Черкесов Г. Н. Надежность аппаратно-программных комплексов.. Надежностьаппаратнопрограммных
 Скачать 2.81 Mb.
|
|
Пример 11.9. При испытаниях 50 экземпляров процессорной платы до первого отказа получена наработка = 1300 ч. Найти доверительный интервал для средней наработки на отказ платы РШ с коэффициентом доверия Если относительная длина интервала превысит значение 1,6, то продолжить испытания 50 экземпляров до второго отказа. Если и тогда > то продолжить испытания до выполнения указанного условия. Решение. Согласно условиям задачи, план испытаний к типу \N, В 50, 1. Согласно (11.23), = 1,62 • = 3,54 • Доверительные границы для средней наработки на отказ = 28 230 ч = 616 930 ч, относительная длина интервала 8, = - / + ) = 1,82. Продолжение испытаний до второго отказа приводит к суммарной наработке = 2400 ч. Отсюда 770 ч = 226 400 ч, = 1,52 < 1,6. Середина доверительного интервала Т = 128 590 ч. План Б Поскольку суммарная наработка всех изделий до окончания испытаний имеет распределение Эрланга с параметрами X), постольку уравнения имеют вида границы доверительного интервала При длина доверительного интервалами ни- мальна среди других значений, когда. Постановка задачи контроля надежности В процессе производства изделия подвергаются различным видам контроля, предусмотренным программой обеспечения качества и надежности. Так, входному контролю подлежат многие комплектующие изделия. На промежуточных этапах технологического цикла контролируется качество функциональных узлов и блоков. Наиболее полная комплексная проверка качества изделий осуществляется при выходном контроле производства [16]. Каждое изделие проверяется на соответствие техническим условиям (ТУ, испытывается на работоспособность в граничных режимах (проводятся температурные испытания, испытания на вибрацию, при повышенном и пониженном давлении и др. При массовом производстве, когда нет возможности тщательно проверить каждое изделие, проводится выборочный контроль качества (дефектности, при котором по малой партии (выборке) делают заключение о качестве большой партии (генеральной совокупности) и принимают решение о ее приемке или браковке. Выборочный контроль в некоторых специальных режимах может проводиться и при малосе- рийном производстве. Перечисленные виды контроля имеют целью установить уровень качества. Изделия, благополучно прошедшие все виды контроля качества, объявляются кондиционными. Однако этого недостаточно для успешной работы изделий на местах эксплуатации. Необходимо установить, насколько устойчиво качество изделий во времени. С этой целью и проводятся контрольные испытания надежности Они осуществляются по окончании всех других видов контроля и предназначены для того, чтобы определить, удовлетворяет ли данная партия изделий заданным требованиям к надежности. Конечным результатом контроля, как правило, является одно из двух решений: считать партию хорошей, то есть удовлетворяющей требованиям к надежности, или забраковать ее как ненадежную. Важная особенность контроля надежности заключается в том, что решение о приемке и браковке принимается по отношению не к отдельным изделиям, как при выходном контроле качества, а к целой партии, однородной в смысле начального уровня качества (все изделия в партии кондиционные, причем не только к той партии, которая испытывается, но ко всем партиям большего объема. В этом его отличие от статистического контроля дефектности, где, строго говоря, решение распространяется на вполне определенную партию большего объема. Как ив случае определительных испытаний, для проведения контрольных испытаний необходимо составить план, называемый планом контроля Он представляет собой совокупность условий испытания и правил принятия решения о приемке или браковке. Состав исходной информации для расчета параметров плана контроля определяется критерием надежности. В зависимости от выбора контролируемой характеристики надежности все планы контроля делятся на две группы планы контроля вероятности отказа и планы контроля параметров закона распределения. Далее для определенности будем рассматривать планы первого типа, хотя почти все рассуждения справедливы и для планов второго типа. При контроле вероятности отказа требования к надежности задаются с помощью двух чисел и , имеющих следующий смысл партия считается кондиционной (надежной, если вероятность отказа < и некондиционной (ненадежной, если > При контроле надежности выносится решение о конди- ционности или некондиционности партии (в первом случае она принимается, во втором — бракуется. Следует обратить внимание на то, что при проведении определительных испытаний и при теоретических расчетах требования к надежности часто задаются с помощью одного числа и изделие считается надежным, если верхняя оценка < и ненадежным в противоположном случае. При контроле надежности принципиально нельзя ограничиться заданием только одного числа, так как в этом случае не удается обеспечить равные условия по уровням рисков принять неверное решение для обеих заинтересованных сторон, участвующих в контроле надежности. Промежуточная зона (Qo, называемая расстоянием между основной и конкурирующей гипотезами, вводится для хорошего различения двухосновных уровней (кондиция и браки чем она шире, тем проще принять статистическое решение. Контрольные испытания заканчиваются принятием одной из следующих конкурирующих гипотез — партия кондиционная партия некондиционная < Q < 1). Поскольку статистическое решение принимается на основе неполной информации, существует конечная вероятность совершить ошибку первого (хорошая партия бракуется) или второго (плохая партия принимается) рода Вероятность ошибки первого рода называется риском поставщика и представляет собой вероятность того, что будет принята гипотеза хотя на самом деле верна гипотеза (вероятность отказа Q < Решение о верности гипотезы или принимается на основе критерия и Если значение критерия, полученного на основании выборки, попадает в область то принимается гипотеза Если же это значение попадает в критическую область то гипотеза отвергается и принимается гипотеза Поэтому ошибку первого рода (риск изготовителя, поставщика) рассчитывают как условную вероятность (11.25) Вероятность ошибки второго рода называется риском заказчика и представляет собой вероятность того, что будет принята гипотеза хотя вероятность отказа > При использовании критерия и ошибку второго рода рассчитывают как условную вероятность того, что значение критерия окажется в области при условии, что на самом деле верна гипотеза (11.26) Исследование зависимостей аи от показывает, что они достигают максимума на границе указанного в и диапазона и планирование контрольных испытаний ведется в расчете на максимальные значения риска потребителя и заказчика: (11.27) (11.28) Значения аир являются исходной информацией для расчета параметров плана контроля. В процессе планирования находят объем контролируемой партии и приемочные нормативы. Приемочными нормативами называются некоторые постоянные числа, которые являются границами области или и при сравнении которых с числом отказавших изделий т принимается одна из конкурирующих гипотез. Правила принятия решения определяются методом контроля. В настоящее время используются три основных метода статистического контроля надежности однократной выборки, двукратной выборки и последовательного контроля. При однократной выборке существует один приемочный норматив с. Если при испытании партии из N изделий отказали т из них, то решение принимается согласно правилу т<с партия кондиционная (верна гипотеза т с — партия некондиционная (верна гипотеза Контроль по однократной выборке легче спланировать и осуществить. Однако он наименее экономичен и требует сравнительно большого объема испытаний, особенно для партий с высокой надежностью. При двукратной выборке существует два этапа. На первом этапе по результатам испытаний изделий с помощью двух приемочных нормативов и выносится одно из трех решений < — принять партию (верна гипотеза — забраковать партию (верна гипотеза Я < < — произвести вторую выборку. В последнем случае испытывается еще изделий, определяется число отказавших изделий и выносится решение < — принять партию (верна гипотеза забраковать партию (верна гипотеза Метод двукратной выборки более экономичен. Но это его главное преимущество проявляется лишь при контроле больших партий сочень высокой или очень низкой надежностью. При промежуточном уровне надежности выигрыша в объеме испытаний почти нет. Расчеты же, связанные с таким контролем, сложнее, чем при однократной выборке. Кроме того, увеличивается время контроля. Поэтому метод двукратной выборки применяется сравнительно редко. При последовательном контроле приемочные нормативы рассчитываются не в виде отдельных чисел, а в виде двух функций, = и = Для каждого конкретного N определяется число отказавших изделий m{N) и сравнивается с граничными значениями и По результатам сравнения выносится решение < — принять партию (верна гипотеза > — забраковать партию (верна гипотеза Я < m(N) < — продолжить испытания. Объем контролируемой партии изменяется от некоторого минимума до такого значения, когда будет принята одна из гипотез или Таким образом, объем контролируемой партии и, как следствие, время контроля случайны. Этот метод является самым экономичным. Техническое его осуществление не связано с особыми трудностями. Недостатком метода является возможное, хотя и маловероятное увеличение времени контроля. Однако рациональной организацией испытаний такое увеличение можно свести к минимуму. Далее рассмотрим методику расчета планов контроля при однократной выборке и при последовательном контроле Контроль надежности по однократной выборке Пусть необходимо проконтролировать надежность некоторой партии изделий. Требования к надежности каждого изделия заданы в следующем виде изделие надежно, если вероятность его отказав течение заданного времени t не превышает ненадежно, если > В процессе контроля требуется принять статистическое решение о том, являются изделия данной партии надежными или нет, и на этом основании принять или забраковать всю партию, обеспечив риск поставщика не более а, а риск заказчика не более Так как закон распределения наработки изделия неизвестен, то, как ив случае определительных испытаний (см. 11.4), выбираем план Б, t], где длительность испытаний падает со временем t работы изделия в нормальной эксплуатации. Для проведения испытаний и принятия решения кроме необходимо знать еще четыре числа риски объем партии и приемочный норматив с. Если два из них задать, то два других можно определить по уравнениями Если задаются и с, а определить нужно риски аи то получаем прямую задачу планирования контроля. Если же задаются аира определяются N получаем обратную задачу планирования. Найдем теперь явный вид уравнений (11.27) и (11.28). Поскольку число отказов изделий m за время испытаний t распределено по биномиальному закону, мы вместо) и (11.28) можем записать: (11.29) (11.30) В частности, при с = 0 имеем: (11.31) При с > 0 уравнения (11.29) и (11.30) можно решать с помощью таблиц биномиального распределения. Если же N велико, a Q мало, то можно воспользоваться пуассоновским приближением или приближением для биномиального распределения. При приближении уравнения) и (11.28) заменяются следующими: (11.32) (11.33) При использовании приближения значения и а, вычисляются по формуле (11.34) С помощью уравнений легко решить прямую задачу планирования контроля, задавая си определяя Значительно сложнее решить обратную задачу, так как не удается получить в аналитическом виде выражение для с, входящего в пределы сумм формул (11.23) и (11.24). Поэтому с подбирают путем расчета достаточно большого числа вариантов. Прямое вычисление возможно лишь тогда, когда удается воспользоваться нормальным приближением биномиального распределения. При малом большом N и достаточно большом NQ справедлива формула Муав- с помощью которой уравнения и записываются в следующем виде где Ф(х) — функция Лапласа, определяемая по формуле Определяя квантили нормального распределения по уровням 1 - аи и используя свойство = получаем два уравнения: Пренебрегая здесь под корнем величиной по сравнению с единицей, имеем: (11.35) Складывая эти уравнения и обозначая = / находим: откуда (11.36) По известным а находим сначала формуле а затем с по формуле (Пример Определить объем однократной выборки и риск заказчика в плане контроля надежности по вероятности с приемочным нормативом си риском изготовителя а =0,15 если известно, что = 0,01, a = Решение Используя пуассоновское приближение, из формулы получаем = - а) = 0,162. Отсюда N = Теперь по формуле находим. Уточнение рисков по формулам дает а = 1 - 0,99 6 = 1 - - = 0,1496; = = = Пример 11.11. Определить объем однократной выборки и приемочный норматив в плане контроля надежности партии изделий с риском изготовителя и заказчика, не превышающим 10%, если известно, что вероятность отказа изделий из кондиционной партии за время t = 200 ч не должна превышать 0,01 и что партия признается некондиционной, если эта вероятность превышает Решение Используя таблицу квантилей пуассоновского распределения (табл. в [4]), находим, что квантили для уровней вероятностей 0,9 и 0,1 различаются в 23 раза при св раза при си в 4,85 раза при с = 2. Поскольку здесь Л выбираем с = 2. Тогда - 1,102, = 5,322, откуда получаем 0,09 < Пример Контролю надежности методом однократной выборки подлежит большая партия изделий с граничными значениями вероятности отказа за время = 500 ч = 0,05, = 0,1. Необходимо выбрать объем партии и приемочный норматив так, чтобы обеспечить риск изготовителя и риск заказчика ар Решение Используя нормальное приближение биномиального распределения, из формулы при 1 - а =1 = 0,95, = 1,645, =5 находим Отсюда N= = 316. Теперь по формуле определяем с = 1,645 • 3,97 + + 15,8 - 0,5 22. Так как = получилось довольно большим, применение нормального приближения правомерно и найденные параметры планов контроля имеют приемлемую погрешность. При решении обратной задачи, когда приходится выбирать N с перебором ряда вариантов, полезно иметь ввиду следующее. С увеличением объема партии и неизменном с увеличивается риск изготовителя а, но зато снижается риск потребителя При увеличении же си неизменном N, напротив, увеличивается но уменьшается а. При одновременном пропорциональном росте N и с риск потребителя всегда снижается, причем весьма быстро, а риск изготовителя а может даже сначала возрасти, но затем, начиная с некоторых значений N с, также уменьшается, хотя и медленнее, чем р. Об этом можно судить поданным табл. В некоторых планах контроля по ряду причин, несвязанных с расчетами, неуда- ется обеспечить приемлемые для обеих сторон риски. Например, такая ситуация возникает, когда объем партии ограничен и не допускается повышенный риск заказчика или, напротив, когда в целях сокращения времени контроля требуется принять си одновременно не превысить заданное значение риска изготовителя. Тогда контроль планируется в интересах только одной стороны (изготовителя или потребителя, и рассчитываются два норматива — приемочное число — браковочное число. При контроле в интересах изготовителя используется число и решение принимается согласно следующему правилу партия кондиционная т > — партия некондиционная. Таблица Риски изготовителя и заказчика при изменении объема партии и приемочного норматива с a 15 1 0,75 1,50 0,173 0,550 30 2 1,50 3,00 0,191 0,423 75 5 3,75 7,50 0,168 0,241 150 10 7,50 15,0 0,138 0,118 300 20 15,0 30,0 При контроле в интересах потребителя решение принимается с помощью согласно правилу т > — партия некондиционная (брак т < партия кондиционная. При = - 1 оба правила объединяются водно, сформулированное ранее. В общем же случае может быть = си даже Пример 11.13. На заводе изготовлена партия из 100 устройств индикации данных. Необходимо провести контроль надежности этих устройств в интересах изготовителя ив интересах потребителя, полагая, что вероятность отказа кондиционных изделий в течение 1000 ч не должна превышать 0,01, а некондиционными являются те изделия, вероятность отказа которых зато же время превышает Риск изготовителя и риск потребителя не должны превышать Решение Поскольку число контролируемых изделий довольно велико, a малы, пользуемся пуассоновским приближением. Выбираем сначала N с такса Р 0,423 0,241 0,118 чтобы а = 0,05, a N < 100. По табл. VII, приведенной в [5], находим, что а < обеспечивается при си. Выбираем N = с = 2. По формуле (11.24) вычисляем, что р 0,583 » 0,05, то есть при заданных ограничениях не удается удовлетворить одновременно требования изготовителя и потребителя. Поэтому составим два плана. При контроле винтере- сах примем N = 82 и = с = 2. Выясним, можно ли при таком объеме партии обеспечить р 0,05. Полагая = 1, вычислим р = ехр(-0,03 • 82) = = ехр(-2,46) = 0,085 > 0,05, то есть даже при безотказной работе всех 82 устройств риск потребителя больше заданного. Увеличим число контролируемых изделий до максимально возможного N= 100. Тогда при = 1 риск = = ехр(-З) = 0,0498 < 0,05. Принимаем = 1. Однако при N = 100 ириска. Поэтому увеличим на единицу и найдем при = 3, что а = Итак, выбираем N = 100, = 3, = 1. При этом риска, риск 0,0498. Последовательный контроль надежности Последовательный контроль не предусматривает предварительного определения объема испытаний [15]. Информация о надежности накапливается при последовательно возрастающем объеме испытаний. В зависимости от плана испытаний объем V выражается числом контролируемых изделий N, временем испытаний Т, суммарной наработкой и т. д. При планировании контроля на каждом из последовательных этапов составляется так называемое отношение правдоподобия — число отказов к моменту проверки и граничные значения контролируемого показателя надежности для кондиционных и некондиционных изделий соответственно (это могут быть и и и и др. Число сравнивается с оценочными нормативами А = а / (1 - а В = (1 - Р а, где аи риски поставщика и заказчика соответственно. Число А есть отношение вероятностей принять плохую и хорошую аппаратуру В — отношение вероятностей забраковать плохую и хорошую аппаратуру. На каждом этапе контроля решение может быть вынесено на основании первичного правила < А — партия принимается > В — партия бракуется; А < < В — испытания продолжаются. Вместо величин можно использовать их логарифмы, и тогда первичные правила приобретают следующий вид < A — партия принимается > > \пВ — партия бракуется A < < В — испытания продолжаются. Однако это правило не всегда удобно, так как требует для принятия решения не только логической операции сравнения, но и некоторых вычислений. Поэтому из первичного правила выводится вторичное, основанное на сравнении на каждом этапе числа отказавших изделий т с приемочными нормативами и являющимися функциями объема испытаний V. Эти функции и определяют границы между зонами приемки, продолжения испытаний и браковки и находятся из уравнений (Рассмотрим теперь отдельно методику планирования последовательного контроля вероятности отказа и интенсивности отказов. Контроль вероятности отказа по биномиальному плану Поскольку вид функции распределения наработки до отказа неизвестен, будем, как и при однократной выборке, использовать план [N, Б, t]. Тогда число отказов т имеет биномиальное распределение, и отношение правдоподобия равно Подставляя (11.38) в (11.37), находим + + Отсюда = +sN, (11.39) / = (Нетрудно убедиться, что число всегда отрицательно, a и — положительны. Функции и являются уравнениями двух параллельных прямых линий, пересекающих координатные оси в точках - и - Нанося эти прямые на графики, получаем графическую форму плана контроля. Прямые линии разбивают первый квадрант натри зоны приемки, продолжения испытаний и браковки (риса В процессе испытаний строится реализация случайного процесса выясняется ее принадлежность одной из зон. Испытания заканчиваются тогда, когда достигнет одной из границ промежуточной зоны 2 или пересечет ее Графическая форма плана последовательного контроля Кроме графической, существует еще табличная форма плана контроля. В плоскости образуются сечения, параллельные оси абсцисс и проходящие через точки т = 0, 1, 2..., и вычисляются те значения N, при которых пересекаются границы зон. В таблицу заносятся значения т и соответствующие им граничные значения объема испытаний и определяемые согласно и по формулам (11.41) Область N > является областью приемки N < — областью браковки < N < — областью продолжения испытаний. |