Агаханов Х.В. Окружной и финальный этапы
 Скачать 3 Mb.
|
|
Н. Х. Агаханов И. И. Богданов П. А. Кожевников О. К. Подлипский Д. А. Терешин ВСЕРОССИЙСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 1993–2006 ОКРУЖНОЙ И ФИНАЛЬНЫЙ ЭТАПЫ Под редакцией Н. Х. Агаханова Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 51 ББК 74.200.58:22.1 Р76 Авторы: Н. Х. Агаханов, И. И. Богданов, ПА. Кожевников О. К. Подлипский, ДА. Терешин Под редакцией Н. Х. Агаханова Издание осуществлено при поддержке Московского института открытого образования. Р76 Всероссийские олимпиады школьников по математике Окружной и финальный этапы / Н. Х. Агаханов и др. Под ред. Н. Х. Агаханова. — М МЦНМО, 2007. — 472 с В книге приведены задачи заключительных (четвертого и пятого) этапов Всероссийских математических олимпиад школьников 1993–2006 годов с ответами и полными решениями. Все приведенные задачи являются авторскими. Многие из них одновременно красивы и трудны, что отражает признанный в мире высокий уровеньроссийской олимпиадной школы. Частьзадач уже стала олимпиадной классикой. Книга предназначена для подготовки к математическим соревнованиям высокого уровня. Она будет интересна педагогам, руководителям кружков и факультативов, школьникам старших классов. Для удобства работы приведен тематический рубри- катор. ББК 74.200.58:22.1 ISBN 978-5-94057-262-6 c Н. Х. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников, О. К. Подлипский, Д. А. Терешин, 2007. c МЦНМО, 2007. В ВЕДЕНИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ Данная книга посвящена Всероссийским олимпиадам школьников по математике. Книга рекомендуется как школьникам, интересующимся олимпиадами, таки учителям, руководителям кружков и факультативов. История математических олимпиад школьников в нашей стране берет свое начало в х годах прошлого века, когда в Ленинграде и Москве были организованы первые олимпиады. До войны олимпиады проводилисьежегодно. Они быстро завоевали популярность. Сразу после войны они были возобновлены и проводились первоначально только в больших городах, где находились сильные университеты. В конце х – начале х годов прошлого столетия математические олимпиады стали традиционными для многих городов Советского Союза. Первой математической олимпиадой, в которой приняли участие несколько областей РСФСР, стала проводившаяся в Москве олимпиада года. Ее иногда называют нулевой Всероссийской математической олимпиадой школьников. Официальная нумерация началась с года. Впервой Всероссийской математической олимпиаде приняли участие команды почти всех областей РСФСР, а также команды союзных республик. Фактически в олимпиаде принимали участие команды всех территорий Советского Союза, поэтому с 1967 года эта олимпиада была переименована во Всесоюзную олимпиаду школьников по математике. А с 1974 года было принято решение о направлении на Всесоюзную олимпиаду не команд областей, а команд союзных республик. РСФСР на олимпиаде представляли шестькоманд: Москвы, Ленинграда и четырех зон (Северо-Западной, Центральной, Юго-Западной, а также Сибири и Дальнего Востока. Структурно Всероссийская олимпиада состояла из четырех этапов школьного, городского (районного, областного (республиканского, краевого) и зонального. В отдельные зоны были выделены города Москва и Ленинград. Рольфинала для школьников РСФСР играла Всесоюзная олимпиада. Такая структура олимпиады сохранялась вплотьдо распада Советского Союза. С 1992–93 учебного года в Российской Федерации стал проводиться пятый, заключительный этап Всероссийской олимпиады школьников. Впервые он был проведен в Краснодарском крае (город Анапа). В последующие годы заключительные этапы Всероссийской математической олимпиады проходили дважды в Майкопе и Твери, и по одному разув Казани, Калуге, Нижнем Новгороде, Орле, Пскове, Рязани, Саратове, Чебоксарах, Ярославле 4 В ВЕДЕНИЕ В 2001 году произошли изменения в схеме проведения четвертого этапа. Было введено новое деление (вместо зонального) — на семьфеде- ральных округов Южный, Центральный, Северо-Западный, Приволжский, Уральский, Сибирский и Дальневосточный. И сам четвертый этап стал называться федеральным окружным. При этом был сохранен особый статус городских олимпиад Москвы и Санкт-Петербурга. Такая структура проведения Всероссийской олимпиады (в пятьэтапов) сохраняется ив настоящее время. Согласно Положению, задания для четвертого и пятого этапов олимпиады разрабатываются Методической комиссией по математике Всероссийской олимпиады школьников. В ее состав в разные годы входили и входят студенты, аспиранты, преподаватели и научные сотрудники МГУ, СПбГУ, МФТИ(ГУ), ЯрГУ, НГУ, вузов и специализированных физико-математических школ Иваново, Калуги, Кирова, Костромы, Москвы, Нижнего Новгорода, Самары, Санкт-Петербурга, Саратова, члены редколлегии журнала Квант , а ее руководителем бессменно является профессор кафедры высшей математики МФТИ(ГУ) Геннадий Николаевич Яковлев. Большинство членов Комиссии — победители и призеры Всесоюзных, Всероссийских и Международных математических олимпиад прошлых лет. Традиции современных Всероссийских олимпиад, их стильзакладывалисьв начале х годов выдающимися математиками и педагогами, в их числе В.В. Вавилов, Л.П. Купцов, Ю.В. Нестерен- ко, СВ. Резниченко, И.Н. Сергеев, МГ. Сонкин, А.А. Фомин. Большой вклад в олимпиадное движение был сделан безвременно ушедшими Н.Б. Васильевым, А.П. Савиным, МВ. Смуровым, И.Ф. Шарыгиным. Все задачи, включенные в книгу, являются авторскими. Многие из них уже стали олимпиадной классикой. В книгу вошли задания четвертого и пятого этапов Всероссийской математической олимпиады школьников, проводившихся в 1993–2006 годах. После условия каждой задачи в скобках указан ее автор. Также в книгу включены решения задач. Для удобства работы с книгой приводится тематический рубрикатор ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 5 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ — множество натуральных чисел — множество целых чисел — множество рациональных чисел — множество действительных чисел A — элемент a принадлежит множеству A; ∅ — пустое множество A — множество B является подмножеством множества A; A ∪ B — объединение множеств A и B; A ∩ B — пересечение множеств A и B; A \ B — разностьмножеств A и B те. множество, содержащее все такие элементы множества A, которые не принадлежат B); f : A → B — функция f, определенная на множестве A, значения которой лежат в множестве B; n i=1 a i — сумма чисел a 1 , a 2 , . . . , a n ; n i=1 a i — произведение чисел a 1 , a 2 , . . . , a n ; [x] — целая частьдействительного числа x, те. наибольшее целое число, не превосходящее x; {x} — дробная частьдействительного числа x, ({x} = x − [x]); a ... b или b | a — a делится на b или b делит a); a ≡ b (mod n) — a сравнимо с b по модулю n те. целые числа a и дают равные остатки при делении на n); НОД(a, b) (или (a, b)) — наибольший общий делитель чисел a и b; НОК(a, b) (или [a, b]) — наименьшее общее кратное чисел a и b; AC ( ABC ) — дуга AC дуга AC, на которой лежит точка B); P (M или P M — периметр многоугольника M; S(M или S M — площадьмногоугольника M; V (M или V M — объем многогранника M; (a,b) — скалярное произведение векторов a и факториал, произведение n первых натуральных чисел, n! = = 1 · 2 · . . . · n; C k n — число сочетаний из n поте. количество элементных подмножеств элементного множества, C k n = n! (n − k)!k! (0 k n). УСЛОВИЯ ЗАДАЧ УЧЕБНЫЙ ГОД, 9 КЛАСС 7 О КРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ г класс. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство+ ab + b 2 3(a + b − 1). 2. Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11. (Р.Женодаров) 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причем AO = = CO . Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если а) AM = CN; б) BM = BN? (Б.Кукушкин) 4. В колоде n карт. Частьиз них лежит рубашками вверх, остальные рубашками вниз. За один ход разрешается взятьнесколько карт сверху, перевернутьполученную стопку и снова положитьее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз? (Д.Карпов) 5. Докажите, что уравнение x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + не имеет решений в целых числах. (А.Калинин) 6. Три прямоугольных треугольника расположены водной полуплоскости относительно данной прямой l так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная, пересекающая треугольники по равным отрезкам. Докажите, что если расположитьтреугольники водной полуплоскости относительно прямой l так, чтобы другие их катеты лежали на прямой l, то также найдется прямая, параллельная l, пересекающая их по равным отрезкам. (В.Вавилов) 7. На диагонали AC ромба ABCD взята произвольная точка E, отличная от точек A и C, а на прямых AB и BC — точки N и M соответственно так, что AE = NE и CE = ME. Пусть K — точка пересечения прямых AM и CN. Докажите, что точки K, E и D лежат на одной прямой. (П.Кожевников) 8. На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске первый — знак + или − , второй одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю ал- ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ гебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать? (О.Богопольский, Д.Фон-дер-Флаас) 10 класс. На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка Медиана AM пересекает высоту CH и отрезок BD в точках N и K соответственно. Докажите, что если AK = BK, то AN = 2KM. (Е.Малинникова) 10. См. задачу 2. 11. Решите в положительных числах систему уравнений 4, x 2 + 1 x 3 = 1, x 3 + 1 x 4 = 4, x 99 + 1 x 100 = 4, x 100 + 1 x 1 = 1. (А.Перлин) 12. У каждого из жителей города N знакомые составляют не менее населения города. Жительидет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей. (А.Перлин) 13. См. задачу 5. 14. Докажите, что + 3 3 + . . . 1993 √ 1993 < 2 (В.Жуховицкий) 15. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и соответственно. Диагональ BD пересекает стороны AM и AN треугольника соответственно в точках E и F , разбивая его на две части. Докажите, что эти части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка K, определяемая условиями EK AD, F K AB, лежит на отрезке MN. (М.Сонкин) 16. Из квадратной доски 1000 × 1000 клеток удалены четыре прямоугольника (см. рис. 1). На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр — фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделатьочередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Р.Женодаров) 11 класс. Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа равна 2 n (Д.Кузнецов) УЧЕБНЫЙ ГОД, КЛАСС. . . . . . ... Рис. 1 18. Докажите, что для любого натурального > число 3 √ n + 3 √ n + 2 3 + делится на 8. (А.Калинин) 19. Точка O — основание высоты четырехугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями. Докажите, что отрезок AD проходит через четвертую точку касания. (М.Смуров) 20. Дан правильный угольник. Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставитьстрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой. (С.Токарев) 21. На доске написано x 3 + . . . x 2 + . . . x + . . . = 0 . Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого получитьуравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать? (И.Сергеев) 22. Семьтреугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семьпирамид по треугольникам равной площади. (В.Вавилов) 23. Дан правильный треугольник ABC. Через вершину B проводится произвольная прямая l, а через точки A и C проводятся прямые, перпендикулярные прямой l, пересекающие ее в точках D и E. Затем, если D = = E, строятся правильные треугольники DEP и DET , лежащие по разные стороны от прямой l. Найдите геометрическое место точек P и T . (А.Савин) 24. В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из любого города можно проехатьпо дорогам в любой другой. Докажите, что это можно сделатьне более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.) (Е.Малинникова) ОКРУЖНОЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ г класс. Как-то Кролик торопился навстречу с осликом Иа-Иа, но к нему неожиданно пришли Винни-Пух и Пятачок. Будучи хорошо воспитанным, Кролик предложил гостям подкрепиться. Пух завязал салфеткой рот Пятачку ив одиночку съел 10 горшков меда и 22 банки сгущенного молока, причем горшок меда он съедал за 2 минуты, а банку молока — за минуту. Узнав, что больше ничего сладкого в доме нет, Пух попрощался и увел Пятачка. Кролик с огорчением подумал, что он бы не опоздал навстречу с осликом, если бы Пух поделился с Пятачком. Зная, что Пятачок съедает горшок меда за 5 минута банку молока — за 3 минуты, Кролик вычислил наименьшее время, за которое гости смогли бы уничтожить его запасы. Чему равно это время (Банку молока и горшок меда можно делитьна любые части). (Д.Терёшин) 26. Города A, B, C и D расположены так, что расстояние от C до меньше расстояния от D до A, а расстояние от C до B меньше расстояния от D до B. Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B, меньше расстояния от города D до этой точки. (А.Левин) 27. Существует ли квадратный трехчлен P (x) с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P (n) также записывается одними единицами? (А.Перлин) 28. На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей естьпредставители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого). (Р.Женодаров) 29. Известно, что уравнение ax 5 + bx 4 + c = имеет три различных корня. Докажите, что уравнение cx 5 + bx + a = также имеет три различных корня. (Н.Агаханов) 30. Внутри прямого угла KLM взята точка P . Окружность с центром O 1 касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность такого же радиуса с центром касается сторон угла LP , причем стороны LP — в точке B. Оказалось, что точка лежит УЧЕБНЫЙ ГОД, 10 КЛАСС 11 на отрезке AB. Пусть C — точка пересечения прямых и KL. Докажите, что BC — биссектриса угла ABD. (А.Кочерова) 31. Найдите все простые числа p, q, r и s такие, что их сумма — простое число. а числа p 2 + и p 2 + qr — квадраты натуральных чисел. (Числа, q, r и s предполагаются различными.) (Р.Женодаров) 32. В классе 16 учеников. Каждый месяц учительделит класс на две группы. Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказалисьв разных группах? (Д.Тамаркин) |