Сопромат. Изучай сопромат самостоятельно. Общие методические указания по изучению сопротивления материалов Как слушать лекции и писать конспект. 15 Зачем нужны практические занятия эксперимент критерий истины. 20
 Скачать 1.39 Mb.
|
|
EJ M y = ≈ ′′ ρ 1 . Чтобы не допускать ошибок при записи дифференциального уравнения упругой линии балки, разберитесь, как необходимо размещать систему координат (начало отсчета, направление осей координат) на расчетной схеме балки. Момент силы или пары сил относительно сечения отрицателен, если верхние волокна отсеченной части растягиваются Мили М F 3 (d+c+в)+F 2 в-М; М m-m =-F 1 (a+в+с)+F 2 с, или ММ см. расчетную схему вверху страницы) Определение величины М Изгибающий момент в сечении равен алгебраической сумме моментов сил, приложенных к отсеченной части, относительно центра тяжести сечения Q n-n = -F 1 , или Q n-n = -F 2 – F 3 ; Q m-m = -F 1 + F 2 , или Q m-m = -Если момент внешней силы относительно сечения направлен против хода часовой стрелки, то сила отрицательна Определение величины Q Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к одной из отсеченных частей Правило знаков для вычисления Q Если момент внешней силы относительно сечения направлен походу часовой стрелки, то сила положительна F F n n m Направление момента силы F относительно сечения F 2 F 1 n n m m а в с d М Правило знаков для М Момент силы или пары сил относительно сечения положителен, если верхние волокна отсеченной части сжимаются Схема 52. Определение внутренних силовых факторов при плоском изгибе n n ММ ММ Ход часовой стрелки Верхние волокна сжаты Верхние волокна растянуты 91 Полученное уравнение на каждом участке изображаем графически (строим эпюру) Для каждого участка составляем уравнение внутреннего усилия Определяем (если нужно) реакции связей - на некотором расстоянии от начала участка проводим сечение - отбрасываем одну из отсеченных частей - записываем чему равно внутреннее усилие в проведенном сечении Ось балки разбиваем на участки. Заграницы участков принимают начало, конец балки - сечения, где приложены сосредоточенные силы, моменты - начало, конец участка распределенной нагрузки ВАМ Нм F=4 Н q=2 Нм 2 мм мм участок участок участок 4 участок В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, должен быть скачок на величину этой силы Э, Нм Уравнения равновесия балки ; 1 V ; 0 4 4 4 7 2 2 8 V ; 0 ) ( В В Н F m k А = = + ⋅ + ⋅ ⋅ − = ∑ Нм. -2 2 - 2 1 М 0; М м; 2 МН 2 2 Нм- Q 4. Участок Нм. 2 2 4 4 ) 2 4 ( 1 М Нм; 8 4 4 м- М 4 1 F -V Q 3. Участок Нм. 8 4 ) 2 2 ( 1 М ; 6 М м; 2 Z 0 M; - ) Z (2 -V М ; 1 Q 2. 2 M ; 0 M ; м 2 Z 0 ; М H; -1 Q 1. Участок Вычисляем. М. и Q 1 V ; 0 1 2 2 4 4 4 8 V ; 0 ) ( 2 2 ) 2 (z ) 0 (z 4 2 Z 4 B Z ) 2 (z ) 0 (z 4 4 B z ) 2 (z ) 0 ( 3 3 3 A z A z ) 2 (z ) 0 (z 2 2 A z z ) 2 (z ) 0 (z 1 1 z А 4 4 2 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 = ⋅ = = ≤ ≤ = = ⋅ + − = − = ≤ ≤ + = − = ⋅ + − + − = − = − ⋅ − = ≤ ≤ + + = = + − = + = − = − + − = − = ≤ ≤ + = − = − = − = = ≤ ≤ − = = − = = = ⋅ ⋅ + ⋅ − + = = = = = = = = = = = ∑ Z М Нм Н V Участок Нм Z V V для уравнения Записываем H F m z A A A k В Схема 53. Алгоритм построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил (основан на правиле РОЗУ) 92 На участках, где Q положительна, эпюра М возрастает (при контроле слева направо) На участках, где Q отрицательна, эпюра М убывает (при контроле слева направо) По знаку производной Q dZ dM = Эпюра М изображается кривой выпуклостью направленной против распределенной нагрузки Эпюра Q изображается прямой наклонной линией Сосредоточенные пары сил Сосредоточенные силы По способу приложения внешней нагрузки Распределенные силы по линии 3. По величине производной α = = tg Q dZ dM F 4 F 1 F 2 F 3 F 2 F 3 F 4 Эпюра Q изображается прямой параллельной нулевой линии (Q=const) В сечениях, где приложена сосредоточенная силана эпюре М должен быть излом в сторону противоположную силе Э Нулевая линия На эпюре Q должен быть скачок на величину силы ив направлении силы при контроле слева направо) В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, на эпюре М должен быть скачок на величину алгебраического момента пары сил ЭМ q а в F 1 F 1 Э С С 1 ММ возрастает ЭМ М убывает В сечении, где Q равна нулю, эпюра М имеет экстремум (минимум или максимум Э Q ЭМ 2. На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра М изображается прямой линией, тангенс угла наклона которой равен поперечной силе Q на этом участке Схема 54. Правила контроля эпюр Ау значит, нейтральная линия (ось СХ) проходит через центр тяжести сечениях М Метод сечений dz Рассматриваем соотношение между удлинениями волокон бесконечно малого элемента стержня ρ y dz d α а 1 а в в 1 с с 1 Нейтральный слой Гипотеза плоских сечений Составляем уравнения равновесия ∑ ∫ = σ = A kz 0 dA F ∑ ∫ = σ − = A k Закон Гука при растяжении, сжатии Е - dA y х A 2 J ∫ = осевой момент инерции х ЕМ х ЕJ М 1 = ρ x х J у М = σ ρ σ у Е = max x x y J W = , 0 хуdA J А xy ∫ = = значит, оси СХ, СУ - главные центральные оси координат поперечного сечения Схема 55. Вывод формулы нормальных напряжений при чистом плоском изгибе Рассматриваем отсеченную часть стержня М z х х y c σ ( ) ρ α ρ α ρ α ρ ε у d d d у cc ab b a = − + = = − = 1 1 1 Эквивалентное напряжение сравнивается с допускаемым adm Определяется момент сопротивления сечения W x adm x x M W σ ≥ Проектировочный расчет x x Плоский изгиб Чистый изгиб Поперечный изгиб Нормальные Касательные y х x max x y max bJ S Q = τ max х b Условие прочности по нормальным напряжениям x x Условие прочности по касательным напряжениям x max x y max bJ S Q = τ adm τ ≤ Проверочный расчет Максимальная величина напряжения сравнивается с допускаемым x x max W M = σ adm σ ≤ ; x max x y max Определение допускаемой нагрузки эксплуатационный расчет) Определяется допускаемый изгибающий момент adm x adm W М σ ≤ Напряжения в поперечном сечении балки Схема 56. Напряжения при плоском поперечном изгибе Кривизна упругой линии балки у ) ) у ( 1 ( у J М 1 2 3 2 x х ′′ ≈ ′ + ′′ = Ε = ρ Деформации при плоском изгибе Линейные Угловые Деформации малы и упруги Перемещения у к поперечных сечений балки в направлении перпендикулярном оси балки Угол поворота θ сечений балки относительно своего исходного положения Функция у) – уравнение упругой линии балки ) z ( f у Дифференциальное уравнение упругой линии балки х x М у J = ′′ Ε Решаем дифференциальное уравнение. Получим Уравнение углов поворота ) z ( f у 1 = ′ = θ Уравнение упругой линии балки у) Производим проверку жесткости балки , f у max adm Записываем уравнение изгибающего момента М) Схема 57. Линейные и угловые деформации при плоском изгибе Выделим элемент. Приложим к плоскостям нормальные и касательные напряжения уху в отс x S dA ) d ( σ + σ 1 Проводим сечения n-n, m-m, перпендикулярные оси z, 1-1, параллельное нейтральному слою F dz n n m m 1 х z у Метод сечений Гипотезы плоских сечений касательные напряжения равномерно распределены по ширине сечения (гипотеза Журав- ского) Заменим распределенные силы их равнодействующими Т dz в А А где А – площадь отсеченной части поперечного сечения Q dz z у Т Q N N Составляем уравнение равновесия выделенного элемента ∑ = 0 F kz , N 2 -N 1 -T=N 1 +dN 1 -N 1 - dz в 0, dN 1 = dz в ⋅ ⋅ τ = ∫ σ А dA d x x x х J у dM J у М d ; = σ = σ Зависимость между поперечной силой и изгибающим моментом dz dM x Q = ∫ ∫ = = = τ A dz в вJ dM A J у в отс x x x x x x у отс x вJ QS = τ Схема 58. Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе Лабораторные работы Рабочими программами предусматривается несколько лабораторных работ на плоский изгиб 1) работа 19. Чистый изгиб 2) работа 20. Прямой изгиб 3) работа №5. Перемещения в балке при прямом изгибе. Теория и практика их проведения описана в лабораторном практикуме [1, 4]. После теоретической подготовки по учебниками лабораторному практикуму проведите лабораторную работу. Напишите и защитите отчет по лабораторной работе. Вопросы для самопроверки 1. Какой изгиб называется прямым чистым изгибом 2. Какой изгиб называется плоским поперечным изгибом 3. Какие внутренние силовые факторы возникают при чистом изгибе 4. Какие внутренние силовые факторы возникают при плоском поперечном изгибе 5. Чему равен изгибающий момент в каком-либо сечении балки 6. Чему равна поперечная силы в каком-либо сечении балки 7. Какие правила знаков используются при составлении уравнений изгибающих моментов и поперечных сил на каком-либо участке 8. Что такое нейтральный слой, силовая плоскость, нейтральная линия (нейтральная ось, силовая линия 9. Как взаимно расположены силовая и нейтральная линии при прямом изгибе. Какие гипотезы использованы при выводе формулы нормальных напряжений при изгибе 11. Как изменяются нормальные напряжения по поперечному сечению балки при плоском поперечном изгибе 12. В каких точках поперечного сечения балки при плоском поперечном изгибе возникают наибольшие нормальные напряжения 13. В каких точках поперечного сечения балки возникают наибольше по величине касательные напряжения 14. Какие гипотезы использованы при выводе формулы для расчета касательных напряжений в поперечном сечении балки при плоском изгибе 15. Какие деформации возникают при чистом и поперечном изгибе 16. Запишите дифференциальное уравнение упругой линии балки. Для проверки своих знаний пройдите тестовый контроль [47, 51]. Если вы справились с большинством вопросов самостоятельно, то можно приступать к решению задач. 98 4.6.3. Самостоятельное решение задач Прежде всего необходимо научится строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Необходимая для этого теория и методические указания изложены в пособиях [7-9]. Изучите их в части, касающейся поперечного плоского изгиба. Еще раз внимательно изучите правило РОЗУ. Изучите 5-6 задач, решенных в пособиях, и попытайтесь самостоятельно произвести расчеты, построить эпюры. Если у вас все получается, то решайте свои задачи на построение эпюр. Необходимо освоить методику расчета балки на прочность и жесткость. Для этого выберите в методических указаниях 2-3 задачи проектировочного, проверочного и, возможно, эксплуатационного расчета. Изучите их, добейтесь самостоятельного воспроизведения решения. Решение надо понять, а не запомнить. Если все понятно, приступайте к решению задач домашнего задания. Ставить и решать проектировочную, проверочную и эксплуатационную задачи Строить эпюры внутренних силовых факторов – изгибающего момента и поперечной силы Закономерности распределения нормальных и касательных напряжений в поперечном сечении балки Определение чистого и поперечного плоского изгиба Схема 59. Результаты изучения модуля Изгиб Знать Выделять чистый и поперечный изгиб из совокупности других деформаций Условия прочности по нормальными касательными эквивалентным напряжениям Понятие линейных и угловых перемещений при плоском поперечном изгибе Дифференциальное уравнение упругой линии балки Условие жесткости Ставить и решать проверочную и проектировочную задачи из условия жесткости балки Уметь 99 Основная цель данного модуля – дать представление о напряженном и деформированном состояниях в окрестности некоторой точки и способах их описания. МОДУЛЬ Л Напряженно- деформированное состояние в точке Тяжел груз познаний. Положу-ка еще один кирпич. Введение Растяжение Кручение Геометрия Уровень незнания Введение Растяжение Кручение Геометрия Изгиб 100 Вектор и его составляющие. Проекция вектора на ось Основные тригонометрические формулы Анализ функции одной переменной на экстремум ИЗУЧИТЕ Теоретическая механика ИЗУЧИТЕ в разделе Статика Условия равновесия различных систем сил МОДУЛЬ Л Модуль Е Сложное сопротивление Модуль В. Сдвиг Кручение Модуль З Усталость. Модуль И Удар Модуль Д Изгиб Метод сечений (модуль А. Деформации и напряжения при растяжении, сжатии (модуль Б) Повторите Сопротивление материалов Математика Схема 60. Взаимосвязь модуля «Напряженно-деформированное состояние в точке с другими дисциплинами и модулями Модуль К Теории предельных состояний теории прочности Входной контроль знаний Математика 1. Как разложить вектор на составляющие по двум, трем заданным направлениям. Чему равна проекция вектора на ось 3. Чему равен синус, косинус двойного угла Чему равна тригонометрическая единица 4. Чему равна производная функции в точке, где она имеет максимум или минимум Как вычислить экстремальные значения функции 5. Что называется паллелепипедом? 6. Что понимается под определителем системы линейных уравнений Плоское Объемное 3 2 1 , Плоское 2 1 Линейное Объемное 3 2 1 , Линейное Главные напряжения 3 2 1 , Напряженное состояние Деформированное состояние Тензор деформаций Деформированное состояние в точке Главные деформации 3 2 1 , Схема 61. Напряженное и деформированное состояние в точке Напряженное состояние в точке Тензор напряжений Обобщенный закон Гука [ ] [ ] [ ] Ε + − = Ε + − = Ε + − = / ) ( / ) ( / ) ( 2 1 3 3 3 1 2 2 3 2 1 Анализ линейного, плоского объемного напряженных состояний (напряжения на наклонных площадках) Теоретическая механика 1. Чему равен алгебраический момент силы относительно точки 2. Запишите условия равновесия пространственной и плоской системы сходящейся сил. 3. Запишите условия равновесия произвольной плоской системы сил. Сопротивление материалов Ответьте на вопросы самоконтроля модулей А, Б (см. с. 41, 55). Изучение теории Опираясь на информационно-логическую схему 61 как на путеводитель, изучите по учебнику и лекциям теоретический материал данного модуля. Методические указания Изучая модуль, обратите внимание на понятия напряженного и деформированного состояния в точке, главные напряжения и главные деформации, на классификацию напряженных и деформированных состояний. Между ними существует взаимосвязь в виде обобщенного закона Гука. Из него следует, что линейному напряженному состоянию соответствует плоское деформированное состояние, а линейному деформированному соответствует объемное напряженное состояние. Любое напряженное и деформированное состояние можно проанализировать, то есть изучить, как меняются главные напряжения и главные деформации при изменении углов наклона площадки по отношению к координатным осям. Этот анализ дает информацию необходимую для практики расчетов на прочность и жесткость • закон парности касательных напряжений, • взаимосвязь нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках. Важную роль в процессах пластического течения и разрушения играют касательные напряжения. При всех видах напряженного состояния надо знать [52], глава 13 Рекомендуем прочитать [54], глава 7 [59], глава 8 [60], глава 2, параграфы 13-17 положение площадок, на которых касательные напряжения максимальны, и формулы для расчета их величины. Вопросы самоконтроля 1. Что называется напряженным, деформированным состоянием в точке 2. Какие виды напряженного состояния вам известны 3. Какие виды деформированного состояния вам известны 4. В чем заключается закон парности касательных напряжений 5. Чему равна сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных плоскостях 6. Как расположена площадка с максимальной величиной касательных напряжений при линейном, плоском и объемном напряженном состоянии 7. На каких площадках возникают наибольшие и наименьшие нормальные напряжения 8. Запишите обобщенный закон Гука. Пройдите тестирование [49]. Схема 62. Результаты изучения модуля Напряженно- деформированное состояние в точке Знать Уметь Главные напряжения, деформации Понятия напряженного и деформированного состояний Виды напряженного и деформированного состояний Определять видна- пряженного состояния Аналитически определять напряжения на любой площадке в данной точке Закон парности касательных напряжений Максимальную величину касательных напряжений Обобщенный закон Гука Самостоятельное решение задач Основная цель работы над решением задач – научиться определять величину главных напряжений и положение главных площадок по величине компонент тензора напряжений с использованием аналитических выражений и кругов Мора. В методическом пособии [68] изучите примерна с. 34, а затем решите одну- две задачи из номеров 108-119. Если вы успешно справились с задачами, то приступайте к решению домашних задач, РПР, курсовых работ. 105 Основная цель данного модуля дать основы теории и методов оценки прочности при сложном напряженном состоянии. МОДУЛЬ К Теории предельных состояний (теории прочности) Предельное состояние Может, это про меня Введение Растяжение Кручение Геометрия Введение Растяжение Кручение Геометрия Изгиб НДС Уровень незн аний 106 4.8.1. Входной контроль знаний Для того чтобы проверить достаточность ваших знаний для освоения данного модуля ответьте на вопросы самоконтроля модулей Б и Л (см. с. 55, 103). 4.8.2. Изучение теории Изучите информационно логическую схему 64. Затем, по конспектам лекций и учебникам (см. таблицу ) подробно изучите каждый блок информации. Модуль К Модуль Е Сложное сопротивление Модуль Ж Устойчивость Модуль З Усталость Модуль И Удар Деформации и напряжения при растяжении, сжатии (модуль Б) Модуль Л. Напряженно- деформированное состояние в точке Повторите Сопротивление материалов Модуль В Сдвиг. Кручение Модуль Д Изгиб Схема 63. Взаимосвязь модуля К Теории предельных состояний с другими дисциплинами и модулями Четвертая теория предельных состояний Факторы перехода в предельное состояние Предельное значение фактора для данного материала определяется из эксперимента по одноосному растяжению, сжатию Условие наступления предельного состояния Сложное напряженное состояние При одноосном растяжении, сжатии (линейное напряженное состояние) Плоское 2 1 σ σ Предельное состояние Максимальное нормальное напряжение равно пределу текучести у A N 1 σ = = σ = σ Максимальное нормальное напряжение равно пределу прочности Пластическое течение, остаточные деформации Хрупкое разрушение Предельное состояние при сложном напряженном состоянии возникает при достижении некоторым фактором предельной величины Объемное 3 2 1 σ σ σ f Максимальное нормальное напряжение Максималь ное относительное удлинение Максимальное касательное напряжение Энергия изменения формы Третья теория предельных состояний Схема 64. Теории предельных состояний (теории прочности) Методические указания Следует хорошо уяснить идею существования фактора предельного состояния независящего от вида напряженного состояния. Если этот фактор определен при линейном напряженном состоянии ( при растяжении, сжатии, то Третья теория предельных состояний гипотеза прочности) Фактор перехода в предельное состояние Наибольшие касательные напряжения При одноосном растяжении, сжатии При объемном напряженном состоянии 2 max 3 Условие наступления предельного состояния 2 оп, где у оп σ = σ , или u оп σ = σ Условие наступления предельного состояния 2 2 3 опили 1 оп σ − σ = σ Условие прочности adm 3 При плоском напряженном состоянии ( ) 2 ху 2 у х 1 2 ух Эквивалентное напряжение ( ) 2 ху 2 у х red 4 τ + σ − σ = σ Условие прочности ( ) 2 ху 2 у х red 4 τ + σ − σ = σ adm σ ≤ Схема 65. Третья теория прочности [52], глава 14 Рекомендуем прочитать [54], глава 8. [59], глава 9 [60], глава 8 Условие прочности ( ) adm 3 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2 Четвертая теория предельных состояний гипотеза прочности) Фактор перехода в предельное состояние Удельная энергия изменения формы При одноосном растяжении сжатии Е ф При объемном напряженном состоянии ( ) 3 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 E 3 ф Условие наступления предельного состояния оп Е 3 Е 1 σ = σ µ + µ + , где , у оп σ σ = или u оп σ = σ Условие наступления предельного состояния ( ) 3 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 оп σ σ − σ σ − σ σ − σ + σ + σ = σ При плоском напряженном состоянии ( ) 2 ху 2 у х 1 2 ух Эквивалентное напряжение ( ) 2 ху 2 у х Условие прочности ( ) 2 ху 2 у х Схема 66. Четвертая теория прочности такую же величину он будет иметь и при любом другом напряженном состоянии Обратите особое внимание на третью и четвертую теории предельных состояний. Следует провести сравнительный анализ формул расчета эквивалентных напряжений по третьей и четвертой теориям. Изучив теорию, ответьте на вопросы самоконтроля. Вопросы самоконтроля 1. Какой инвариантный фактор положен в основу третьей теории предельных состояний 2. Какой инвариантный фактор положен в основу четвертой теории предельных состояний 3. Чему равно эквивалентное напряжение по третьей теории прочности для случая плоского напряженного состояния 4. Чему равно эквивалентное напряжение по четвертой теории прочности для случая плоского напряженного состояния 4 Инвариант – величина независящая от вида напряженного состояния. Схема 67. Знания и умения после изучения модуля Теории предельных состояний (теории прочности Знать Уметь Понятие предельного состояния при сложном напряженном состоянии Условие наступления предельного состояния по третьей теории Условие наступления предельного состояния по четвертой теории Условие прочности при сложном напряженном состоянии Рассчитывать эквивалентные напряжения по третьей и четвертой теориям 111 Основная цель данного модуля изучить теорию и методику расчетов деталей машин и элементов конструкций при сложном нагружении (в поперечных сечениях бруса возникают от двух до шести внутренних силовых факторов. МОДУЛЬ Е Сложное сопротивление Введение Растяжение Кручение Геометрия Введение Растяжение Кручение Геометрия Изгиб НДС Теории В моем положении этот модуль весьма кстати. Может быть, после него станет легче. Уровень незн аний Элементарные функции и их графики Математика Теорема Пуансо о параллельном переносе силы Приведение произвольной системы сил к заданному центру. Главный вектор и главный момент системы сил и их проекции на оси координат Сложное сопротивление Модуль Ж Устойчивость Модуль З Усталость. Модуль И Удар Модуль А. Введение Деформации и напряжения при растяжении, сжатии (модуль Б) Модуль В. Сдвиг. Кручение Модуль Г. Геометрические характеристики плоских сечений Модуль Д. Изгиб Модуль К. Теории предельных состояний Модуль Л. Напряженно- деформированное состояние в точке Повторите Теоретическая механика Сопротивление материалов Детали машин Курсовое иди- пломное проектирование Схема 68. Взаимосвязь модуля Сложное сопротивление с другими дисциплинами и модулями Строительные конструкции Прочность конструкций Основы проектирования горных машин Сложное нагружение равно сумме простых нагружений Чистый косой изгиб Под действием внешних сил в поперечных сечениях стержня возникает два и более внутренних силовых фактора, ноне более шести Теории предельных состояний (теории прочности) Нормальные, касательные напряжения в каждой точке поперечного сечения определяются через соответствующие внутренние силовые факторы по формулам для простых деформаций Косой изгиб Внецентренное растяжение, сжатие Продольно- поперечный изгиб Расчет на прочность Принцип независимости действия сил В поперечных сечениях возникают изгибающие моменты М х, М у , поперечные силы Q x , Q у Принцип независимости действия сил Сложная деформация равна сумме простых деформаций Общий случай нагружения и деформации стержня В поперечных сечениях возникают М х, М у ; Q x , у и продольная сила N В поперечных сечениях возникают М х, М у , Q x , у и крутящий момент Т Сложное сопротивление Сложный изгиб Сложный изгиб с растяжением, сжатием Сложный изгиб с кручением В поперечных сечениях возникают N, Q x , у, М х, М у , Т Напряжения, деформации Расчет на жесткость Схема 69. Сложное сопротивление Решаем одну из трех задач конструирования Записываем условие прочности , 4 2 2 2 2 111 adm Т М red W с σ τ σ σ ≤ = + = + или adm Т 75 , 0 М 2 2 V 1 red W 3 2 2 с σ ≤ = τ + σ = σ + Определяем максимальную величину касательных напряжений x p W 2 Т W Т Определяем максимальную величину нормальных напряжений х с W М = σ По эпюрам Мс и Т находим опасное сечение (сечения, где Мс и Т имеют наибольшее значение Строим эпюру суммарного изгибающего момента М с = 2 у 2 х М М + Кручение Изгиб Принцип независимости действия сил Изгиб с кручением Разлагаем силы и пары сил на составляющие, лежащие в вертикальной и горизонтальной плоскостях Строим эпюры изгибающих моментов М х, М у от сил, действующих в вертикальной и горизонтальной плоскостях Строим эпюру крутящих моментов Т Используя теорему Пуансо, приводим каждую из сил, действующих навал к центру тяжести поперечного сечения вала, в плоскости которого лежит точка приложения силы В поперечных сечениях вала возникают изгибающие моменты М х , М у, крутящий момент Т, поперечные силы Q x , Q у Схема 70. Алгоритм расчета на прочность при изгибе с кручением круглого вала Определяем эквивалентное напряжение по третьей или четвертой теории предельных состояний 2 p 2 у в у в x 111 red W Т 4 J х M J у M A N + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = σ ; 2 p 2 у в у в x V 1 red W Т 3 J х M J у M A N + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = σ Находим в опасном сечении точку В, в которой max J х M J у M A N у в у в x = + + ; p в W Т = τ Определяем напряжения от действия каждого внутреннего силового фактора и с учетом его знака A N = σ′ ; у ′′ ; у у J х M = σ ′′′ ; p W Т = τ Определяем опасное сечение, где внутренние силы наибольшие Как правило, поперечными силами пренебрегают из-за малости касательных напряжений от их действия Строим эпюры N, М х , М у, Т Приводим силы к центру тяжести соответствующих поперечных сечений и разлагаем их на составляющие вдоль оси стержня и главных центральных осей инерции поперечного сечения В поперечных сечениях возникают продольная сила N, поперечные силы Q x у, изгибающие моменты М х , М у и крутящий момент Т Общий случай деформации и нагружения Условие прочности adm Схема 71. Алгоритм расчета на прочность при общем случае деформации и нагружения 116 4.9.1. Входной контроль знаний Теоретическая механика 1. Сформулируйте теорему о параллельном переносе силы (теорему Пуан- со. 2. К чему приводится произвольная пространственная система сил 3. Чему равен главный вектор произвольной пространственной системы сил 4. Чему равен главный момент произвольной пространственной системы сил 5. Что называется векторным моментом пары сил 6. Чему равна проекция главного вектора на какую-либо ось 7. Чему равна проекция главного момента на какую-либо ось Ответьте на вопросы самоконтроля модулей А, Б, В, Г, Д, КЛ (см. с. 41, 55, 73, 80, 97, 103, 110). Изучение теории Изучение теории начните с информационно-логической схемы 69. Используя схему как путеводитель по теории, изучите по учебниками конспектам тему Сложное сопротивление. Не забывайте при этом использовать вопросник студента - почемучки. Методические указания Сложное сопротивление вы должны представлять как сумму простых деформаций растяжения, сжатия, кручения, плоского изгиба. На основе принципа независимости действия сил напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса рассчитываются как алгебраическая сумма напряжений, возникших в этой точке от каждой простой деформации в отдельности. Затем решается проблема прочности при простом или сложном напряженном состоянии с использованием одной из теорий предельных состояний. Для решения задач сложного сопротивления вполне достаточно знаний, полученных при изучении простых деформаций. После изучения материала по учебникам многократно повторите его по структурно-логическим схемам. Рекомендуем прочитать [54], параграфы 34, 35, 100 [59], параграфы V17, V18 [60], глава 9 Вопросы для самоконтроля 1. Что называется сложным сопротивлением 2. Приведите примеры сложного сопротивления. 3. Что называется сложным изгибом Какие внутренние силовые факторы возникают при этом в поперечных сечениях балки 4. Запишите формулу расчета нормальных напряжений при сложном изгибе. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях балки при сложном изгибе с растяжением, сжатием Запишите формулу для расчета нормальных напряжений в любой очке поперечного сечения балки при сложном изгибе с растяжением, сжатием. 6. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении вала при сложном изгибе с кручением 7. Какие напряжения возникают в поперечном сечении вала при сложном изгибе с кручением 8. Запишите формулу расчета нормальных напряжений в точках поперечного сечения вала при сложном изгибе с кручением. 9. Запишите формулу расчета касательных напряжений в поперечном сечении вала при сложном изгибе с кручением. 10. Запишите формулы расчета эквивалентных напряжений по третьей и четвертой теориям предельных состояний при сложном изгибе с кручением. Запишите условие прочности при сложном изгибе с кручением. Пройдите тестовый самоконтроль [45]. Лабораторные работы На сложное сопротивление рабочими программами по сопротивлению материалов многих инженерных специальностей предусмотрены лабораторные работы по экспериментальной проверке теоретических положений курса. 1. Изгиб с кручением круглого бруса. 2. Косой изгиб. 3. Перемещения в балке при косом изгибе. 4. Продольно-поперечный изгиб. 5. Нормальные напряжения в плоских рамах. По лабораторным практикумам [1, 3] изучите методику и технику проведения экспериментальных исследований по лабораторным работам, предусмотренным рабочей программой по вашей специальности. Под руководством преподавателя проведите эксперименты и обработайте их результаты. Подготовьте ответы на вопросы лабораторного практикума. Напишите и защитите отчеты по лабораторным работам. 118 4.9.3. Самостоятельное решение задач Изучите методические указания по сложному сопротивлению [21-27]. Подробно рассмотрите один - два примера. Попытайтесь самостоятельно воспроизвести решение. Если это удалось, то можно приступать к решению домашних задач, выполнению РПР, курсовой работы. Для более быстрого достижения положительных результатов в изучении практических вопросов, не забывайте пользоваться технологической картой (см. схему 15). Схема 72. Результаты изучения модуля Сложное сопротивление Знать Уметь Понятие сложного сопротивления Порядок расчета напряжений в любой точке поперечного сечения бруса при сложном сопротивлении Рассчитывать суммарные или эквивалентные напряжения при сложном сопротивлении 119 Основные цели данного модуля 1) дать представление о явлении потери устойчивости 2) освоить теорию и методику расчета сжатых стержней на устойчивость. МОДУЛЬ Ж Устойчивость Введение Растяжение Кручение Геометрия Введение Растяжение Кручение Геометрия Изгиб НДС Теории Сложное сопротивление Не потерять бы устойчивость А как это сделать Схема 73. Взаимосвязь модуля Устойчивость с другими дисциплинами и модулями 4.10.1. Входной контроль знаний Чтобы проверить, готовы ли вы к освоению данного модуля, ответьте на вопросы. Математика 1. Какое уравнение называется линейным однородным уравнением второго порядка 2. Как решается линейное однородное уравнение второго порядка Решение линейных, однородных дифференциальных уравнений второго порядка Тригонометрические функции Математика Условия равновесия твердого тела Устойчивость Модуль И Удар Модуль А. Введение. Деформации и напряжения при растяжении, сжатии модуль Б) Модуль Г. Геометрические характеристики плоских сечений Модуль Д. Изгиб Повторите Теоретическая механика Сопротивление материалов Детали машин Курсовое и дипломное проектирование Строительные конструкции Расчет конструкций Основы расчета горных машин 121 3. Нарисуйте графики функций , sin x y = x y cos = . Чему равен период этих функций 4. Чему равны производные от функций , sin x y = x y cos = ? Теоретическая механика 1. Чему равен момент силы относительно точки 2. Запишите условия равновесия плоской произвольной системы сил. Сопротивление материалов Ответьте на вопросы самоконтроля модулей Введение, Растяжение, сжатие, Геометрические характеристики плоских сечений, Изгиб (см. с. 41 55, 80, 97). Устойчивость стержня за пределом линейной упругости материала Практический метод расчета сжатых стержней на устойчивость Формула Эйлера для определения критической силы Пределы применимости формулы Эйлера Критическое напряжение Хрупкое разрушение Напряжения в стержне не превышают предел пропорциональности, Потеря прочности Пластическое течение Переход к упругому равновесию при другой форме оси стержня Сжатие стержня Опасное состояние Потеря устойчивости упругого равновесия Упругое равновесие Формула Ясинского для расчета критического напряжения Схема 74. Устойчивость сжатых стержней Схема 75. Понятие устойчивости (упругого равновесия) 4.10.2. Изучение теории Перед тем как изучать материал данного модуля по учебниками конспектам лекций, внимательно рассмотрите информационно – логическую схему 74. Используя ее как путеводитель по теории, изучите проблему устойчивости. Для повторения материала используйте структурно-логические схемы 75- 78. Не забывайте использовать технологическую схему 15. Упругое равновесие Равновесие между внешними и вызываемыми ими внутренними силами упругости cr F F При любом малом воздействии тело не возвращается в первоначальное состояние упругого равновесия Неустойчивое Критическое Устойчивое При любом малом воздействии тело возвращается впер- воначальное состояние упругого равновесия Тело может сохранить первоначальную форму упругого равновесия, но может и потерять ее от незначительного воздействия Критическая нагрузка, с Устойчивость [52], глава 15 Рекомендуем прочитать [54], глава 14 [59], глава 12 [60], глава 10 Формула Эйлера 2 x 2 2 cr l EJ n F π = 2 2 2 2 l к кl 0, sinкi ; 0 с 1 При Z=l, Уксус с При Z=0, У Находим корни характеристического уравнения к к r 2 Решение дифференциального уравнения ищем в виде к cos к sin су Составляем характеристическое уравнение к r 2 Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами у к у 2 = + ′′ x 2 EJ F к = Упругое равновесие М х =М е Fу у EJ x − = ′′ у EJ F у Момент внешних сил относительно сечения В у Момент внутренних сил в сечении В М x = у EJ EJ x Кривизна упругой линии стержня у EJ М 1 x х ′′ ≈ = ρ у l z у R Рассматриваем изогнутое состояние прямолинейного упругого стержня, нагруженного центрально приложенной сжимающей силой F Исходные предпосылки Стержень находится в упругой стадии нагружения pr σ ≤ σ z В Решаем дифференциальное уравнение к sin с 1 = Деформации малы Схема 76. Формула Эйлера для определения критической силы Гибкость, x λ pr 2 x 2 2 x x 2 2 x 2 2 x 2 2 2 x 2 x 2 cr E i l E i l E l i E σ ≤ λ π = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ µ π = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Коэффициент приведения длины Условия закрепления Радиус инерции x i A J i Напряжения в сжимаемом стержне при F cr pr 2 x 2 cr Деформации малы Исходные предпосылки Эйлера Стержень находится в упругой стадии нагружения: pr σ ≤ σ Критическая величина гибкости у Пределы применимости формулы Эйлера Схема 77. Пределы применимости формулы Эйлера Критическое напряжение Формула Ясинского в а сr Опасное состояние Гибкость стержня у Малая 0 λ λ p Средняя cr 0 λ λ λ p p Большая Потеря устойчивости Хрупкое разрушение без потери устойчивости Пластическое течение без потери устойчивости Схема 78. Критическое напряжение при сжатии и гибкость стержня 125 4. Вычисляем допускаемое напряжение при расчете на устойчивость Коэффициент ϕ при проверке устойчивости и определении допускаемой нагрузки Если 1 i Если 1 1 ϕ ≠ ϕ′ 11. Повторяем цикл вычислений, приняв 2 ) ( 1 1 2 ϕ′ + ϕ = ϕ 6. Стержень устойчив если c adm ϕσ ≤ σ 10. Определяем площадь сечения c adm 1 F A σ ϕ = 9. Выбираем форму и размеры сечения Проверка на устойчивость, Определение допускаемой нагрузки (1, 2, 3, 4, 5, 7) 8. Принимаем 5 , 0 Подбор сечения (8, 9, 10, 1, 2, 3, цикл, 4, 5, 6) Определяем наименьшее значение осевого момента инерции J min и радиус инерции A J i min min = 5. Вычисляем напряжение в поперечном сечении стержня. В зависимости от материала и гибкости по таблице определяем Стержни средней гибкости Стержни большой гибкости Обобщенное условие устойчивости сжатых стержней Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения ϕ 2. Вычисляем гибкость стержня min i l µ = λ 7. Допускаемая нагрузка A F c adm Коэффициент 1 ϕ′ первого цикла вычислений Схема 78. Обобщенное условие устойчивости. Основные типы задач Методические указания Обратите внимание на то, что явление потери устойчивости наблюдается уже при напряжении, не превышающем предела пропорциональности, при котором невозможно разрушение от потери прочности. Однако детали машин и элементы конструкций при этом напряжении могут мгновенно потерять устойчивость и разрушиться. В этом основная опасность потери устойчивости. Наступление этого состояния существенно зависит от гибкости стержня. При большой гибкости для расчета критических напряжений используется формула Эйлера, для средней гибкости – эмпирическое уравнение Ясинского. Решение проектировочной задачи (подбор сечения) производится методом последовательных приближений. Чтобы оценить уровень знаний, ответьте на вопросы самоконтроля. Вопросы для самоконтроля 1. В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня 2. Какая сила называется критической 3. По какой формуле рассчитывается критическая сила для стержня большой гибкости 4. Что произойдет с величиной критической силы, если длину стержня увеличить в три раза 5. Что называется гибкостью стержня 6. Каковы пределы применимости формулы Эйлера 7. Зависит ли величина критической силы от условий закрепления стержня Как это учитывается в расчетах 8. По какой формуле рассчитывается критическое напряжение для стержней малой и средней гибкости 9. Запишите условие устойчивости сжатого стержня. 10. Расскажите последовательность решения проектировочной задачи (подбор поперечного сечения) из условия устойчивости. Лабораторные работы Теория устойчивости сжатых стержней проверяется студентами при выполнении лабораторной работы Продольный изгиб. По лабораторному практикуму изучите теорию и технику проведения экспериментальных исследований, подготовьте ответы на вопросы лабораторного практикума. Под руководством преподавателя или лаборанта проведите экспериментальные исследования, обработайте результаты и напишите отчет. При подготовке и проведении лабораторной работы не забывайте задавать самому себе и преподавателю любимые вопросы студента-почемучки (см. схему 13). Самостоятельное решение задач Начните с изучения методических указаний по расчету на устойчивость [19-20]. Подробно разберитесь с одним - двумя примерами. Постарайтесь самостоятельно воспроизвести решение этих задач. Непременно пользуйтесь технологической картой (см. схему 15). Если вы без затруднений воспроизвели решение, то можете приступать к решению домашних задач, РПР, курсовой работы. Схема 79. Результаты изучения модуля Устойчивость Знать Уметь Понятие устойчивости Формулу Эйлера для расчета критической силы и критического напряжения Пределы применимости формулы Эйлера Влияние условий закрепления стержня на критическую силу Практический метод расчета на устойчивость Рассчитывать стержни на устойчивость с применением формул Эйлера и Ясинского Рассчитывать стержни на устойчивость с использованием обобщенного условия устойчивости 128 Основные цели данного модуля 1) дать общие представления об усталости материалов 2) освоить теорию и простейшие методики детерминированных (не статистических) методов расчета на выносливость. МОДУЛЬ З Усталость Что я, железный что ли. Устал Вот бы узнать рецепт, от усталости. Введение Растяжение Кручение Геометрия Введение Растяжение Кручение Геометрия Изгиб НДС Теории Сложное сопротивление Устойчивость Влияние микроструктуры материала на механические характеристики материалов Тригонометрические, логарифмические функции Математика Усталость Модуль И Удар Определение напряжений при растяжении, сжатии (модуль Б, кручении модуль В, изгибе (модуль Д, изгибе с кручением (модуль Е) Теории предельных состояний (теории прочности) Повторите Сопротивление материалов Детали машин Курсовое и дипломное проектирование Материаловедение Технология машиностроения Схема 80. Взаимосвязь модуля Усталость с другими дисциплинами и модулями Расчет конструкций 130 4.11.1. Входной контроль знаний Прежде чем приступить к изучению модуля, необходимо проверить минимальный уровень знаний, необходимый для его изучения и понимания. Математика 1. Нарисуйте графики функций , sin x y = x y cos = 2. Нарисуйте графики функций ас cos 3. Нарисуйте график функции ln x y = Конструктивно-технологические факторы, влияющие на предел выносливости Диаграммы предельных амплитуд и напряжений цикла Предел выносливости (усталости) Циклическая долговечность N Разрушение Сопротивление усталости Процесс накопления повреждений и разрушения Многоцикловая 5 10 N f Малоцикловая 5 10 N ≤ Повторно-переменное нагружение Переменные по величине и знаку напряжения Усталость Развитие трещины Долом Усталостная долговечность Периодическое Блочное Циклы нагружения Повреждение материала Зарождение трещины Кривая усталости материала Характеристики периодического цикла нагружения Коэффициент запаса прочности Схема 81. Сопротивление материалов действию повторно- переменных напряжений Случайное Сопротивление материалов 4. Ответьте на вопросы самоконтроля модулей Растяжение, сжатие, Сдвиг. Кручение, Изгиб, Сложное сопротивление, Теории предельных состояний (см. с. 55, 73, 97, 110, 117). Материаловедение 5. Как влияет содержание углерода в стале на предел прочности, предел текучести углеродистых сталей 6. Как влияет размер зерна (структурной составляющей) на предел текучести и предел прочности материалов 4.11.2. Изучение теории Путеводителем по теории модуля Усталость является информационно логическая схема 81. Используя ее, изучите каждый термин, каждое определение, формулу, методику по учебниками конспектам лекций. Методические указания Усталостное разрушение одно из самых распространенных. Происходит в большинстве случаев при напряжениях много меньше предела упругости (малоцикловая усталость. В этом состоит главная опасность усталостного разрушения. Из-за сложности явления процесс усталостного разрушения еще до конца непонят и не имеет аналитического описания. Методики расчетов построены на основе экспериментальных исследований ограниченного круга металлов и дают удовлетворительные результаты только для этих материалов в пределах установленных в эксперименте ограничений и принятых гипотез. Следует хорошо разобраться с терминологией, уяснить понятие предела выносливости для симметричного и несимметричного циклов нагружения. Особое внимание обратите на практические меры повышения выносливости реальных деталей машин и элементов конструкций. Влияние какого- либо фактора на предел выносливости неразрывно связано с условиями эксплуатации, величиной и состоянием зеренной, фазовой структуры металла. Чтобы использовать в расчете на выносливость экспериментальные данные, необходимо точно знать условия их получения. Изменение условий работы может привести к инверсии влияния фактора на предел выносливости. [52], глава 19 Рекомендуем прочитать [54], глава 13 [59], глава 11 [60], глава 12 132 Многократно повторите теорию по структурно-логическим схемам 82-. По окончанию изучения теории проверьте свои знания по вопросам самоконтроля. Вопросы для самоконтроля 1. Что называется усталостью 2. Что называется сопротивлением усталости 3. Какое разрушение называется усталостным 4. Что называется пределом выносливости 5. Как определяется предел выносливости при несимметричном цикле 6. Каково влияние абсолютных размеров детали на выносливость 7. Как влияет на предел выносливости концентрация напряжений 8. Как влияет на предел выносливости состояние поверхности и приповерхностного объема детали 9. Как определяется коэффициент запаса прочности при симметричном цикле нагружения 10. Как определяется коэффициент запаса прочности при несимметричном цикле нагружения 11. Как определяется коэффициент запаса прочности при изгибе с кручением круглого вала Статическая нагрузка Не меняется величина и направление нагрузки. Силы инерции равны нулю Повторно-переменное нагружение Величина или направление нагрузки меняются стечением времени. Силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с действующими нагрузками Предельное состояние материала наступает без заметных остаточных деформаций Причиной предельного состояния является трещина, распространившаяся на значительную часть поперечного сечения Разрушение происходит мгновенно путем долома оставшейся части сечения детали Разрушение происходит при напряжениях значительно меньших, чем при статических нагрузках Схема 82. Особенности разрушения при повторно-переменном нагружении |