условием справедливости соотношения является условие монотонности F(t) при t > 0.
Теорема П (для комплексной области. Для того чтобы вместе с операционным соответствием F(t) было справедливо соотношение достаточно, чтобы одновременно 1) произведение было положительными неубывающим при t > 0; 2) существовала постоянная А — такая, чтобы при Re s — > +0 разность (F(s) - A)/s равномерно стремилась к некоторой ограниченной функции s) на любом конечном интервале -а < s < П. Вывод формул для потоков
случайных событий
П4.1. Вывод формул для простейшего потока
Пусть известно, что поток событий является стационарным ординарным потоком без последействия. Найдем явные выражения для распределений P{N(t) = п < ведущей функции потока H(t) и интенсивности потока событий где N(t) — число событий в интервале (0, t), Т — время до события. Вывод излагается по работе А. Я. Хинчина Рассмотрим промежуток времени длительностью 1 и обозначим через р вероятность того, что за этот срок не произойдет ни одного события. Разбивая промежуток на п равных частей, по формуле умножения вероятностей найдем: (П4.1) где 0,..., 0) — вероятность отсутствия событий в интервале (т х + t) при условии, что до этого интервала событий не было. В силу отсутствия последействия вместо (П) можно записать: (П4.2) Если же учесть еще и стационарность, то исчезает зависимость вероятностей в (Пот первого аргумента, и тогда Отсюда Повторяя практически без изменений приведенные рассуждения для отрезка получим Пусть теперь t — любое число из единичного отрезка времени. Подбирая k так, чтобы (П4.3) и учитывая, что невозрастающая функция времени, имеем: Устремляя п оо и k оо так, чтобы условие (П) по-прежнему выполнялось, получим: Полагая теперь имеем: (П4.4) Отсюда следует, что при стационарном потоке без последействия время допер- вого события имеет экспоненциальное распределение. Так как справедливо выражение (П4.5)Используя теперь свойство ординарности потока событий и разлагая экспоненту вряд, при достаточно малом t имеем: Рассмотрим теперь вероятность того, что в промежутке длительностью t + произойдет п событий (п > 1). В силу стационарности вероятность не зависит от начала отсчета t. В указанном промежутке п событий могут произойти следующими несовместными способами п событий наступает за время t и 0 событий за время At; п - 1 событие наступает за время t и одно событие — за время и т. д О событий за время t и п событий — за время Используя свойства стационарности и отсутствия последействия и суммируя вероятности несовместных событий, получаем: Поскольку мы в силу ординарности и с учетом (Пи (П) находим
Отсюда
Переходя к пределу при At
0, имеем:
(П4.6)
Присоединяя сюда уравнение решением которого является функция (П, получим замкнутую систему дифференциальных уравнений. Решим ее при начальных условиях = 1,
= 0, п > 0. Подстановка в (Пи (П) выражения
(П4.8)
дает
= 0,
(t) -
= 1,
=0, n > 1. Непосредственным интегрированием в этих уравнениях получим:
(П4.9)
Из (Пи (П) находим окончательно:
(П4.10)
Таким образом, число событий за заданное время имеет распределение Пуассона. Наличия трех указанных свойств достаточно для справедливости формулы
(П4.10). Можно доказать и необходимость этих свойств. Для этого надо проверить выполнение трех свойств, считая, что формула (П) верна.
П4.2. Вывод формул нестационарного
пуассоновского потока
Пусть известно, что поток событий ординарный без последействия. Получим уравнения для вероятностей того, что в промежутке + t) произойдет ровно п событий. Обозначим
(П4.11)
По свойству ординарности при любом t
Мгновенный параметр и интенсивность потока событий (П4.12) Используя свойство отсутствия последействия, для вероятности отсутствия событий в промежутке (т, т + t + At) получим: Из и следует: откуда при At 0 получаем дифференциальное уравнение Повторяя в точности рассуждения, используемые при выводе уравнений (П4.6), для вероятностей Рп(х, t) при п > 1 находим: Отсюда при At — > 0 получаем дифференциальное уравнение Начальные условия для уравнений (Пи (П) следующие: (П4.15) Решим систему уравнений (П2.20)—(П4.15) методом производящих функций. Примем (П4.16) Умножая (П) на и суммируя по всем п получим: Меняя здесь порядок суммирования и дифференцирования, находим: (П4.17) или Отсюда Начальные условия для (П) следующие Ф(т, 0, х) =
0) = 1. Поэтому
Окончательно получаем:
Разлагая второй сомножитель вряд по степеням хи сравнивая его с рядом (П4.16),
получим окончательно:
П4.3. Теоремы об асимптотическом поведении
функции интенсивности и ведущей функции
рекуррентного потока
Теорема П Для рекуррентного потока событий выполняются равенства
(П4.18)
где H(t) и — решение уравнений (3.32) и Т — средний интервал между событиями.
Доказательство. Представим изображение F*(s) функции распределения в виде разложения вряд по степеням
(П4.19)
Подставим (П) в знаменатель выражения (3.31):
(П4.20)
Согласно тауберовой теореме, предельному переходу при t
в формуле (П4.18)
соответствует переход в области изображений при s
0. Из (П) следует:
Отсюда
Вторая часть равенства (П) доказана. Первая часть равенства доказывается путем раскрытия неопределенности по Лопиталю — дифференцированием в числителе и знаменателе дроби. Из (П) следует, что при достаточно больших для расчета среднего числа событий можно использовать приближенное
(П4.21)
|
Скачать 2.81 Mb.