Тема 3. СУЖДЕНИЕ (ВЫСКАЗЫВАНИЕ)
Изучив материалы темы, Вы сможете:
понять структуру суждения;
определять виды суждений, в соответствии с качественной и количественной характеристикой;
уяснить отношения между суждениями по «логическому квадрату»;
указать виды логических союзов, которые связывают не- сколько простых суждений, составляющих сложное сужде- ние;
уяснить разницу между суждением и грамматическим пред- ложением.
Суждение – это форма мысли, в которой утверждается либо отрицается связь между предметами или их признаками. Грамма- тической формой выражения суждений выступают, как правило, повествовательные предложения.
В структуре любого простого суждения можно выделить че- тыре элемента: субъект, предикат, связку и квантор. Например:
«Все (квантор) кошки (S) есть (связка) млекопитающие (P)».
Субъект (S) – предмет мысли или логическое подлежащее. Пре-
дикат (P) – то, что сказывается о субъекте или логическое ска- зуемое. Связка связывает субъект и предикат в суждении и выра- жается глаголами существования (есть, не есть, является, не яв- ляется, и т.д.). Квантор указывает на количество суждения и вы- ражается словами: некоторые, все, ни один, ни одна, ни одно.
В большинстве случаев в предложении логическая структу- ра суждения выражена не четко. Так, в предложении «Исполни- тельные документы, по которым истек срок давности, судом в производство не принимаются» квантор и связка формально не
выражены. Для того чтобы установить истинный смысл этого суждения необходимо определить квантор.
Простые суждения делятся на атрибутивные (категориче- ские), суждения отношения и суждения существования (экзи- стенциальные). Атрибутивные (категорические) суждения – су- ждения, в которых указывается на наличие или отсутствие у предметов каких-либо свойств, состояний, видов деятельности и т.д. Например: «Некоторые тигры являются бенгальскими». Су-
ждения существования – суждения, в которых утверждается или отрицается существование некоторого материального или иде- ального объекта. Например: «Существует несколько видов овча- рок». Суждения отношения – суждения, в которых говорится о каких-либо отношениях между предметами. Например: «Москва древнее Санкт-Петербурга». В свою очередь категорические су- ждения делятся по качеству на утвердительные и отрицатель-
ные, а по количеству на единичные, частные и общие. Утверди-
тельное суждение – суждение, имеющее утвердительную
(«есть», «суть») связку между субъектом и предикатом. Напри- мер, «Книга является печатным изданием». Отрицательное суж- дение – суждение, имеющее отрицательную («не есть», «не суть») связку между субъектом и предикатом. Например, «Столы не являются табуретками». Единичное суждение – суждение, предметом мысли которого является единичный объект, в объёме субъекта которого входит лишь один элемент. Например, «Вик- тор Гюго – великий французский писатель». Единичные сужде- ния подпадают под категорию общих, так как их объём исчерпы- вается только одним элементом. Частное суждение – суждение, в котором речь идёт о части предметов, мыслимых в субъекте. На- пример, «Некоторые дети являются капризными». Общее сужде- ние – суждение, в котором речь идёт обо всём классе предметов, мыслимых в субъекте. Например, «Все астры – цветы».
Существует объединенная классификация суждений по ко- личеству и качеству: общеутвердительные (А), общеотрица-
тельные (Е), частноутвердительные (I) и частноотрицатель-
ные (О). Например, «Все утки являются птицами» – A; «Ни одна берёза не является хвойным деревом» – E; «Некоторые люди яв- ляются англичанами» – I; «Некоторые христиане не являются ка- толиками» – O.
Между суждениями А, Е, I, О существуют формальные от- ношения, которые часто иллюстрируются схемой, получившее название
«логический квадрат».
Противоположные (A и E) суждения не могут быть одно- временно истинными, но могут быть одновременно ложными.
Противоречащие друг другу суждения (A и O, E и I) не могут быть одновременно ложными и одновременно истинными.
Под-противоположные (I и O) суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.
Отноше-ния подчинения существуют между общими и частными сужде- ниями одинаковыми по качеству
(A и I, E и O). Если общее суж- дение истинно, то и частное суждение будет истинно. Если част- ное суждение ложно, то и общее суждение будет ложно.
Большое значение имеет распределённость терминов. Рас- пределённым называется термин, взятый в полном объёме.
№ п/п
Вид суждения
S P
1. A
+
–
(+)
2. I
–
–
(+)
3. E
+
+
4. O
–
+
В таблице «+» обозначает то, что термин распределён, а «–» обозначает то, что термин нераспределён.
A
E
I
O
подпротивоположность противоположность подчинение подчинение противо- речие противо
- речие
Например, общеутвердительное суждение (A): «Все люди являются разумными существами». Люди – субъект (S), разум- ные существа – предикат (P). Схема отношений между S и P в этом суждении будет такой:
Так как субъект (S) и предикат (P) находятся в отношении тождества, то они оба распределены.
Общеутвердительное суждение (A): «Все стоматологи – врачи». Стоматологи – субъект (S), врачи – предикат (P). Схема отношений между S и P в этом суждении будет такой:
При этом субъект (S) будет распределён, т. е. взят в полном объёме, а предикат (P) нераспределён.
Общеотрицательное суждение (E) «Ни один человек не яв- ляется пресмыкающимся». Человек – субъект (S), пресмыкаю- щееся – предикат (P). Схема отношений между S и P в этом суж- дении будет такой:
P+
S+
S+
P-
S+, P+
В данном примере и субъект (S) и предикат (P) распределе- ны.
Частноутвердительное суждение (I): «Некоторые учащиеся являются школьниками». Учащиеся – субъект (S), школьники – предикат (P). Схема отношений между S и P в этом суждении бу- дет такой:
В этом примере субъект (S) нераспределён, а предикат (P) распределён.
Частноутвердительное суждение (I) «Некоторые люди яв- ляются умеющими плавать». Люди – субъект (S), умеющие пла- вать – предикат (P). Схема отношений между S и P в этом суж- дении будет такой:
В этом примере и субъект (S) и предикат (P) нераспределе- ны. Здесь нас интересует та часть объёма, которая включает в се- бя людей, которые при этом являются умеющими плавать.
Примечательно, что если мы суждение из последнего при- мера преобразуем в частноотрицательное, то схема отношений между субъектом и предикатом будет та же, а распределённость терминов будет иная.
«Некоторые люди не являются умеющими плавать» – част- ноотрицательное суждение (O). Люди – субъект (S), умеющие плавать – предикат (P). Схема отношений между S и P в этом су- ждении будет такой:
S- P-
S-
P+
В данном примере субъект (S) нераспределён, а предикат (P) распределён. Нас интересует та часть объёма S, в которую входят люди не являющиеся умеющими плавать.
Для частноотрицательного суждения характерна ещё одна схема отношений между субъектом и предикатом.
«Некоторые растения являются цветами» – частноотрица- тельное суждение (O). Растения – субъект (S), цветы – предикат
(P). Схема отношений между S и P в этом суждении будет такой:
Сложные суждения состоят из нескольких простых сужде- ний, связанных между собой логическими союзами. Сложные суждения, как правило, выражаются при помощи сложносочи- ненных предложений, связанных грамматическими союзами.
Виды сложных суждений выделяются на основе логических связок между простыми суждениями, входящими в их состав:
1) Соединительные или, иначе, конъюнктивные суждения. В естественном языке конъюнкции соответствуют союзы «и», «а»,
«но», «однако», и т.п. Конъюнкция обозначается символом «&».
Например, «Катя и Миша пошли в кино». В этом суждении два простых суждения: «Катя пошла в кино» и «Миша пошёл в ки- но». Используя язык логики высказываний (см. тему 8), обозна- чим суждение «Катя пошла в кино» пропозициональной пере- менной – p, а суждение «Миша пошёл в кино» пропозициональ- ной переменной – q. Нашему сложному суждению будет соответ- ствовать формула – p&q.
2) Разделительные или, иначе, дизъюнктивные суждения.
Дизъюнкции в естественном языке соответствует союз «или».
Союз «или» в естественном языке может употребляться в двух
S- P+
S-
P+
разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, то есть могут быть одновременно истин- ными, и строгое «или» (часто заменяется союзом «либо, либо…»)
– когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответст- вии с этим, существуют два символа для обозначения дизъюнк- ции: нестрогая дизъюнкция обозначается знаком «v», строгая обозначается знаком «↔». Например, суждение «У данного больного ушиб или растяжение связок» представляет собой не- строгую дизъюнкцию, так как возможно, что больной получил и ушиб и растяжение связок одновременно, поэтому формальный вид данного суждения буде таким:
pv
q. В суждении «Я поеду на юг на поезде или полечу на самолёте» альтернативы исключают друг друга, поэтому здесь используется строгая дизъюнкция, и формальное представление данного суждения будет иметь вид:
p↔
q.
3)
Условные или, иначе
импликативные суждения. В естест- венном языке импликации соответствует союз «если…, то…».
Импликация обозначается знаком «→». Например, «Если через
проводник проходит электрический ток, то проводник нагревает- ся». Первый член импликации называется антецедентом, или ос- нованием; второй – консеквентом, или следствием. В приведён- ном примере прохождение электрического тока через проводник
(причина), нагревание проводника – следствие. Формула сужде- ния –
p→
q.
4)
Эквивалентные суждения. Эквиваленции в естественном языке соответствуют союзы «если и только если», «тогда и толь- ко тогда, когда…». Эквиваленция обозначается знаком «↔». На- пример, «Студент сдаст экзамен по логике на «отлично» тогда и только тогда, когда ответит на оба экзаменационных вопроса в билете». Формула этого суждения –
p↔
q.
Кроме перечисленных
бинарных логических связок (соеди- няют два простых суждения) существует
унарная связка (приме- няется к одному простому или сложному высказыванию), которая называется
отрицание. В естественном языке отрицанию соот- ветствует выражение «неверно, что…». Отрицание обозначается знаком «». Например, «Неверно, что квадрат является круглым».
Символически это суждение обозначается:
p.
Смысл логических союзов однозначно определен соответст- вующими семантическими таблицами истинности (см тему 8).
Смысл грамматических союзов однозначно не определен и зави- сит от контекста. Поэтому для достижения правильного понима- ния языковых конструкций, включающих грамматические союзы и знаки препинания, последним должны быть поставлены в соот- ветствие подходящие по смыслу логические союзы.
Контрольные вопросы:
1. В чём заключается особенность суждения как формы мыс- ли?
2. Почему суждения должны быть только повествовательными предложениями?
3. Какую роль играет квантор в структуре суждения?
4. Почему единичное суждение в объединённой классифика- ции суждений относится к общим суждениям?
5. Какие существуют виды отношений между суждениями?
6. В чём разница между грамматическими и логическими сою- зами?
7. Чем отличаются атрибутивные суждения от суждений с от- ношением?
Тема 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Изучив материалы темы, Вы сможете:
дать определение доказательства;
указать особенности полемики как вида аргументации;
понять значение доказательства в науке;
назвать основные элементы структуры доказательства;
уяснить роль доказательства в структуре полемики.
Доказательство – логическое действие, в процессе которо- го истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других мыслей.
Доказывать приходится во всех науках. При этом содержа- ние мыслей, истинность которых требуется обосновать, в каждой науке различное. Логика же находит нечто общее, что характерно
для всех доказательств, независимо от того или иного конкретно- го содержания доказательства.
На основании знания того общего, что лежит в основе связи и сочетания мыслей в процессе доказательства, имеется возмож- ность вывести некоторые правила доказательства, которые имеют силу во всех случаях доказательства. Таким общим является структура доказательства,
способы доказательства, общие требо- вания в отношении доказываемой мысли, в отношении мыслей, с помощью которых обосновывается доказываемое положение.
Структура и способы доказательства отличаются устойчивостью.
Они являются результатом длительной абстрагирующей работы человеческого мышления, продуктом ряда эпох, многих поколе- ний людей.
Структуру доказательства составляют три элемента: тезис, аргументы, демонстрация.
Тезис – это суждение, истинность ко- торого следует доказать.
Аргументы – истинные суждения, кото- рые приводятся для доказательства тезиса. Истинность аргумен- тов обосновывается независимо от обоснования истинности тези- са.
Демонстрация (форма доказательства) – способ связи аргу- ментов и тезиса. Тезис и аргументы могут быть связаны по пра- вилам дедуктивного, индуктивного или традуктивного умозак- лючения.
Для того чтобы доказательство было эффективным и ус- пешным необходимо соблюдать
правила доказательства (см. тему 12).
По способу ведения доказательства бывают
прямые и кос-венные (
см тему 12).
Как уже было сказано, доказательство имеет достаточно широкое применение. Вызывает интерес использование доказа- тельство в конкретных ситуациях. Рассмотрим особенности дока- зательства в полемике.
Полемика – это спор по самым различным проблемам с це- лью доказать логическими средствами истинность своей позиции и одержать победу над противоположной стороной.
Полемика — вид языкового общения нескольких партнеров и в этом смысле — диалог. Этим полемика отличается от лекции или доклада. Различие очевидно: и лекция и доклад — монологи.
Полемика отличается и от других форм диалога — бесед, прений, дебатов, диспута, совещания.
Прения, дебаты, диспут не одно и то же. Их объединяет то, что все они могут происходить в форме взаимного обогащения информацией. Один сказал, другой дополнил, третий подтвердил, четвертый обратил внимание, пятый указал новый аспект, шестой предложил подвести черту. По существу, все эти диалоги могут оказаться (для справедливости следует добавить, что могут и не оказаться) скрытыми монологами. Когда единое рассуждение, целостная аргументация воспроизводится последовательно раз- ными персонажами, которые совместными усилиями, вместе, до- полняя друг друга, обосновывают общее положение.
В полемике элемент состязательности, борьбы, соперниче- ства, проявляющийся в виде реплик с критикой и опровержения- ми высказываний соперника, неустраним.
Структура полемики включает в себя три элемента:
1) доказательство со всеми структурными элементами и правила отражает логический аспект полемики;
2) наличие оппонентов и возможно аудитории отражает личностный аспект полемики;
3) сам процесс полемики, корректность которого
зависит от соблюдения партнерами регламента, строгости ведения протоко- ла, наличия третьего лица—арбитра, решение которого определя- ет исход поединка, отражает процессуальный аспект.
Появление второго субъекта решительным образом смещает полемику в сторону поединка, игры. Конечно, каждый из партне- ров по полемике все еще доказывает, аргументирует, но сам этот процесс становится разновидностью состязания, интеллектуаль- ного соперничества. Вечность, неизменность доказательства упо- добляет его произведениям искусства, явлениям, как бы высе- ченным в граните. Аргументация—развивающееся интеллекту- альное действие.
Несмотря на своеобразие полемики, для неё актуальны всё требования, предъявляемые для других видов аргументации. На- пример, основания доказательства должны быть истинными. Для аргументации и полемики требование ослабляется: аргументы не должны быть откровенно ложными.
С другой стороны, цель полемики одержать победу любой ценой, поэтому существует ряд уловок, основанных на наруше- нии законов логики и на стремление оказать психологическое давление на противника. Все обманные приёмы игровой полеми- ки, связанные с аргументами, так или иначе, неоправданно по- вышают степень правдоподобия, достоверности выдвигаемых положений. Уловки, недопустимые приёмы ведения спора под- робно рассматриваются в теме 12.
Контрольные вопросы:
1. Какие элементы входят в структуру доказательства?
2. Что такое полемика?
3. Какой структурой обладает полемика как вид аргумента- ции?
4. Какую роль играют в полемике некорректные приёмы спо- ра?
5. Что является целью полемики?
Тема 5. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В ИСЧИС-
ЛЕНИИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Изучив материалы темы, Вы сможете:
сформулировать теорему дедукции для логики высказываний;
понять разницу между прямым и непрямым способом аргу- ментации;
дать определение понятию «истинностная функция»;
привести доказательство логической корректности теоремы дедукции;
указать функционально полные наборы функций;
сформулировать правило подстановки для исчисления выска- зываний.
Логика высказываний – это логическая теория, язык которой содержит один тип нелогических символов – пропозициональные переменные (замещают простые высказывания естественного
языка), а также один тип логических символов – пропозицио- нальные связки (‚→‚v‚ &‚↔‚
↮).
Особенности логики высказываний определяют специфику её законов, а также то, в каких случаях, согласно этой теории, из множества формул логически следует некоторая формула. Зако- нами логики высказываний будут формы таких высказываний, логическая истинность которых обусловлена логическими свой- ствами содержащихся в них союзов и не зависит от свойств дру- гих логических терминов.
Зная значения
А и
В, можно однозначно установить значе- ния выражений: Α&B‚ ΑvB‚ A→Β‚ A↔Β‚ Α‚ Α
↮Β. Это позво- ляет рассматривать данные символы как знаки функций особого типа: возможными аргументами и значениями этих функций яв- ляются объекты «истина» и «ложь». Такие функции называют
функциями истинности, а
пропозициональные связки, которые служат знаками этих функций, –
истинностно-функциональными. Существует
бесконечное число функций истинности, хотя для каждого n число n-местных функций истинности (функций от n аргументов) конечно и равно
. Например, количество одноме- стных функций – 4, двухместных – 16, трёхместных – 256.
Для большинства функций истинности в естественном язы- ке нет выражений, которые бы их представляли. Однако имеется принципиальная возможность ввести собственный символ – про- позициональную связку – для произвольной функции указанного типа в алфавит формализованного языка.
Собственно говоря, в алфавите языка логики не должны со- держаться все истинностно-функциональные связки. Одни функ- ции истинности могут быть выражены с помощью других. Более того, имеются такие конечные наборы функций, посредством ко-
торых выразима любая функция истинности. Такие наборы назы- вают функционально полными.
Примером такой функционально полной системы является множество функций, представленных связками ‚→‚v‚ &‚↔‚
↮.
Например, логический смысл высказывания вида (A↔Β) равно- силен смыслу выражения (A→Β)&(A→Β). Данные выражения принимают значение «истина» в одних и тех же случаях: 1) когда
А и В истинны, 2) когда А и В ложны. Таким образом, функция эквиваленции выразима посредством функций конъюнкции и импликации.
Кроме перечисленных пропозициональных связок, сущест- вуют другие виды пропозициональных связок: временные, мо- дальные, связки релевантной импликации и т.д. Исследование этих видов связок производится в рамках неклассических логик.
Важную роль в исчислении высказываний играет так назы- ваемое правило подстановки.
Правило подстановки в исчислении высказываний. Вместо любой буквы (переменной для высказываний) в формуле можно подставить любую формулу всюду, где эта буква встречается в данной формуле. Например, в формуле
A→(BvA)
Вместо А можно подставить (ΑvB) и получить следующую фор- мулу
(ΑvΒ)→(Βv(AvΒ))
Если формула, в которую производится подстановка, является истинной, то и формула, получающаяся в результате произведён- ной подстановки, также будет истинной.
Большое значение в формализации доказательств в исчис- лении высказываний имеют тождественно-истинные формулы или законы логики. Законом классической логики высказываний является формула, принимающая значение «истина» при любых наборах значений входящих в неё пропозициональных перемен- ных. Определить является ли произвольное высказывание естест- венного языка логическим истинным можно следующим обра-
зом: выразить логическую форму данного высказывания в языке логики высказываний и построить таблицу истинности для полу- ченной формулы. Если во всех строках таблицы истинности фор- мула примет значение «истина»
, то исходное высказывание явля- ется логически истинным относительно данной теории. Подроб- нее о таблицах истинности и других способах определить являет- ся ли формула логики высказываний тождественно-истинной можно узнать из темы 8.
Цель формализации доказательств в исчислении высказыва- ний, впрочем, как и в любом другом исчислении, выявить спосо- бы правильных рассуждений и формализовать их.
Формы правильных умозаключений, наиболее употребимые в практике аргументации, представляют собой формализацию различных типов рассуждений, построенных по правилам дедук- тивного умозаключения (простого категорического силлогизма, условного-категорического силлогизма, разделительно- категорического силлогизма, условно-разделительного силлогиз- ма (см. тему 11)).
Умозаключения являются простейшей разновидностью рас- суждений. При осуществлении более сложных типов рассужде- ний наряду с умозаключениями применяются и иные, непрямые способы аргументации. Эти приёмы используются в том случае, когда в ходе некоторого
основного рассуждения строятся другие рассуждения, носящие вспомогательный характер.
Предположим, что целью основного рассуждения является обоснование некоторого тезиса
А из некоторого множества аргу- ментов
Г. В ряде случаев решение данной задачи сводят к реше- нию подзадач – к построению одного или нескольких вспомога- тельных рассуждений: к выведению высказывания из множе- ства высказываний
, к выведению из ,…, к выведению из
. Если указанные подзадачи решены, то заключают о дости- жении основной цели рассуждения – о получении
А из
Г. При этом переходе и используют непрямой способ аргументации.
Непрямой способ аргументации – это приём, позволяющий делать вывод об осуществлении некоторого основного рассужде- ния при осуществлении одного или нескольких вспомогательных рассуждений, то есть переход следующего типа:
Из выведено
Из выведено
…………………….
…………………….
Из выведено
Из Г выведено А
Непрямой способ аргументации является корректным, если и только если он гарантирует «сохранение» логического следова- ния при переходе от вспомогательных рассуждений к основному, то есть обеспечивает наличие логического следования А из Г в том случае, когда следует из ,
следует из ,…, сле- дует из
Одним из видов непрямых способов аргументации является
рассуждение по правилу дедукции. Данный способ аргументации применяется в том случае, когда целью основного рассуждения является обоснование посредством некоторого множества аргу- ментов Г такого тезиса, который представляет собой имплика- тивное высказывание A→B. В этом случае можно осуществить следующее вспомогательное рассуждение: принять в качестве допущения антецедент А данного импликативного высказывания, а затем вывести из Г и А его консеквент В. При решении указан- ной подзадачи заключают, что основной тезис A→B обоснован посредством Г.
Пример содержательного рассуждения по правилу дедук- ции.
«Докажем, что если число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3, то это число кратно 15. Допустим, что данное число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3. Известно, что если число оканчивается на 0, то оно кратно 5. Поэтому наше число кратно 5, ведь, согласно допущению, оно оканчивается на
0. Известно также, что если сумма цифр числа кратна 3, то и само это число кратно 3. Поэтому наше число кратно 3, ведь, согласно допущению, сумма его цифр кратна 3. Итак, наше число кратно 5 и 3. Но если число кратно 5 и 3, то оно кратно 15. Следовательно, наше число кратно 15. Таким образом, если число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3, то это число кратно 15».
Проанализируем ход данного рассуждения. В нём обосно- вывается истинность импликативного тезиса:
«Если число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3, то это число кратно 15».
В процессе рассуждения использованы следующие аргумен- ты:
(а) «если число оканчивается на 0, то это число кратно 5»,
(б) «если сумма цифр числа кратна 3, то и само это число кратно 3»,
(в) «если число кратно 5 и 3, то оно кратно 15».
В качестве допущения в рассуждении принимается антеце- дент обосновываемого тезиса:
(г) «число оканчивается на 0 и сумма его цифр кратна 3».
Далее из допущения (г) и аргументов (а) – (в) посредством цепочки умозаключений выводится консеквент тезиса:
(д) «данное число кратно 15».
Затем, применяя метод рассуждения по правилу дедукции, заключаем, что наш импликативный тезис обоснован посредст- вом аргументов (а) – (в).
Рассуждение по правилу дедукции зафиксировано в теореме дедукции.
Теорема дедукции – теорема, которая гласит: если из посы- лок Г, А выводима формула В, то только лишь из посылки Г бу- дет выводима формула A→B. Символически это можно записать так:
Г , А├ В
Г ├ (A→B)
Где греческая буква Г («гамма») обозначает произвольную ко- нечную последовательность формул, А и В – какие-то высказыва- ния, ├ – знак выводимости, знак → – союз «если…, то…», запя- тая в верхней формуле – содержательное «и».
Можно привести доказательство логической корректности этой теоремы, то есть показать, что в случае наличия логического следования вида Г, А├ В имеет место логическое следование вида
Г ├ (A→B).
Доказательство.
(1) Пусть Г, А├ В.
Согласно определению логического следования, это означает:
(2) не существует такой интерпретации пропозициональных пе- ременных, при которой все формулы из
Г истинны,
А – истинна, а
В – ложна.
Согласно условиям ложности импликативных формул :
(3) выражение «А истинно, а
В ложно» равносильно выражению
«
A→
B ложно».
Осуществим замену выражения «
А истинно, а
В ложно» в составе
(2) на равносильное ему «
A→
B ложно».
(4) Не существует интерпретации, при которой все формулы из
Г истинны, а
A→
B ложна.
Снова используем определение логического следования:
(5)
Г ├ (A→
B). Доказательство завершено.
Контрольные вопросы:
1. Что такое пропозициональные переменные?
2. Какие виды пропозициональных связок Вы знаете?
3. Сформулируйте теорему дедукции для исчисления высказы- ваний.
4. Какие наборы истинностных функций называются функ- ционально полными?
5. Что такое непрямой способ аргументации?
6. Дайте определение закона классической логики высказыва- ний.
7. Сформулируйте правило подстановки для исчисления вы- сказываний.
Скачать 1.04 Mb.