Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы
 Скачать 3 Mb.
|
|
К. Кноп 73, 75, 103, 400, А. Ковальджи (2) : 499, П. Кожевников 7, 146, 151, 186, 223, 247, 312, 395, 615, 679, С. Кожухов П. Козлов 408, С. Конягин (1) : К. Кохась (2) : 79, А. Кочерова (1) : Д. Кузнецов 17, 55, 138, 177, 633, Б. Кукушкин Е. Куликов 361, 392, 722, М. Куликов Л. Купцов 434, 486, А. Левин (1) : Ю. Лифшиц (9) : 244, 251, 252, 266, 268, 620, 621, 643, Д. Любшин (1) : О. Ляшко (2) : 436, Е. Малинникова (7) : 9, 24, 108, 465, 519, 521, П. Мартынов Л. Медников 87, 94, С. Мисник (1) : Д. Митькин (2) : 433, М. Мурашкин (4) : 406, 409, 419, О. Мусин (7) : 70, 452, 484, 508, 542, 559, Н. Нецветаев (1) : В. Ню М. Островский (1) : А. Пастор 356, 652, 660, И. Певзнер (1) : А. Перлин (6) : 11, 12, 27, 427, 456, Ф. Петров 610, О. Подлипский (27) : 150, 164, 239, 258, 265, 279, 287, 296, 299, 332, 341, 362, 393, 395, 410, 424, 549, 585, 604, 609, 637, 669, 694, 710, 714, 717, Е. Порошенко (1) : В. Произволов (2) : 107, А. Протопопов А. Разборов И. Рубанов (19) : 44, 76, 100, 121, 147, 148, 149, 208, 226, 267, 277, 293, 304, 316, 325, 330, 432, 512, С. Рукшин (2) : 40, А. Савин (1) : Р. Садыков (3) : 189, 216, Н. Седракян (1) : 259 302, 305, 321, 333, 345, 359, 367, 375, В. Сендеров (28) : 197, 210, 217, 256, 301, 383, 415, 418, 481, 499, 507, 659, 681, 709, 721, 727, 732, 746, И. Сергеев А. Скопенков (3) : 59, 133, Д. Скробот (1) : А. Смирнов (3) : 696, 699, Л. Смирнова (2) : 122, М. Смуров (6) : 19, 455, 505, 511, 540, И. Соловьёв (1) : М. Сонкин (34) : 15, 35, 43, 51, 54, 62, 71, 82, 87, 91, 94, 119, 127, 128, 143, 154, 162, 184, 207, 212, 215, 230, 502, 518, 527, 529, 534, 550, 562, 571, 579, 587, 595, Е. Сопкина (1) : Д. Тамаркин (3) : 32, 440, Д. Тарасенко (1) : О. Тен (1) : Д. Терёшин (19) : 25, 47, 66, 212, 430, 438, 446, 448, 459, 463, 471, 478, 490, 495, 498, 515, 531, 591, С. Токарев (27) : 20, 52, 58, 80, 88, 111, 134, 183, 206, 214, 231, 271, 272, 335, 344, 350, 443, 447, 464, 473, 475, 476, 520, 535, 580, 636, С. Тухвебер (1) : В. Уфнаровский (1) : К. Фельдман (1) : В. Филимонов (2) : 364, Фольклор 262, А. Фомин 117, Д. Фон-дер-Флаас (8) : 8, 48, 439, 444, 503, 523, 536, Б. Френкин (1) : А. Храбров (19) : 222, 229, 246, 253, 284, 291, 336, 369, 378, 403, 413, 522, 574, 606, 613, 614, 668, 678, Д. Храмцов (16) : 83, 152, 159, 168, 175, 204, 236, 264, 288, 308, 311, 317, 319, 355, Ю. Хромин (2) : 320, Д. Цветов Г. Челноков 264, 292, 368, 376, 380, 392, 395, Е. Черепанов (4) : 189, 216, 605, Е. Чернышов (1) : А. Шаповалов (25) : 50, 56, 74, 77, 98, 106, 110, 113, 114, 115, 142, 157, 161, 169, 171, 176, 205, 483, 509, 514, 526, 532, 544, И. Шарыгин (1) : И. Ященко (2) : 112, Л. Ященко (1) : 481 Приложение ТЕМАТИЧЕСКИЙ РУБРИКАТОР Олимпиадные задачи нестандартны по формулировками для решения многих из них требуются яркие и оригинальные математической идеи. Тем не менее, условно разобьем задачи на рубрики по содержанию и методам решения, а также дадим краткий обзор наиболее часто употребляемых приемов и фактов. После каждого раздела рубрикатора приводятся номера иллюстрирующих его задач из настоящего сборника. Некоторые общие методы решения олимпиадных задач Выделим наиболее важные идеи, которые применяются во многих ситуациях. При решении трудных многоходовых задач они могут служить средством для доказательства вспомогательных утверждений. Метод математической индукции Этот метод состоит в следующем. Пустьимеется последовательностьутверждений T 1 , T 2 , T 3 , . . . , про которую известно, что) верно (база индукции) из того, что верно, вытекает, что верно (для n = 1, 2, 3, . . переходили шаг индукции). Тогда вся последовательность состоит из верных утверждений. Возможна вариация условия 2): из предположения, что утверждения, T 2 , . . . , верны, вытекает, что верно (для n = 1, 2, 3, . . Также возможно применение индукции в форме спуска — сведения доказательства утверждения к доказательству утверждений для некоторых k < n. Иногда к утверждению задачи индукция напрямую неприменима, но можно сформулироватьвспомогательное утверждение, которое доказывается при помощи индукции, 68, 144, 180, 192, 227, 284, 291, 312, 440, 446, 456, 560, 565, 566, 574, 596, 597, 600, 608, 626, 684, Принцип Дирихле Классическая формулировка этого принципа заключается в следующем если в n клетках сидит n + 1 кроликов, то найдется клетка, в которой сидит не менее двух кроликов. Более общая форма если в nk клетках сидит не менее nk+1 кроликов, то найдется клетка, в которой сидит не менее k + 1 кроликов, 55, 140, 181, 187, 191, 239, 264, 282, 396, 409, 489, 526, 530, 573, 616, 620, 622, 641, 645, 648. ТЕМАТИЧЕСКИЙ РУБРИКАТОР Вариацией принципа Дирихле является метод усреднения, состоящий в следующем. Пустьдля каждому из n вариантов сопоставлено некое число. Тогда если сумма всех n чисел равна S, то одному из вариантов сопоставлено число, не меньшее S/n. 12, 195, 468, Принцип крайнего При решении задач полезно рассматриватьобъекты и случаи, являющиеся в некотором смысле крайними . Приведем примеры начала рассуждений по принципу крайнего: среди данных n точек выберем пару наиболее удаленных , предположим, что условие неверно, и рассмотрим многочлен минимальной степени, не удовлетворяющий условию , среди всех подмножеств данного конечного множества чисел выберем подмножество с наибольшей суммой и т. д, 211, 276, 294, 310, 316, 324, 330, 332, 392, 584. Инварианты Если в задаче речьидет о последовательном выполнении некоторых операций, то ключевым шагом к решению может оказаться нахождение величины или характеристики, которая сохраняется при выполнении операций (такая величина называется инвариантом, либо нахождение величины, которая изменяется монотонно (например, не увеличивается) при выполнении операций (такая величина называется полуинвариантом). 4, 33, 139, 164, 165, 269, 394, 427, 479, Олимпиадные задачи можно условно разделитьна четыре раздела: алгебра , теория чисел (задачи о целых числах), геометрия и наиболее богатый по тематике раздел комбинаторика 1. Алгебра Алгебраические преобразования При решении уравнений, систем и некоторых других задач, по формулировке близких к школьным , основным моментом в решении является выполнение некоторой выкладки, тождественного преобразования (например, группировки слагаемых или сомножителей, использование основных алгебраических формул, 18, 57, 73, 89, 102, 117, 125, 128, 201, 237, 289, 302, 361, 386, 408, 423, 425, 449, 453, 521, 565, 617, 665, Задачи об арифметических, геометрических прогрессиях и других числовых последовательностях, 168, 222, 261, 375, 381, 578, 678, Текстовые задачи на составление уравнений, неравенств ТЕМАТИЧЕСКИЙ РУБРИКАТОР, 79, 141, 145, 169, 173, 206, 271, 298, 329, Задачи, использующие тригонометрические функции и преобразования, Задачи о рациональных и иррациональных числах, 665, 673, 714. Неравенства При доказательстве неравенств часто используется следующие классические неравенства между средним гармоническим, геометрическим, арифметическим и квадратическим (неравенство о средних) для положительных чисел a 1 , a 2 , . . . , a n : n 1 a 1 + 1 a 2 + . . . + 1 a n n √ a 1 a 2 . . . a n a 1 + a 2 + . . . + a n n a 2 1 + a 2 2 + . . . + Наиболее часто применимо неравенство между средним арифметическими средним геометрическим. Для двух чисел оно выглядит так + В неравенствах о средних равенства достигаются тогда и только тогда, когда a 1 = a 2 = . . . = a n , поэтому они часто применимы при доказательстве симметричных неравенств (те. неравенств, не изменяющихся при перестановке любых двух переменных, 11, 49, 89, 179, 229, 342, 378, 403, 412, 653, 670, 692, В некоторых оценочных задачах используются соображения роста функций или последовательностей Вот простые примеры подобных оценок при n > 1 (говоря неформально, последовательность растет быстрее последовательности n), x 2 > при x > 100 (квадратичная функция растет быстрее линейной). Различные оценки для наборов чисел и неравенства, связанные с упорядоченностью чисел, 168, 445, 602, 605, 612, 709, Разные неравенства (см. также оценочные задач из других разделов, 197, 345, 488, 583, 586, 675. Многочлены Задачи о свойствах квадратного трехчлена, 249, 274, 285, 305, 317, 427, 475, 512, 521, 525, 533, 541, 545, 593, 637, Для корней α 1 , α 2 , . . . , многочлена P (x) = x n + c 1 x n−1 + . . . + + c n−1 x + справедливы формулы (теорема Виета): c 1 = −(α 1 + α 2 + . . . + α n ) , ТЕМАТИЧЕСКИЙ РУБРИКАТОР α 1 α 2 + α 1 α 3 + . . . + α n−1 α n , c n = ( −1) n α 1 α 2 . . . те. (равно сумме произведений корней во всевозможных подмножествах из i корней). Если дан набор из n чисел, иногда полезно рассмотретьмногочлен, корнями которого являются эти числа. Задачи о корнях многочленов, 29, 34, 81, 149, 225, 242, 258, 293, 325, 355, 519, 553, 629, 649, 685, Разные задачи о многочленах, 38, 200, 253, 349, 412, 418, 432, 618, 683, 707, Функции и их свойства Функциональные уравнения, неравенства, 136, 153, 221, 443, 458, 609, Использование графиков функций, 101, 225, В задачах могут использоваться различные свойства функций четность и нечетность, монотонность, непрерывность, дифференцируемость, выпуклость, периодичность и т. д. В некоторых задачах речь идет оспе- циальных функциях ([x], {x} и т. д, 100, 128, 157, 193, 323, 490, 574, 601, 678, 753. 2. Теория чисел Остатки Пусть n — натуральное число, и для целых чисел a, q, r выполнено равенство, причем 0 r < n. Тогда q называется неполным частным, а r — остатком при делении a на n. Целые числа a и b, дающие равные остатки при делении на n, иногда называются сравнимыми по модулю n пишется a ≡ b (mod Рассмотрение остатков может бытьполезным в самых разных ситуациях. Остатки могут бытьпрепятствием для разрешимости уравнений в целых числах. Например, не существует натуральных x, y, для которых+ 1 = 3 y , поскольку не может даватьостаток 2 при делении на Остаток может являться инвариантом в задачах, связанных с процес- сами. Если r — остаток при делении a на b, то НОД(a, b)=НОД(r, b). На этом соображении основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) целых чисел a и b: разделив a = на b = r 1 , в остатке получим r 2 ; разделив на r 2 , в остатке получим r 3 , и т. д, в конце концов разделится на без остатка и будет равен НОД(a, b). ТЕМАТИЧЕСКИЙ РУБРИКАТОР, 18, 31, 36, 37, 111, 164, 165, 208, 251, 281, 296, 429, 469, 494, 552, 597, 648, 714, 721, 727, Делимость, простые числа, разложение на простые множители Во многих задачах о делимости, НОД, НОК, используется существование и единственностьразложения на простые сомножители (основная теорема арифметики. Полезно рассмотрение простого делителя p и показателя степени, в которой p входит в разложение чисел на простые множители, 58, 83, 110, 142, 149, 192, 232, 257, 279, 297, 336, 340, 349, 461, 485, 499, 501, 507, 535, 589, 594, 600, 624, 632, 664, 732, Отметим задачи с ключевой идеей четности, 92, 137, 202, 265, 394, 397, 433, 525, 533, В разных задачах на делимостьполезным оказываются следующие утверждения a n − делится на a − b для различных целых a, b и натурального+ делится на a + b для различных целых a, b и нечетного. Как следствие, получаем, что P (a) − P (b) делится на a − b для различных целых a, b и любого многочлена P (x) с целыми коэффициентами, 217, 321, 381, 389, Цифры и десятичная запись Задачи о десятичной записи натуральных чисел и бесконечных десятичных дробях, 147, 170, 177, 238, 269, 335, 350, 365, 393, 477, 513, 547, 569, 581, 661, 668, 704, Признак делимости на 11: натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность сумм цифр, стоящих начетных и на нечетных местах, делится на 11. Обобщение признаков делимости на 3 и на 9: натуральное число и его сумма цифр дают равные остатки при делении на и на 9. Используются также более простые признаки делимости на 4, 5, и т. д, 131, 308, 341, 363, Оценочные задачи в теории чисел Несложными примерами могут служитьследующие оценки расстояние между двумя различными числами, делящимися на n, не меньше если a и b — точные квадраты, причем a > b > n, то a − b > 2 √ n . Разные оценочные задачи, 105, 131, 248, 256, 277, 287, 311, 319, 367, 375, 383, 391, 465, 509, 517, 529, 638, 651, 693. Теоретико-числовые функции ТЕМАТИЧЕСКИЙ РУБРИКАТОР В некоторых задачах участвуют различные функции, определенные на множестве натуральных чисел число делителей, сумма делителей и т. д, 85, 606, 614. Конструктивы Задачи на построение интересных примеров и конструкций, 183, 189, 210, 246, 363, 393, 477, 483, 493, 547, 566, 610, 738. 3. Геометрия Основные факты. Признаки равенства треугольников Широко используются основные факты школьного курса геометрии: свойства средней линии, свойства равнобедренных треугольников, признаки равенства треугольников, свойства и признаки параллелограмма. В задачах на вычисления применяются теоремы Пифагора, синусов, косинусов, также для вычислений привлекаются векторы или массы, 51, 62, 103, 107, 143, 174, 270, 275, 303, 309, 318, 334, 354, 366, 399, 455, 467, 527, 531, 619, 642, 650, 679. Подобие В подобных фигурах отношения любых соответствующих линейных элементов равно коэффициенту подобия. Подобие или теорема Фалеса используется, например, при вычислении отношения отрезков, лежащих на параллельных прямых, 9, 66, 119, 138, 151, 171, 190, 230, 243, 283, 374, 420, 486, 550, 555, 575, 582, 587, 603, 623, 674, 719, 735. Площади Отметим следующее свойство если прямые AB и CD пересекаются в точке O отличной от A, B, C, D), то отношение площадей треугольников AOC и BOD равно · OC OB · OD . Иногда площадьиспользуется как вспомогательное средство для вычислений, 94, 278, 390, 631, Вписанный угол При решении большого числа планиметрических задач используется теорема о равенстве вписанных углов, опирающихся на одну дугу. Предельным вариантом этой теоремы является теорема об угле между касательной и хордой. Следствием теоремы о вписанных углах является теорема об угле между двумя секущими. В геометрических конфигурациях можно проводитьвспомогательные окружности, пользуясь критерием вписанности четырехугольника (сумма ТЕМАТИЧЕСКИЙ РУБРИКАТОР 461 противоположных углов равна 180 ◦ ) и следующим утверждением для того, чтобы выпуклый четырехугольник ABCD был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялосьравенство углов ABD и Приведем два полезных факта для произвольного треугольника. (лемма о трезубце) Середина дуги BC не содержащей точки описанной окружности треугольника ABC равноудалена от B, C и центра вписанной окружности. Точка, симметричная ортоцентру треугольника ABC относительно стороны, лежит на описанной окружности. Эти факты несложно доказываются с помощью теоремы о вписанных углах и нередко используются как вспомогательные утверждения в более трудных конструкциях, 23, 35, 43, 47, 54, 59, 71, 82, 91, 127, 146, 154, 162, 178, 184, 212, 215, 219, 223, 247, 254, 295, 322, 338, 343, 372, 404, 414, 430, 434, 442, 474, 478, 502, 505, 518, 534, 571, 579, 595, 607, 666, 696, 731, 742, Секущие и касательные к окружностям Из равенства отрезков касательных, проведенных из точки к окружности, вытекает, например, следующее полезное утверждение в треугольнике точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной симметричны относительно середины BC. Пустьдана окружность радиуса R с центром O и точка X на расстоянии от O. Если секущая, проходящая через точку X, пересекает окружностьв точках A и B, то произведение XA · XB не зависит от проведенной секущей и равно ±(d 2 − R 2 ) , где знак + выбирается для точки X вне ω, знак − выбирается для точки X внутри ω. Величина (d 2 − называется степенью точки X относительно окружности ω. Пустьданы две неконцентрические окружности и ω 2 . Множество точек, имеющих равные степени относительно и ω 2 , является прямой, перпендикулярной линии центров, и называется радикальной осью окружностей и Имеются пространственные аналоги степеньточки относительно сферы, радикальная плоскость двух неконцентрических сфер, 186, 388, 498, 555, 615, 662, 672, 724, Геометрические преобразования Задачи с использованием движений осевой симметрии, поворота, параллельного переноса, 20, 23, 151, 207, 307, 343, 351, 364, 690, 713. ТЕМАТИЧЕСКИЙ РУБРИКАТОР В ряде задач уместно использование гомотетии. Полезно заметить, что две касающиеся окружности могут бытьпереведены одна в другую гомотетией с центром в точке касания, 259, 351, 450, 463, 562, 615, 627, 655, 699, 706, 740, 748. Стереометрия Основные свойства, связанные со сферой — равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теорема о произведении отрезков секущих. Задачи, в которых фигурирует сфера, 327, 360, 495, 543, 591, 640, В стереометрических задачах полезно рассмотрение сечений или проекций фигур. Разные задачи по стереометрии, 66, 167, 196, 262, 290, 422, 471, 515, Геометрические неравенства Отметим основные несложные факты неравенство треугольника, наклонная не меньше проекции, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, в трехгранном угле сумма двух плоских углов больше третьего, 39, 78, 135, 235, 268, 331, 406, 426, 459, Комбинаторная геометрия В этот раздел традиционно относят задачи о множествах точек, отрезков, произвольных многоугольниках, многогранниках, задачи о размещении фигур внутри других фигур, покрытии фигур другими фигурами. Подходы для решения задач этого раздела часто ищутся исходя из принципа крайнего: рассмотрим среди данных точек точку с наименьшей абсциссой , выберем треугольник наибольшей площади сверши- нами в точках данного конечного множества , рассмотрим выпуклую оболочку конечного множества точек те. наименьший выпуклый многоугольник, содержащий данные точки, и т.д.) |