СМО с отказами. Одноканальная_смо_с_отказами-21_03_2012. Одноканальная смо с отказами

• Название: Одноканальная смо с отказами
• Анкор: СМО с отказами
• Дата: 19.04.2022
• Размер: 26.68 Kb.
• Имя файла: Одноканальная_смо_с_отказами-21_03_2012.doc
• Тип: Литература; #485690

Одноканальная смо с отказами

от kitten2766 | skachatreferat.ru

Содержание

Введение
1. Системы массового обслуживания, общие понятия
2.Классификация Систем Массового Обслуживания
3. Одноканальные системы массового обслуживания с отказами
Выводы
Используемая литература


Введение

Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропор-тах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.
Основной задачей теории СМО является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания. Так, одной из характеристик обслуживающей системы является время пребывания требования в очереди. Очевидно, что это время можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств. Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, в теории СМО возникают задачи оптимизации: каким образом достичь определенного уровня обслуживания (максимального сокращения очереди или потерь требований) при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств.


1. Системы массового обслуживания, общие понятия.

Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
С позиции моделирования процессамассового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.
Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, случайные моменты времени.
Примерами систем массового обслуживания могут служить:
1. посты технического обслуживания автомобилей;
2. посты ремонта автомобилей;
3. персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
4. станции технического обслуживания автомобилей;
5. аудиторские фирмы;
6. отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
7. телефонные станции и т. д.
Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:
- входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
- дисциплина очереди;
- механизм обслуживания.
Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.Дисциплина очереди - это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
- первым пришел — первый обслуживаешься;
- пришел последним — обслуживаешься первым;
- случайный отбор заявок;
- отбор заявок по критерию приоритетности;
- ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечению некоторого ограниченного интервала времени.
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системепроцедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.
Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов, задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.
Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:
- одноканальные системы;
- многоканальные системы.
Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:
- системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;
- системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов. Системы массового обслуживанияс ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.
Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

2.Понятие и классификация систем массового обслуживания.

СМО;

– число мест в очереди;
– вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;
– вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способность СМО);
При этом:

А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)

– среднее число заявок, находящихся в СМО
– среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В тоже время это – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО за единицу времени. Величина определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием n каналов.
,
где – вероятность нахождения системы в Sk состоянии.
– коэффициент занятости каналов
– среднее время ожидания заявки в очереди
– интенсивность ухода заявок из очереди
– среднее число заявок в очереди. Определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди

Здесь – вероятность нахождения в очереди i заявок;
– среднее время пребывания заявки с СМО
– среднее время пребывания заявки в очереди
Для открытых СМО справедливы соотношения:
Эти соотношенияназываются формулами Литтла и применяются только для стационарных потоков заявок и обслуживания.
Рассмотрим одноканальную СМО с отказами.


3.Одноканальная система массового обслуживания с отказами.

Размеченный граф состояний одноканальной СМО представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – Граф состояний одноканальной СМО
Здесь и – интенсивность потока заявок и выполнения заявок соответственно. Состояние системы So обозначает, что канал свободен, а S1 – что канал занят обслуживанием заявки.
Система дифференциальных уравнений Колмогорова для такой СМО имеет вид:

где po(t) и p1(t) – вероятности нахождения СМО в состояниях So и S1 соответственно. Уравнения для финальных вероятностей po и p1 получим, приравнивая нулю производные в первых двух уравнениях системы. В результате получим:
Вероятность p0 по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки pобс, т. к. канал является свободным, а вероятность р1 по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки ротк, т. к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки.


Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — tоб=1,8 часа.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
относительной пропускной способности q;
абсолютной пропускной способности А;
вероятности отказа Ротк;
Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.
Решение
Определиминтенсивность потока обслуживания:
.
Вычислим относительную пропускную способность:
q =.
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей.
Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=λ×q=1×0,356=0,356.
Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
Вероятность отказа:
Ротк=1-q=1-0,356=0,644.
Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.
Определим номинальную пропускную способность системы:
Аном= (автомобилей в час).
Оказывается, что Аном в раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.
Выводы

В этой контрольной работе раскрыты понятия систем массового обслуживания.
Также описаны типичные элементы, из которых состоят системы массового обслуживания (входящий поток, его описание и основные особенности, очередь и ее дисциплина, обслуживающие приборы и особенности механизма обслуживания, входящий поток).
Необходимо сказать о важности изучения систем массового обслуживания, так как жизненные ситуации, связанные с ними сопровождают нас повсюду.


Используемая литература:

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. –М.: Советское радио, 1972. –552 с.
2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. Пер. с англ./Пер. И.И. Грушко; ред. В. И. Нейман. -М.: Машиностроение, 1979. -432 с.
3. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. Учеб-ное пособие для ВУЗов. -М: Высшая школа. 1982. -256 с.
4. Лукин А.И. Системы массового обслуживания. -М.: МО СССР. 1980 -189 с.
5. Новиков О.А., Петухов С.И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. - М: Сов. радио. 1969 -399 с.
6. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. - М: Сов. радио. 1971 -520с.