Пособие по ПИД. Областное государственное автономное профессинальное образовательное учреждениениеборовичский педагогический колледж
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
«БОРОВИЧСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Проект Применение производной в решении задач специальность 09.02.06 Сетевое и системное администрирование по учебной дисциплине Математика Проект рекомендован к защите Руководитель ___________________________, преподаватель ОГА ПОУ «Боровичский педагогический колледж» «__»______2020 г. / ______/ подпись Выполнил(а) _______________________________________, студент группы _____, очная форма обучения Работа завершена «__»________2020 г./ ____/ подпись Руководитель ______________________________________, преподаватель ОГА ПОУ «Боровичский педагогический колледж» Работа проверена «__»______ 2020 г. / ____/ подпись Проект защищен « » ________ 2020 года Оценка ____ 2020 год 68 Содержание Введение 3 1 Понятие производной 5 1.1 Некоторые понятия дифференциального исчисления 5 1.2 История развития понятия производной 6 2 Применение производной в решении задач 8 2.1 Роль применения производной в различных науках 8 2.2 Решение задач с помощью производной 12 Заключение 16 Список литературы 17 69 ВВЕДЕНИЕ Дифференцирование или операция нахождения производной. В терминах производных формулируются основные законы природы. На основе этих законов составляются дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию подлежащих изучению объектов. Решая полученные дифференциальные уравнения, исследователь имеет возможность достаточно полного описания многих аспектов изучаемых явлений, включая предсказание ещё неоткрытых научных фактов. Чтобы начать двигаться вдоль этой цепочки, необходимо прежде всего определить, что понимать под производной. Производная функции как одно из фундаментальных понятий математики. Применение производной при решении физических, химических и биологических задач. Производная функция играет важную роль в социально- экономических исследованиях, областях жизни человека, поэтому умение прогнозировать, решать имеет огромное значение в практической деятельности. Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в различных отраслях наук. Объект исследования: понятие производной, как основа дифференциального исчисления. Предмет исследования: применение производной в решении задач. Гипотеза: если изучить понятие производной и приёмы её применения в решении задач, то это будет способствовать нахождению более простых и рациональных способов решения различных задач. Цель исследования: изучить понятие производной, формулы дифференцирования, алгоритмы и способы применения производной, выявить роль применения производной в решении задач. Задачи: – изучить основные понятия и формулы дифференциального исчисления, связанные с понятием производной; – изучить возможности применения производной в различных областях 70 науки; – рассмотреть способы решения задач с помощью производной и убедиться в том, что применение производной способствует нахождению рациональных и более простых способов в решении задач особого вида. Методы исследования: – сбор материала, работа с литературой, анализ, обобщение; – изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии); – анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме). Практическая значимость работы состоит в том, что она может быть использована студентами для повышения образовательного уровня при изучении учебной дисциплины Математика. 71 1 Понятие производной 1.1 Некоторые понятия дифференциального исчисления Дифференциальные исчисления – раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. [9, с.14] Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление базируется на таких важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, граница, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений [9, с.16]. Таким образом, производная функции – понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Обратный процесс – нахождение первообразной – интегрирование. Производная – произведённая, образованная от другой, простейшей или основной величины, формы, категории. 1.2 История развития понятия производной В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Ньютон называл производную флюксией, школа Лейбница предпочитала в качестве базового 72 понятия дифференциал. Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов, переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée, используемый Лагранжем. В конце 12 века. Исаак Ньютон доказал, что Путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, ( a=V’=x’’, F=ma=m*x’’, импульс P=mV=mx’, кинетическая E=mV 2 /2=mx’ 2 /2), химией, биологией и техническими науками. Термин производная и современные обозначения y’, f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.[1, с.56]. Таким образом, … 2 Применение производной в решении задач 2.1 Роль применения производной в различных науках Производная в обычной жизни. Представьте себе двух людей. Пусть их будут звать Коля и Петя. Коля и Петя — одного возраста, пола, с одинаковым образованием и работают в одной и той же фирме, на должностях одного уровня и получают одинаковую зарплату. (рисунок 2) Коля — всегда был очень умён, трудолюбив и раньше, до наблюдаемого нами момента, его карьера шла очень хорошо. Он был начальником Пети и зарабатывал раз в 25 больше. Но потом в его жизни что-то поменялось [4, с.4]. А вот Петя — гением никогда не был. Он был обычным неглупым трудягой, который честно работал. Без героических свершений и позорных провалов. Его карьера медленно и плавно двигалась в гору и кресло начальника отдела уже, было готово принять его (рисунок 1). 73 Рисунок 1 –Характеристика «Коли и Пети» Рисунок 2 – Сравнение «Коли и Пети» Производная в механике [7, с.7]. Механическое движение– это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость. Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной. Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо: 1 Найти производную s' = f ' (t). 2 Подставить в полученную формулу заданное значение времени. Производная в электротехнике[8,с.5]. В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает электрический 74 ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени. В электротехнике в основном используется работа переменного тока. Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы. Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока. Производная в химии [8, с.13]. И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств. Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ. Химия изучает закономерности протекания различных реакций. Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени. Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени. Если C (t) - закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v (t) химической реакции в момент времени t равна производной. Производная в биологии [7, с.9]. Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции. 75 Таблица 1 – Применение производной в биологии Понятия на языке биологии Обозначение Понятие на языке математики Численность в момент времени t1 x = x(t) Функция Интервал времени /\t = t2 – t1 Приращение аргумента Изменение численности популяции /\x = x(t2) – x(t1) Приращение функции Скорость изменения численности популяции /\x √ /\ t Отношение приращения функции у приращения аргумента Относительный прирост в данный момент Lim /\x √ /\ t t → 0 Производная P = x`(t) Производная в географии [6, с.24]. Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N (t), Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Выведем формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов, так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях. Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. 2.2 Решение задач с помощью производной В курсе «Алгебра и начала анализа» при обобщении материала темы «Производная и её применение» можно с позиций теории дифференциального исчисления показать, как с помощью понятия производной получают единую трактовку такие понятия, как скорость химической реакции, мгновенная скорость прямолинейного неравномерного движения, линейная 76 плотность неоднородного стержня, сила тока в цепи, теплоемкость тела и т. д.. Целесообразно также более тесно связать понятие производной с такими содержательно-методическими линиями курса математики, как линия уравнений и неравенств, линия тождественных преобразований. [1, с.63] Так, понятие производной функции может быть использовано при доказательстве тождеств, при этом усилится прикладная направленность курса, расширится класс решаемых задач. Таблица 2 – Таблица производных Производные степенных функций Производные тригонометрических функций Производные обратных тригонометрических функций (c)`= 0 (sin x)` = cos x (arcsin x)` = 1/ √ 1 - x 2 (x a )` = ax a-1 (cos x)` = sin x (arcos x)` = -1/ √ 1 - x 2 (a x )` = a x ln a (tg x)` = 1/cos 2 x (arctg x )` = 1/1+x 2 (log a x)` = 1/x ln a (ctg x)` = 1/cos 2 x (arcctg x)` = -1/1+x 2 Пример 1. Вычислить производную функции в точке Следующие способы обозначения функции эквивалентны: ; В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс». Сначала находим производную: На втором шаге вычислим значение производной в точке : Для доказательства рассмотрим функцию f(x) = cos 4 х - cos 4х — 2 cos 2 х + cos 2х. Доказать данное тождество — это значит показать, что при любом х значения функции f (х)равные - , т. е. следует установить, что эта функция постоянна и ее значение есть число - . 77 Итак, можно сделать вывод, что на множестве R данное равенство есть тождество.[6, с.76]. Всё это подтверждает важность изучения темы «Производная», ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи. Таким образом, применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что изучение темы: «Производная функции» будет иметь своё применение в науках. Изучение темы «Производная» является основой изучения раздела математического анализа и определяет весомую роль в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, в решении различных задач. 78 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Комплексность использования математических закономерностей в современном производстве и его структурных частях проявляется постоянно. А рабочим различных профессий необходима не только специальная, но и математическая подготовка, без которой нельзя заниматься рационализацией, изобретательством, творчески трудиться; где и проявляются общетрудовые (планирование, самоконтроль) и некоторые общепроизводственные (измерительные, вычислительные, графические, исследовательские) умения. Знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.). Это доказывает важность применения производной, как основы дифференциального исчисления, в решении различных прикладных задач. Таким образом, можно заключить, что гипотеза, выдвинутая в начале исследования, нашла свое подтверждение. 79 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Гусев В.А., Мордкович А. Г. «Математика» АСТ, 2017. Т.1. 672.с 2 Болтянский В.Г., «Что такое дифференцирование?» 2015. 64.с 3 Виленкин Н., Мордкович А. «Что такое производная» 1975. 18.с 4 Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» ФГОС. 2019. 347.с 5 Структурно-логические схемы и таблицы «производная» [Электронный ресурс] URL: http://xn--e1aogju.xn--p1ai/ (дата обращения: 19.10.2019) 6 Исследовательская работа по теме "Применение производной" Емельянов Д. [Электронный ресурс] URL: https://infourok.ru/ (дата обращения: 19.10.2019) 7 Применение производной, проектная деятельность на уроках математики (10 класс) [Электронный ресурс] URL: https://www.metod- kopilka.ru/ (дата обращения: 17.10.2019) 8 Применение производной в различных областях науки [Электронный ресурс] URL: https://revolution.allbest.ru/ (дата обращения: 17.10.2019) 9 Материал из Википедии – свободной энциклопедии. [Электронный ресурс] URL: https://www.wikipedia.org/ (дата обращения: 19.10.2019) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НОВГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «БОРОВИЧСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Проект Создание декоративных досок из древесины способом выпиливания по учебной дисциплине «Индивидуальное проектирование» Специальность 42.02.01 Реклама Проект рекомендован к защите Руководитель __________________________________, преподаватель ОГА ПОУ «Боровичский педагогический колледж» « » 2019 г./ / Выполнил(а) ______________________________________, студент группы _____, очная форма обучения Работа завершена « » 2019 г./ / подпись Руководитель _______________________________________, преподаватель ОГА ПОУ «Боровичский педагогический колледж» Работа проверена « » 2019 г./ / подпись Проект защищен « » 2019 года Оценка 2019 г. 81 Содержание Введение 3 1 Теоретические основы по созданию декоративных досок из древесины способом выпиливания 5 1.1 История создания декоративных досок из древесины 5 1.2 Технология создания декоративных досок из древесины 7 1.3 Техника безопасности по созданию декоративных досок из древесины способом выпиливания 9 2 Практическая деятельность по созданию декоративных досок из древесины способом выпиливания 12 Заключение 14 Список использованных источников Приложение А Приложение Б 15 82 ВВЕДЕНИЕ В старину наши предки умели очень многие вещи делать своими руками, которые создавались качественно и красиво. Сейчас в современной жизни продаются очень много красивых и оригинальных вещей, выполненных при помощи современных технологий, но работа, сделанная своими руками из древесины, придает интерьеру своеобразный стиль. В наше время мода на вещи ручной работы развивается: на уникальные подарки, элементы интерьера и одежды. Ни одна хозяйка не обходится без декоративных досок – обсуждению не подлежит. При большом ассортименте соответствующей продукции одну не утраивают ее размеры или геометрия, другую – внешнее оформление, третью – еще что-то. Перечень всех подобных «претензий» можно продолжать до бесконечности. А ведь есть довольно простое решение проблемы оптимального варианта бытовой разделочной доски – изготовить ее своими руками, из дерева. Знание же некоторых особенностей технологии значительно упростит эту работу. Вместе с новой сковородой и новой посудой в нашем доме появилась проблема. Ведь что бы приготовить еду нужно приготовить все ингредиенты, порезать, покрошить, но это нужно делать аккуратно на разделочной доске. Красивая доска станет украшением кухни и может быть использована в качестве подноса при подаче блюд на стол. Разделочные доски могут быть пластмассовые, металлические, деревянные. Создам подарок и сделаю декоративную деревянную доску своими руками. Объект исследованиям: декоративные доски. Предмет исследования: разработка декоративной доски из древесины способом выпиливания. Гипотеза – если изучить на теоретическом и практическом уровне технологию создания разделочной доски, то можно продемонстрировать творческие умения в создании декоративной доски из древесины способом 83 выпиливания Цель проекта: теоретическое обоснование и практическое освоение техники создания декоративной доски способом выпиливания. Задачи: 1. Узнать историю возникновения разделочных досок. 2. Познакомить с технологией создания декоративной доски. 3. Соблюдать технику безопасности по созданию декоративной доски 4. Развивать умения в обработке древесины. 5. Развивать творческие способности и художественный вкус. Освоить навык обработки по дереву несложно. Настоящее мастерство приходит с опытом и с приобретением более качественного инструмента. Сегодня мы расскажем о том, с чего необходимо начать и какими базовыми навыками следует овладеть, чтобы всерьёз создать декоративную доску. Есть простое решение проблемы оптимального варианта бытовой разделочной доски – изготовить ее своими руками, из дерева. Знание же некоторых особенностей технологии значительно упростит эту работу. Методы исследования Теоретические методы: анализ специальной литературы; выделение ключевых положений для составления технологии изготовления изделий из древесины. Эмпирические методы: выявление свойств древесины; анализ и выбор формы материала для изготовления декоративной доски; выбор приемов для обработки древесины изготавливаемого изделия. Практическая значимость: представленная технология изготовления декоративных досок может служить основой для подготовки данного вида поделок из древесины. 84 1 Теоретические основы по созданию декоративных досок из древесины способом выпиливания 1.1 История создания декоративных досок из древесины Сразу после изобретения «ножа» человек понял, что нож меньше тупится, если разделывать пищу не на каменной, а на деревянной подставке. Так родилась разделочная доска. Со временем разделочные доски приобретали различные формы. |